Articles /

Banach-rum

B-rum

2010 Matematik Emneklassifikation: Primær: 46B Sekundær: 46E15 $\newcommand{\abs}{\left|#1\right|}\newcommand{\norm}{\left\|#1\right\|}}\newcommand{\set}{\left\{#1\right\}}$

Et komplet normeret vektorrum. De problemer, der vedrører Banach-rum, er af forskellig art: geometri af enhedskuglen, geometri af underrum, lineær topologisk klassifikation, serier og sekvenser i Banach-rum, bedste approksimationer i Banach-rum, funktioner med værdier i et Banach-rum osv. Med hensyn til teorien om operatører i Banach-rum bør det påpeges, at mange sætninger er direkte relateret til geometrien og topologien af Banach-rum.

Historie

De funktionsrum, der blev introduceret af D. Hilbert, M. Fréchet og F. Riesz mellem 1904 og 1918, tjente som udgangspunkt for teorien om Banach-rum. Det er i disse rum, at de grundlæggende begreber som stærk og svag konvergens, kompakthed, lineær funktionel, lineær operatør osv. oprindeligt blev undersøgt. Banach-rummene blev opkaldt efter S. Banach, der i 1922 påbegyndte en systematisk undersøgelse af disse rum , baseret på aksiomer indført af ham selv, og som opnåede meget avancerede resultater.

Theorien om Banach-rum udviklede sig parallelt med den generelle teori om lineære topologiske rum. Disse teorier berigede gensidigt hinanden med nye idéer og kendsgerninger. Således blev ideen om semi-normer, der er hentet fra teorien om normerede rum, et uundværligt redskab i opbygningen af teorien om lokalt konvekse lineære topologiske rum. Idéerne om svag konvergens af elementer og lineære funktionaler i Banach-rum udviklede sig til sidst til begrebet svag topologi. Teorien om Banach-rum er en grundigt studeret gren af funktionel analyse med talrige anvendelser inden for forskellige grene af matematikken – direkte eller via teorien om operatører.

Generaliteter

Et Banach-rum $X$ er et vektorrum over $\R$ eller $\C$ med en norm $\norm{\cdot}$, som er komplet med hensyn til denne norm, dvs. at enhver Cauchy-sekvens i $X$ konvergerer.

For to Banach-rum $X$, $Y$ betegner man med $B(X,Y)$ rummet af lineære kontinuerte kort fra $X$ til $Y$. Det er i sig selv et Banach-rum med hensyn til normen$$$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}}{\norm{x}}.$$$

Eksempler

De Banach-rum, som man støder på i analysen, er for det meste mængder af funktioner eller talfølger, som er underlagt visse betingelser.

  1. $\ell_p$, $p \geq 1$, er rummet af talforløb $\sæt{\xi_n}$, for hvilke $$ \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p < \infty$$$ med normen $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^\infty \abs{{\xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
  2. $m$ er rummet af afgrænsede numeriske sekvenser med normen $$ \norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}. $$
  3. $c$ er rummet af konvergerende numeriske sekvenser med normen $$\norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
  4. $c_0$ er rummet af numeriske sekvenser, der konvergerer mod nul med normen $$ \norm{x} = \max_n\abs{\xi_n}.$$
  5. $C$$ er rummet af kontinuerte funktioner $x=x(t)$ på $$ med normen $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}\abs{x(t)}.$$
  6. $C$$ er rummet af kontinuerte funktioner på et compactum $K$ med normen $$\norm{x} = \max_{t \in K}\abs{x(t)}$$$.
  7. $C^n$ er rummet af funktioner med kontinuerte afledninger til og med orden $n$, med normen $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}\abs{x^{(k)}(t)}. $$
  8. $C^n$ er rummet af alle funktioner defineret i en $m$-dimensionel terning, der er kontinuert differentierbare til og med orden $n$, med normen for ensartet afgrænsethed i alle afledte af orden højst $n$. (Jf. Hölder-rum.)
  9. $M$ er rummet af afgrænsede målbare funktioner med normen $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess\;max}}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
  10. $A(D)$ er rummet af funktioner, som er analytiske i den åbne enhedsskive $D$ og er kontinuerte i den lukkede skive $\bar{D}$, med normen $$\norm{x} = \max_{z \in \bar{D}}\abs{x(z)}. $$$
  11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, er rummet af funktioner $x(s)$ defineret på et sæt $S$ forsynet med et tælleligt-additivt mål $\mu$, med normen $$\norm{x}} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Jf. rum $L^p$.)
  12. $L_p$, $p \geq 1$, er et specialtilfælde af rummet $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. Det er et rum af Lebesgue-målelige funktioner, summable af grad $$p$, med normen $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p}.$$
  13. $AP$ er Bohr-rummet for næsten-periodiske funktioner med normen $$\norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

Rummene $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ er separable; rummene $M$, $m$, $AP$ er ikke-separable; $C$ er separabel, hvis og kun hvis $K$ er et kompakt metrisk rum.

Andre eksempler omfatter Sobolev-rum og Hardy-rummet $\mathcal{H}^1$. Alle Hilbert-rum er a forteriori Banach-rum.

Kvotienter

Et (lukket lineært) underrum $Y$ af et Banach-rum, betragtet adskilt fra det omsluttende rum $X$, er et Banach-rum. Kvotienterrummet $X/Y$ af et normeret rum ved et underrum $Y$ er et normeret rum, hvis normen er defineret som følger. Lad $Y_1 = x_1 + Y$ være en coset. Så$$$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \norm{x_1 + y}.$$$Hvis $X$ er et Banach-rum, så er $X/Y$ også et Banach-rum.

I dette tilfælde, hvis $Z$ er et andet normeret rum, og $T\i B(X,Z)$ opfylder $T(Y)=\{0\}$, så findes der $\hat T \i B(X/Y,Z)$ således at $T = \hat T \circ Q$ og $\norm{T}=\norm{\hat T}$, hvor $Q:X \til X/Y$ er den kvoteserende afbildning.

Lineære funktionaler, dualrum

Mængden af alle kontinuerte lineære funktionaler defineret på det normerede rum $X$, med normen$$$\norm{f} = \sup_{x \i X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$$siges at være dualrummet til $X$ og betegnes med $X^*$. Det er et Banach-rum.

Hahn-Banach-sætning

Banach-rum opfylder Hahn-Banach-sætningen om udvidelse af lineære funktionaler: Hvis en lineær funktionel er defineret på et underrum $Y$ af et normeret rum $X$, kan den udvides til hele rummet $X$, samtidig med at dens linearitet og kontinuitet bevares. Desuden kan udvidelsen gøres til at have den samme norm: $$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \frac{\abs{f(y)}}{\norm{y}}}.$$$Selv en mere generel sætning er gyldig: Lad en realværdifunktion $p(x)$ defineret på et lineært rum opfylde betingelserne:$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,y \in X,$$og lad $f(x)$ være en lineær funktionel realværdi defineret på et underrum $Y \undermængde X$ og sådan, at $$ f(x) \leq p(x), \quad x \i Y.$$Derpå findes der en lineær funktionel $F(x)$ defineret på hele $X$ således, at$$$ F(x) = f(x), \kvad x \i Y; \kvadF(x) \leq p(x), \kvad x \i X.En konsekvens af Hahn-Banach-sætningen er den “omvendte” formel, som sætter normerne for $X$ og $X^*$ i forbindelse med hinanden: $$\norm{x} = \max_{f \in X^*} \frac{\abs{f(x)}}}{\norm{f}}},\quadf \neq 0, \quadx \i X.$$$Maksimum i denne formel opnås for en vis $f=f_X\i X^*$. En anden vigtig konsekvens er eksistensen af et separerende sæt af kontinuerlige lineære funktionaler, hvilket betyder, at der for enhver $x_1 \neq x_2 \i X$ findes en lineær funktional $f$ på $X$ således, at $f(x_1) \neq f(x_2)$ (jf. komplet sæt af funktionaler).

Generel struktur af lineære funktionaler

Den generelle form af en lineær funktional er kendt for mange specifikke Banach-rum. På $L_p$, $p>1$, er alle lineære funktionaler således givet ved en formel$$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$hvor $y \in L_q$, $1/p + 1/q = 1$, og enhver funktion $y(t) \i L_q$ definerer en lineær funktionel $f$ ved denne formel, og desuden$$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$Det dobbelte rum for $L_p$ er således $L_q$: $L_p^* = L_q$. Lineære funktionaler på $L_1$ defineres ved samme formel, men i dette tilfælde er $y \i M$, således at $L_1^* = M$.

Bidualer, refleksivitet

Det rum $X^{**}$, der er dual til $X^*$, siges at være det andet dual- eller bidualrum. Tredje, fjerde osv. duale rum defineres på lignende måde. Hvert element i $X$ kan identificeres med en lineær funktionel defineret på $X^*$:$$ \text{$F(f) = f(x)$ for alle $f \in X^*$ ($F \in X^{**}$, $x \in X$),}$$$hvor $\norm{F} = \norm{x}$. Man kan så betragte $X$ som et underrum til rummet $X^{**}$ og $X \submængde X^{**} \submængde X^\text{IV} \subset \cdots$, $X^* \subset X^{***} \subset \cdots$. Hvis Banach-rummet som følge af disse inklusioner er sammenfaldende med sin anden dual, kaldes det refleksivt. I et sådant tilfælde er alle inklusioner lig med ligheder. Hvis $X$ ikke er refleksivt, er alle inklusioner strenge. Hvis det kvoteserende rum $X^{**}/X$ har finite dimension $n$, siges $X$ at være kvasirefleksivt af orden $n$. Der findes kvasirefleksive rum for alle $n$.

Refleksivitetskriterier for Banach-rum

  1. $X$ er refleksiv, hvis og kun hvis det for hver $f \in X^*$ er muligt at finde et $x \in X$, hvor “sup” i formlen $$ \norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}}, \kvad x \neq 0, $$ er opnået.
  2. I refleksive Banach-rum og kun i sådanne rum er hver afgrænset mængde relativt kompakt med hensyn til svag konvergens: Enhver af dens uendelige dele indeholder en svagt konvergent sekvens (Eberlein-Shmul’yan-sætningen). Rummene $L_p$ og $\ell_p$, $p>1$, er refleksive. Rummene $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ er ikke-refleksive.

Speciale tilfælde

Svagt komplette rum

Et Banach-rum siges at være svagt komplet, hvis hver svag Cauchy-sekvens i det svagt konvergerer til et element i rummet. Ethvert refleksivt rum er svagt komplet. Desuden er Banachrummene $L_1$ og $\ell_1$ svagt fuldstændige. De Banach-rum, der ikke indeholder et underrum, der er isomorft til $c_0$, udgør en endnu bredere klasse. Disse rum ligner svagt fuldstændige rum i flere henseender.

Strictly convex spaces

Et Banach-rum siges at være strengt konvekst, hvis dets enhedssfære $S$$ ikke indeholder nogen segmenter. Der indføres konveksitetsmoduler med henblik på en kvantitativ vurdering af enhedssfærens konveksitet; disse er det lokale konveksitetsmodul$$$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{\frac{x+y}{2}}} :y \i S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \kvad x \i S, \kvad 0 < \epsilon \leq 2,$$$og det ensartede konveksitetsmodul$$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \i S} \delta(x,\epsilon).$$$Hvis $\delta(x,\epsilon) > 0$ for alle $x \i S$ og alle $\epsilon > 0$, siges Banach-rummet at være lokalt ensartet konvekst. Hvis $\delta(x) > 0$, siges rummet at være ensartet konvekst. Alle ensformigt konvekse Banach-rum er lokalt ensformigt konvekse; alle lokalt ensformigt konvekse Banach-rum er strengt konvekse. I finit-dimensionelle Banach-rum gælder det omvendte også. Hvis et Banach-rum er ensartet konvekst, er det refleksivt.

Glatte rum

Et Banach-rum siges at være glat, hvis for alle lineært uafhængige elementer $x$ og $y$ funktionen $\psi(t)=\norm{x+ty}$ er differentierbar for alle værdier af $t$. Et Banach-rum siges at være ensartet glat, hvis dets glathedsmodul$$$ \rho(t) = \sup_{x,y \in S}\set{\frac{\norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}}}{2} -1}, \kvad \tau > 0,$$$opfylder betingelsen$$$ \$lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$$I ensartet glatte rum, og kun i sådanne rum, er normen ensartet Fréchet-differentierbar. Et ensartet glat Banach-rum er glat. Det omvendte er tilfældet, hvis Banach-rummet er finit-dimensionelt. Et Banach-rum $X$ er ensartet konvekst (ensartet glat), hvis og kun hvis $X^*$ er ensartet glat (ensartet konveks). Følgende forhold knytter konveksitetsmodulet for et Banach-rum $X$ til glathedsmodulet for $X^*$:$$ \$rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\{sæt{\frac{\epsilon\tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}.$$$Hvis et Banach-rum er ensartet konvekst (ensartet glat), så er alle dets underrum og kvotienter det også. Banachrummene $L_p$ og $\ell_p$, $p>1$, er ensartet konvekse og ensartet glatte, og$$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cases}\epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \\\\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{cases}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\\\\tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{\phi(\epsilon)} < b\right).$$$Banachrummene $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ er ikke strengt konvekse og er ikke glatte.

Lineære operatører

De følgende vigtige sætninger for lineære operatører er gyldige i Banachrum:

Banach-Steinhaus-sætningen.

Hvis en familie af lineære operatører $T=\set{T_\alpha}$ er afgrænset i hvert punkt,$$\sup_\alpha \norm{T_\alpha x} < \infty, \kvad x \in X,$$så er den normafgrænset:$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha} < \infty.$$

Banach-sætningen om åben kortlægning.

Hvis en lineær kontinuerlig operatør afbilder et Banach-rum $X$ til et Banach-rum $Y$ i en en-til-en korrespondance, er den omvendte operatør $T^{{-1}$$ også kontinuerlig.

Theoremet om den lukkede graf.

Hvis en lukket lineær operatør kortlægger et Banach-rum $X$ til et Banach-rum $Y$, så er den kontinuert.

Isometrier og isomorphismer

Isometrier mellem Banach-rum forekommer sjældent. Det klassiske eksempel er givet af Banachrummene $L_1$ og $\ell_2$. Banachrummene $C$ og $C$ er isometriske, hvis og kun hvis $K_1$ og $K_2$ er homøomorfiske (Banach-Stone-sætningen). Et mål for nærhed mellem isomorfe Banach-rum er tallet$$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$,$$hvor $T$ gennemgår alle mulige operatører, der realiserer en (lineær topologisk) isomorfi mellem $X$ og $Y$. Hvis $X$ er isometrisk til $Y$, så er $d(X,Y)=0$. Der findes imidlertid også ikke-isometriske rum, for hvilke $d(X,Y)=0$; de siges at være næsten-isometriske. De egenskaber ved Banach-rum, der bevares under en isomorfi, siges at være lineært topologiske. De omfatter separabilitet, refleksivitet og svag fuldstændighed. Den isomorfe klassifikation af Banach-rum indeholder bl.a. følgende sætninger:$$ L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$$$C = C$, hvis $K$ er et metrisk kompaktum med kontinuummets kardinalitet;$$ C^n \neq C.$$

Hvert separabelt Banach-rum er isomorft til et lokalt ensartet konvekst Banach-rum. Det vides ikke (1985), om der findes Banach-rum, som ikke er isomorfe til nogen af deres hyperplaner. Der findes Banach-rum, som ikke er isomorfe til strengt konvekse rum. Uanset den lineære karakter af normerede rum er det muligt at overveje deres topologiske klassifikation. To rum er homøomorfe, hvis der kan etableres en kontinuerlig en-til-en korrespondance mellem deres elementer, således at deres inverse også er kontinuerlig. Et ufuldstændigt normeret rum er ikke homøomorft til et Banach-rum. Alle uendelig-dimensionelle separable Banach-rum er homøomorfe.

I klassen af separable Banach-rum er $C$ og $A(D)$ universelle (jf. Universal space). Klassen af refleksive separable Banach-rum indeholder endog ingen isomorfe universelle rum. Banachrummet $\ell_1$ er universelt i en noget anden betydning: Alle separable Banach-rum er isometriske til et af dets kvotienterrum.

Nikke-komplementerbare underrum

Hvert af de ovennævnte Banach-rum, undtagen $L_2$ og $\ell_2$, indeholder underrum uden et komplement. Navnlig i $m$ og $M$ er ethvert uendeligt-dimensionelt separabelt underrum ikke-komplementabelt, mens alle uendeligt-dimensionelle refleksive underrum i $C$ er ikke-komplementabelt. Hvis alle underrum i et Banach-rum er komplementerbare, er rummet isomorft til et Hilbert-rum. Det vides ikke (1985), om alle Banach-rum er direkte summer af to uendelig-dimensionelle underrum eller ej. Et underrum $Y$ er komplementabelt, hvis og kun hvis der findes en projektion, der afbilder $X$ på $Y$. Den nedre grænse for projektionernes normer på $Y$ kaldes den relative projektionskonstant $\lambda(Y,X) $ for underrummet $Y$ i $X$. Hvert $n$-dimensionelt underrum af et Banach-rum er komplementabelt, og $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. Den absolutte projektionskonstant $\lambda(Y)$ for et Banach-rum $Y$ er$$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$$hvor $X$ går gennem alle Banach-rum, der indeholder $Y$ som et underrum. For ethvert uendelig-dimensionelt separabelt Banach-rum $Y$ har man $\lambda(Y) = \infty$. Banachrum, for hvilke $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ udgør klassen $\mathcal{P}_\lambda$ ($\lambda \geq 1$). Klassen $\mathcal{P}_1$ falder sammen med klassen af rum $C(Q)$, hvor $Q$ er ekstremt frakoblede kompakte rum (jf. ekstremt frakoblede rum).

Finite-dimensionelt tilfælde

Fundamentale sætninger om finite-dimensionelle Banach-rum:

  1. Et endeligt dimensionelt rum er komplet, dvs. er et Banach-rum.
  2. Alle lineære operatorer i et endeligt dimensionelt Banach-rum er kontinuerte.
  3. Et endeligt dimensionelt Banach-rum er refleksivt (dimensionen af $X^*$ er lig med dimensionen af $X$).
  4. Et Banach-rum er endeligt dimensionelt, hvis og kun hvis dets enhedskugle er kompakt.
  5. Alle $n$-dimensionelle Banach-rum er parvis isomorfe; deres mængde bliver kompakt, hvis man indfører afstanden

$$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\\|\.$$$

Konvergens af serier

En serie\begin{equation}\sum_{k=1}^\infty x_k, \kvad x_k \i X \label{eq:serie}\end{equation} siges at være konvergent, hvis der findes en grænse $S$ af sekvensen af partielle summer:$$ \$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty,$$$er serien $\eqref{eq:series}$ konvergent, og siges i så fald at være absolut konvergent. En serie siges at være ubetinget konvergent, hvis den konvergerer, når dens termer omarrangeres vilkårligt. Summen af en absolut konvergent serie er uafhængig af placeringen af dens termer. I tilfælde af serier i et finite-dimensionelt rum (og især for talserier) er ubetinget og absolut konvergens ækvivalente. I uendeligt dimensionelle Banach-rum følger ubetinget konvergens af absolut konvergens, men det omvendte er ikke sandt i et uendeligt dimensionelt Banach-rum. Dette er en konsekvens af Dvoretskii-Rogers-sætningen: For alle tal $\alpha_k \geq 0$, der er underlagt betingelsen $\sum\alpha_k^2 < \infty$, findes der i hvert uendeligt-dimensionelt Banach-rum en ubetinget konvergent serie $\sum x_k$, således at $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. I rummet $c_0$ (og dermed også i ethvert Banach-rum, der indeholder et underrum isomorft til $c_0$) findes der for enhver sekvens $\alpha_k \geq 0$, der konvergerer mod nul, en ubetinget konvergerende serie $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. I $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ indebærer den ubetingede konvergens af serien $\sum x_k$, at$$$ \sum_{k=1}^\infty \norm{x_k}^s < \infty,$$$hvor$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \\p & (p \geq 2).\end{cases}$$$I et ensartet konveks Banach-rum med konveksitetsmodul $\delta(\epsilon)$ indebærer den ubetingede konvergens af serien $\sum x_k$, at $$$sum_{k=1}^\infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$$

En serie $\sum x_k$ siges at være svagt ubetinget Cauchy-agtig, hvis talserien $\sum\abs{f(x_k)}$ konvergerer for hver $f \i X^*$. Hver svagt ubetinget Cauchy-serie i $X$ konvergerer, hvis og kun hvis $X$ ikke indeholder noget underrum, der er isomorft til $c_0$.

En sekvens af elementer $\sæt{e_k}_1^\infty$ i et Banach-rum siges at være minimal, hvis hver af dens termer ligger uden for lukningen af $X^{(n)} = _{k \neq n}$$, det lineære skrog af de resterende elementer. En sekvens siges at være ensartet minimal, hvis$$$ \rho(e_n ; X^{{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$$Hvis $\gamma=1$, siges serien at være et Auerbach-system. I hvert $n$-dimensionelt Banach-rum findes der et komplet Auerbach-system $\set{e_k}_1^n$. Det vides ikke (1985), om der findes et fuldstændigt Auerbach-system i ethvert separabelt Banach-rum eller ej. For hvert minimalsystem findes der et adjunkteret system af lineære funktionaler $\set{f_n}$, som er forbundet med $\set{e_k}$ ved biorthogonalitetsrelationerne: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. I et sådant tilfælde siges systemet $\set{e_k,f_k}$ at være biorthogonalt. Et sæt af lineære funktionaler siges at være totalt, hvis det kun tilintetgør rummets nulelement. I hvert separabelt Banach-rum findes der et komplet, minimalt system med en total adjunkt. Hvert element $x \i X$ kan formelt set udvikles i en serie ved hjælp af det biorthogonale system: $$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$ men i det generelle tilfælde er denne serie divergerende.

Baser

Et system af elementer $\set{e_k}_1^\infty$ siges at være en basis i $X$, hvis hvert element $x \i X$ entydigt kan repræsenteres som en konvergent serie$$x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \kvad \alpha_k = \alpha_k(x). $$$Hvert grundlag i et Banach-rum er et komplet ensartet minimalsystem med en total adjunkt. Det omvendte er ikke sandt, som det fremgår af eksemplet med systemet $\set{e^{{int}}}_{-\infty}^\infty$ i $C$ og $L_1$.

En basis siges at være ubetinget, hvis alle dens omlægninger også er baser; ellers siges den at være betinget. Systemet $\set{e^{{int}}}_{-\infty}^\infty$ i $L_p$, $p>1$, $p \neq 2$, er en betinget basis. Haar-systemet er et ubetinget grundlag i $L_p$, $p > 1$. Der findes ingen ubetinget basis i rummene $C$ og $L_1$. Det vides ikke (1985), om hvert Banach-rum indeholder et uendeligt-dimensionelt underrum med en ubetinget basis eller ej. Ethvert ikke-refleksivt Banach-rum med en ubetinget basis indeholder et underrum, der er isomorft til $\ell_1$ eller $c_0$.

To normaliserede baser $\set{e_k^\prime}$ og $\set{e_k^{\prime\prime}} $ i to Banach-rum $X_1$ og $X_2$ siges at være ækvivalente, hvis korrespondancen $e_k^^\prime \leftrightarrow e_k^{{\prime\prime}}$, $k=1,2,\ldots$, kan udvides til en isomorfi mellem $X_1$ og $X_2$. I hvert af rummene $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0$ er alle normaliserede ubetingede baser ækvivalente med den naturlige base. Baser konstrueret i Banach-rum, som har vigtige anvendelser, er ikke altid egnede til løsning af problemer, f.eks. i teorien om operatører. $T$-baser, eller summationsbaser, er blevet indført i denne sammenhæng. Lad $\set{t_{i,j}}}_1^\infty$ være matricen for en regelmæssig summationsmetode. Systemet af elementer $\set{e_n} \subset X$ siges at være en $T$-base svarende til den givne summationsmetode, hvis hvert $x \i X$ entydigt kan repræsenteres af en serie $$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$som kan summeres til $x$ ved denne metode. Det trigonometriske system $\set{e^{{int}}}_{-\infty}^\infty$ i $C$ er et summationsgrundlag for Cesàros og Abels metoder. Hver $T$-base er et komplet minimalt (ikke nødvendigvis ensartet minimalt) system med en total adjunkt. Det omvendte er ikke tilfældet. Indtil 1970’erne var et af de vigtigste problemer i teorien om Banach-rum et basisproblem, der blev behandlet af Banach selv: Findes der en basis i hvert separabelt Banach-rum? Spørgsmålet om eksistensen af en basis i specifikt definerede Banach-rum forblev også åbent. Det første eksempel på et separabelt Banach-rum uden basis blev konstrueret i 1972; baser i rummene $C^n(I^m)$ og $A(D)$ er blevet konstrueret.

S. Banach, “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” Fund. Math., 3 (1922) pp. 133-181 JFM Zbl 48.0201.01
S.S. Banach, “A course of functional analysis”, Kiev (1948) (På ukrainsk)
B. Beauzamy, “Introduction to Banach spaces and their geometry”, North-Holland (1985) MR0889253 Zbl 0585.46009
N. Bourbaki, “Elements of mathematics. Topologiske vektorrum”, Addison-Wesley (1977) (oversat fra fransk) MR0583191 Zbl 1106.46003 Zbl 1115.46002 Zbl 0622.46001 Zbl 0482.46001
M.M. Day, “Normed linear spaces”, Springer (1958) MR0094675 Zbl 0082.10603
J.J. Diestel, “Geometry of Banach spaces. Selected topics”, Springer (1975) MR0461094 Zbl 0307.46009
N. Dunford, J.T. Schwartz, “Linear operators. General theory”, 1, Interscience (1958) MR0117523 MR0117523
J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, “Classical Banach spaces”, 1-2, Springer (1977-1979) MR0500056 Zbl 0362.46013
R.V. Kadison, J.R. Ringrose, “Fundamentals of the Theory of Operator Algebras”, Volume I: Elementary Theory, AMS (1997) MR1468229
Z. Semanedi, “Banach spaces of continuous functions”, Polish Sci. Publ. (1971)
I.M. Singer, “Bases in Banach spaces”, 1-2, Springer (1970-1981) MR0298399 MR0268648 Zbl 0198.16601 Zbl 0189.42901

Leave a Reply