Banachraum

B-Raum

2010 Mathematics Subject Classification: Primär: 46B Sekundär: 46E15 $\newcommand{\abs}{\left|#1\right|}\newcommand{\norm}{\left\|#1\right\|}\newcommand{\set}{\left\{#1\right\}}$

Ein vollständiger normierter Vektorraum. Die Probleme, die mit Banachräumen zu tun haben, sind unterschiedlicher Art: die Geometrie der Einheitskugel, die Geometrie der Unterräume, die lineare topologische Klassifikation, Reihen und Folgen in Banachräumen, beste Approximationen in Banachräumen, Funktionen mit Werten in einem Banachraum, usw. In Bezug auf die Theorie der Operatoren in Banach-Räumen ist darauf hinzuweisen, dass viele Theoreme in direktem Zusammenhang mit der Geometrie und der Topologie von Banach-Räumen stehen.

Geschichte

Die von D. Hilbert, M. Fréchet und F. Riesz zwischen 1904 und 1918 eingeführten Funktionsräume dienten als Ausgangspunkt für die Theorie der Banach-Räume. In diesen Räumen wurden ursprünglich die grundlegenden Konzepte der starken und schwachen Konvergenz, der Kompaktheit, der linearen Funktionen, der linearen Operatoren usw. untersucht. Banach-Räume wurden nach S. Banach benannt, der 1922 mit einer systematischen Untersuchung dieser Räume begann, die auf den von ihm selbst eingeführten Axiomen basierte, und der sehr fortschrittliche Ergebnisse erzielte.

Die Theorie der Banach-Räume entwickelte sich parallel zur allgemeinen Theorie der linearen topologischen Räume. Diese Theorien bereicherten sich gegenseitig mit neuen Ideen und Fakten. So wurde die Idee der Semi-Normen, die aus der Theorie der normierten Räume übernommen wurde, zu einem unverzichtbaren Werkzeug beim Aufbau der Theorie der lokal konvexen linearen topologischen Räume. Die Ideen der schwachen Konvergenz von Elementen und linearen Funktionalen in Banach-Räumen entwickelten sich schließlich zum Konzept der schwachen Topologie. Die Theorie der Banachräume ist ein gründlich erforschter Zweig der Funktionalanalysis mit zahlreichen Anwendungen in verschiedenen Zweigen der Mathematik – direkt oder über die Theorie der Operatoren.

Allgemeines

Ein Banachraum $X$ ist ein Vektorraum über $\R$ oder $\C$ mit einer Norm $\norm{\cdot}$, die bezüglich dieser Norm vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge in $X$ konvergiert.

Für zwei Banachräume $X$, $Y$ bezeichne man mit $B(X,Y)$ den Raum der linearen stetigen Abbildungen von $X$ nach $Y$. Er ist selbst ein Banachraum bezüglich der Norm $$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}{\norm{x}}.$$

Beispiele

Die in der Analysis vorkommenden Banachräume sind meist Mengen von Funktionen oder Zahlenfolgen, die bestimmten Bedingungen unterliegen.

1. $\ell_p$, $p \geq 1$, ist der Raum der Zahlenfolgen $\set{\xi_n}$, für die $$ \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p < \infty$$ mit der Norm $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
2. $m$ ist der Raum der beschränkten numerischen Folgen mit der Norm $$ \norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
3. $c$ ist der Raum der konvergenten numerischen Folgen mit der Norm $$\norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
4. $c_0$ ist der Raum der numerischen Folgen, die gegen Null konvergieren mit der Norm $$ \norm{x} = \max_n\abs{\xi_n}.$$
5. $C$ ist der Raum der stetigen Funktionen $x=x(t)$ auf $$ mit der Norm $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}\abs{x(t)}.$$
6. $C$ ist der Raum der stetigen Funktionen auf einem Kompaktum $K$ mit der Norm $$\norm{x} = \max_{t \in K}\abs{x(t)}$$.
7. $C^n$ ist der Raum der Funktionen mit stetigen Ableitungen bis und mit der Ordnung $n$, mit der Norm $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}\abs{x^{(k)}(t)}. $$
8. $C^n$ ist der Raum aller in einem $m$-dimensionalen Würfel definierten Funktionen, die kontinuierlich differenzierbar sind bis und mit der Ordnung $n$, mit der Norm der einheitlichen Beschränktheit in allen Ableitungen der Ordnung höchstens $n$. (Vgl. Hölder-Raum.)
9. $M$ ist der Raum der beschränkten messbaren Funktionen mit der Norm $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess\;max}}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
10. $A(D)$ ist der Raum der Funktionen, die in der offenen Einheitsscheibe $D$ analytisch sind und in der geschlossenen Scheibe $\bar{D}$ stetig sind, mit der Norm $$\norm{x} = \max_{z \in \bar{D}}\abs{x(z)}. $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, ist der Raum der Funktionen $x(s)$, die auf einer mit einem abzählbar-additiven Maß $\mu$ versehenen Menge $S$ definiert sind, mit der Norm $$\norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Vgl. $L^p$-Räume.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, ist ein Spezialfall des Raumes $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. Es ist der Raum der Lebesgue-meßbaren Funktionen, summierbar vom Grad $p$, mit der Norm $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p}.$$
13. $AP$ ist der Bohrsche Raum fast-periodischer Funktionen, mit der Norm $$\norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

Die Räume $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ sind trennbar; die Räume $M$, $m$, $AP$ sind nicht trennbar; $C$ ist nur dann trennbar, wenn $K$ ein kompakter metrischer Raum ist.

Weitere Beispiele sind Sobolev-Räume und der Hardy-Raum $\mathcal{H}^1$. Alle Hilbert-Räume sind a forteriori Banach-Räume.

Quotienten

Ein (geschlossener linearer) Unterraum $Y$ eines Banach-Raums, der getrennt vom Hüllraum $X$ betrachtet wird, ist ein Banach-Raum. Der Quotientenraum $X/Y$ eines normierten Raumes durch einen Unterraum $Y$ ist ein normierter Raum, wenn die Norm wie folgt definiert ist. Sei $Y_1 = x_1 + Y$ eine Teilmenge. Dann sei $$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \norm{x_1 + y}.$$Wenn $X$ ein Banachraum ist, dann ist auch $X/Y$ ein Banachraum.

Ist $Z$ ein anderer normierter Raum und $T\in B(X,Z)$ erfüllt $T(Y)=\{0\}$, dann gibt es $\hat T \in B(X/Y,Z)$ so, dass $T = \hat T \circ Q$ und $\norm{T}=\norm{\hat T}$, wobei $Q:X \nach X/Y$ die Quotientenabbildung ist.

Lineare Funktionale, Dualraum

Die Menge aller stetigen linearen Funktionale, die auf dem normierten Raum $X$ definiert sind, mit der Norm$$$\norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$, nennt man den Dualraum von $X$ und wird mit $X^*$ bezeichnet. Er ist ein Banachraum.

Hahn-Banach-Satz

Banachräume erfüllen den Hahn-Banach-Satz über die Erweiterung linearer Funktionale: Ist ein lineares Funktional auf einem Unterraum $Y$ eines normierten Raumes $X$ definiert, so kann es unter Wahrung seiner Linearität und Stetigkeit auf den gesamten Raum $X$ erweitert werden. Außerdem kann die Erweiterung so vorgenommen werden, dass sie die gleiche Norm hat:$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \frac{\abs{f(y)}}{\norm{y}}.$$Ein noch allgemeinerer Satz ist gültig: Eine auf einem linearen Raum definierte reellwertige Funktion $p(x)$ erfülle die Bedingungen:$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,y \in X,$$und sei $f(x)$ ein reellwertiges lineares Funktional, das auf einem Unterraum $Y \Teilmenge X$ definiert ist, und zwar so, dass$$ f(x) \leq p(x), \quad x \in Y.$$Dann existiert ein lineares Funktional $F(x)$, das auf der Gesamtheit von $X$ so definiert ist, dass$$ F(x) = f(x), \quad x \in Y; \quadF(x) \leq p(x), \quad x \in X.$$ Eine Folge des Hahn-Banach-Satzes ist die „inverse“ Formel, die die Normen von $X$ und $X^*$ in Beziehung setzt:$$\norm{x} = \max_{f \in X^*} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{f}},\quadf \neq 0, \quadx \in X.$$ Das Maximum in dieser Formel wird für einige $f=f_X\in X^*$ erreicht. Eine weitere wichtige Konsequenz ist die Existenz einer trennenden Menge von stetigen linearen Funktionalen, d.h. für jedes $x_1 \neq x_2 \in X$ existiert ein lineares Funktional $f$ auf $X$, so dass $f(x_1) \neq f(x_2)$ (vgl. Vollständige Menge von Funktionalen).

Allgemeine Struktur von linearen Funktionalen

Die allgemeine Form eines linearen Funktionals ist für viele spezifische Banachräume bekannt. So sind auf $L_p$, $p>1$, alle linearen Funktionale durch eine Formel$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$mit $y \in L_q$, $1/p + 1/q = 1$ gegeben, und jede Funktion $y(t) \in L_q$ definiert ein lineares Funktional $f$ durch diese Formel, außerdem$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$Der Dualraum von $L_p$ ist also $L_q$: $L_p^* = L_q$. Lineare Funktionale auf $L_1$ sind durch dieselbe Formel definiert, aber in diesem Fall ist $y \in M$, so dass $L_1^* = M$.

Biduale, Reflexivität

Der Raum $X^{**}$, der zu $X^*$ dual ist, wird als zweiter Dual oder Bidual bezeichnet. Dritte, vierte usw., duale Räume werden in ähnlicher Weise definiert. Jedes Element in $X$ kann mit einem auf $X^*$ definierten linearen Funktional identifiziert werden:$$ \text{$F(f) = f(x)$ für alle $f \in X^*$ ($F \in X^{**}$, $x \in X$),}$$ wobei $\norm{F} = \norm{x}$. Man kann dann $X$ als einen Unterraum des Raumes $X^{**}$ betrachten und $X \Teilmenge X^{**} \Teilmenge X^\text{IV} \Teilmenge \cdots$, $X^* \Teilmenge X^{***} \Teilmenge \cdots$. Wenn infolge dieser Einschlüsse der Banachraum mit seinem zweiten Dual zusammenfällt, nennt man ihn reflexiv. In einem solchen Fall sind alle Einschlüsse Gleichheiten. Wenn $X$ nicht reflexiv ist, sind alle Einschlüsse strikt. Hat der Quotientenraum $X^{**}/X$ eine endliche Dimension $n$, so heißt $X$ quasi-reflexiv der Ordnung $n$. Quasi-reflexive Räume gibt es für alle $n$.

Reflexivitätskriterien für Banachräume

1. $X$ ist dann und nur dann reflexiv, wenn sich für jedes $f \in X^*$ ein $x \in X$ finden lässt, auf dem das „sup“ in der Formel $$ \norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0, $$ erreicht wird.
2. In reflexiven Banachräumen und nur in solchen Räumen ist jede beschränkte Menge relativ kompakt bezüglich schwacher Konvergenz: Jeder ihrer unendlichen Teile enthält eine schwach konvergente Folge (Eberlein-Shmul’yan-Theorem). Die Räume $L_p$ und $\ell_p$, $p>1$, sind reflexiv. Die Räume $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ sind nicht-reflexiv.

Sonderfälle

Schwach vollständige Räume

Ein Banachraum heißt schwach vollständig, wenn jede schwache Cauchy-Folge in ihm schwach zu einem Element des Raumes konvergiert. Jeder reflexive Raum ist schwach vollständig. Außerdem sind die Banachräume $L_1$ und $\ell_1$ schwach vollständig. Die Banachräume, die keinen zu $c_0$ isomorphen Unterraum enthalten, bilden eine noch größere Klasse. Diese Räume ähneln in mehrfacher Hinsicht schwach vollständigen Räumen.

Streng konvexe Räume

Ein Banachraum heißt streng konvex, wenn seine Einheitssphäre $S$ keine Segmente enthält. Zur quantitativen Abschätzung der Konvexität der Einheitssphäre werden Konvexitätsmodule eingeführt; dies sind die lokalen Konvexitätsmodule $$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{\frac{x+y}{2}} :y \in S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \quad x \in S, \quad 0 < \epsilon \leq 2,$$und der einheitliche Konvexitätsmodul$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \in S} \delta(x,\epsilon).$$Ist $\delta(x,\epsilon) > 0$ für alle $x \in S$ und alle $\epsilon > 0$, so heißt der Banachraum lokal gleichmäßig konvex. Ist $\delta(x) > 0$, so sagt man, der Raum sei gleichmäßig konvex. Alle gleichmäßig konvexen Banachräume sind lokal gleichmäßig konvex; alle lokal gleichmäßig konvexen Banachräume sind streng konvex. Für endlich-dimensionale Banach-Räume gilt auch das Umgekehrte. Ist ein Banachraum gleichmäßig konvex, so ist er reflexiv.

Glatte Räume

Ein Banachraum soll glatt sein, wenn für beliebige linear unabhängige Elemente $x$ und $y$ die Funktion $\psi(t)=\norm{x+ty}$ für alle Werte von $t$ differenzierbar ist. Ein Banachraum heißt gleichmäßig glatt, wenn sein Glättungsmodul$$ \rho(t) = \sup_{x,y \in S}\set{\frac{\norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}}{2} -1}, \quad \tau > 0,$$erfüllt die Bedingung$$ \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$In gleichmäßig glatten Räumen, und nur in solchen, ist die Norm gleichmäßig Fréchet differenzierbar. Ein gleichmäßig glatter Banach-Raum ist glatt. Das Gegenteil ist der Fall, wenn der Banachraum endlich-dimensional ist. Ein Banachraum $X$ ist dann und nur dann gleichmäßig konvex (gleichmäßig glatt), wenn $X^*$ gleichmäßig glatt (gleichmäßig konvex) ist. Zwischen dem Konvexitätsmodul eines Banachraums $X$ und dem Glättungsmodul von $X^*$ besteht folgender Zusammenhang:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\set{\frac{\epsilon\tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}.$$Wenn ein Banachraum gleichmäßig konvex (gleichmäßig glatt) ist, sind es auch alle seine Unterräume und Quotientenräume. Die Banachräume $L_p$ und $\ell_p$, $p>1$, sind gleichmäßig konvex und gleichmäßig glatt, und$$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cases}\epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \\\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{cases}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\\tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{\phi(\epsilon)} < b\right).$$Die Banachräume $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ sind nicht streng konvex und nicht glatt.

Lineare Operatoren

Die folgenden wichtigen Theoreme für lineare Operatoren gelten in Banachräumen:

Der Banach-Steinhaus-Satz.

Ist eine Familie linearer Operatoren $T=\set{T_\alpha}$ in jedem Punkt,$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha x} < \infty, \quad x \in X,$$ beschränkt, so ist sie normbeschränkt:$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha} < \infty.$$

Der Satz von der offenen Banach-Abbildung.

Wenn ein linearer kontinuierlicher Operator einen Banachraum $X$ auf einen Banachraum $Y$ in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung abbildet, so ist der inverse Operator $T^{-1}$ ebenfalls kontinuierlich.

Der Satz vom geschlossenen Graphen.

Wenn ein geschlossener linearer Operator einen Banachraum $X$ in einen Banachraum $Y$ abbildet, dann ist er stetig.

Isometrien und Isomorphismen

Isometrien zwischen Banachräumen kommen selten vor. Das klassische Beispiel sind die Banachräume $L_1$ und $\ell_2$. Die Banachräume $C$ und $C$ sind dann und nur dann isometrisch, wenn $K_1$ und $K_2$ homöomorph sind (Banach-Stein-Satz). Ein Maß für die Nähe isomorpher Banachräume ist die Zahl$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$ wobei $T$ alle möglichen Operatoren durchläuft, die einen (linearen topologischen) Isomorphismus zwischen $X$ und $Y$ realisieren. Wenn $X$ isometrisch zu $Y$ ist, dann ist $d(X,Y)=0$. Es gibt aber auch nicht-isometrische Räume, für die $d(X,Y)=0$ gilt; man sagt, sie seien fast-isometrisch. Die Eigenschaften von Banach-Räumen, die durch einen Isomorphismus erhalten bleiben, werden als linear-topologisch bezeichnet. Dazu gehören Trennbarkeit, Reflexivität und schwache Vollständigkeit. Die isomorphe Klassifikation von Banach-Räumen enthält insbesondere die folgenden Theoreme:$$ L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$$C = C$ wenn $K$ ein metrisches Kompaktum mit der Kardinalität des Kontinuums ist;$$ C^n \neq C.$$

Jeder separierbare Banachraum ist isomorph zu einem lokal gleichmäßig konvexen Banachraum. Es ist nicht bekannt (1985), ob es Banachräume gibt, die zu keiner ihrer Hyperebenen isomorph sind. Es gibt Banach-Räume, die nicht zu streng konvexen Räumen isomorph sind. Unabhängig von der linearen Natur normierter Räume ist es möglich, ihre topologische Klassifizierung zu betrachten. Zwei Räume sind homöomorph, wenn zwischen ihren Elementen eine eineindeutige kontinuierliche Korrespondenz hergestellt werden kann, deren Inverse ebenfalls kontinuierlich ist. Ein unvollständig normierter Raum ist nicht homöomorph zu einem Banach-Raum. Alle unendlich-dimensionalen trennbaren Banachräume sind homöomorph.

In der Klasse der trennbaren Banachräume sind $C$ und $A(D)$ universell (vgl. Universeller Raum). Die Klasse der reflexiven trennbaren Banachräume enthält sogar keine isomorphen Universalräume. Der Banachraum $\ell_1$ ist in einem etwas anderen Sinne universell: Alle trennbaren Banachräume sind isometrisch zu einem seiner Quotientenräume.

Nichtkomplementierbare Unterräume

Jeder der oben genannten Banachräume, außer $L_2$ und $\ell_2$, enthält Unterräume ohne Komplement. Insbesondere ist in $m$ und $M$ jeder unendlich-dimensionale separierbare Unterraum nicht komplementierbar, während in $C$ alle unendlich-dimensionalen reflexiven Unterräume nicht komplementierbar sind. Wenn alle Unterräume in einem Banach-Raum komplementierbar sind, ist der Raum isomorph zu einem Hilbert-Raum. Es ist nicht bekannt (1985), ob alle Banachräume direkte Summen von zwei unendlich-dimensionalen Unterräumen sind oder nicht. Ein Unterraum $Y$ ist dann und nur dann komplementär, wenn es eine Projektion gibt, die $X$ auf $Y$ abbildet. Die untere Schranke der Normen der Projektionen auf $Y$ heißt die relative Projektionskonstante $\lambda(Y,X) $ des Unterraums $Y$ in $X$. Jeder $n$-dimensionale Unterraum eines Banachraums ist komplementär und $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. Die absolute Projektionskonstante $\lambda(Y)$ eines Banach-Raums $Y$ ist $$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ wobei $X$ durch alle Banach-Räume läuft, die $Y$ als Unterraum enthalten. Für jeden unendlich-dimensionalen trennbaren Banachraum $Y$ hat man $\lambda(Y) = \infty$. Banachräume, für die $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ ist, bilden die Klasse $\mathcal{P}_\lambda$ ($\lambda \geq 1$). Die Klasse $\mathcal{P}_1$ fällt mit der Klasse der Räume $C(Q)$ zusammen, in denen $Q$ extrem-unverbundene Kompakta sind (vgl. Extrem-unverbundener Raum).

Finit-dimensionaler Fall

Fundamentalsätze auf endlich-dimensionalen Banachräumen:

1. Ein endlich-dimensionaler Raum ist vollständig, d.h. er ist ein Banach-Raum.
2. Alle linearen Operatoren in einem endlich-dimensionalen Banach-Raum sind stetig.
3. Ein endlich-dimensionaler Banach-Raum ist reflexiv (die Dimension von $X^*$ ist gleich der Dimension von $X$).
4. Ein Banach-Raum ist endlich-dimensional, wenn und nur wenn seine Einheitskugel kompakt ist.
5. Alle $n$-dimensionalen Banachräume sind paarweise isomorph; ihre Menge wird kompakt, wenn man den Abstand einführt

$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|.$$

Konvergenz der Reihen

Eine Reihe\begin{equation}\sum_{k=1}^\infty x_k, \quad x_k \in X \label{eq:series}\end{equation} nennt man konvergent, wenn es einen Grenzwert $S$ der Folge von Teilsummen gibt:$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty,$$ ist die Reihe $\eqref{eq:series}$ konvergent, und man sagt in diesem Fall, sie sei absolut konvergent. Eine Reihe wird als unbedingt konvergent bezeichnet, wenn sie konvergiert, wenn ihre Terme beliebig umgeordnet werden. Die Summe einer absolut konvergenten Reihe ist unabhängig von der Anordnung ihrer Terme. Bei Reihen in einem endlich-dimensionalen Raum (und insbesondere bei Zahlenreihen) sind unbedingte und absolute Konvergenz gleichwertig. In unendlich-dimensionalen Banach-Räumen folgt die unbedingte Konvergenz aus der absoluten Konvergenz, aber die Umkehrung ist in keinem unendlich-dimensionalen Banach-Raum wahr. Dies ist eine Folge des Dvoretskii-Rogers-Theorems: Für alle Zahlen $\alpha_k \geq 0$, die der Bedingung $\sum\alpha_k^2 < \infty$ unterliegen, existiert in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum eine bedingungslos konvergente Reihe $\sum x_k$, so dass $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. Im Raum $c_0$ (und damit auch in jedem Banach-Raum, der einen zu $c_0$ isomorphen Unterraum enthält) existiert für jede gegen Null konvergierende Folge $\alpha_k \geq 0$ eine bedingungslos konvergente Reihe $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. In $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ impliziert die unbedingte Konvergenz der Reihe $\sum x_k$, dass$$ \sum_{k=1}^\infty \norm{x_k}^s < \infty,$$ wobei$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \\\p & (p \geq 2).\end{cases}$$In einem gleichmäßig konvexen Banachraum mit Konvexitätsmodul $\delta(\epsilon)$ impliziert die unbedingte Konvergenz der Reihe $\sum x_k$, dass$$ \sum_{k=1}^\infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$

Eine Reihe $\sum x_k$ heißt schwach unkonditional Cauchy, wenn die Zahlenreihe $\sum\abs{f(x_k)}$ für jedes $f \in X^*$ konvergiert. Jede schwach unbedingte Cauchy-Reihe in $X$ konvergiert nur dann, wenn $X$ keinen zu $c_0$ isomorphen Unterraum enthält.

Eine Folge von Elementen $\set{e_k}_1^\infty$ eines Banach-Raums heißt minimal, wenn jeder ihrer Terme außerhalb der Hülle von $X^{(n)} = _{k \neq n}$, der linearen Hülle der übrigen Elemente, liegt. Eine Folge ist gleichmäßig minimal, wenn$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$Ist $\gamma=1$, so nennt man die Folge ein Auerbach-System. In jedem $n$-dimensionalen Banachraum gibt es ein vollständiges Auerbachsystem $\set{e_k}_1^n$. Es ist nicht bekannt (1985), ob in jedem trennbaren Banachraum ein vollständiges Auerbachsystem existiert oder nicht. Für jedes minimale System gibt es ein adjungiertes System linearer Funktionale $\set{f_n}$, das mit $\set{e_k}$ durch die Biorthogonalitätsbeziehung $f_i(e_j) = \delta_{ij}$ verbunden ist. In einem solchen Fall sagt man, dass das System $\set{e_k,f_k}$ biorthogonal ist. Eine Menge von linearen Funktionalen heißt total, wenn sie nur das Nullelement des Raumes annihiliert. In jedem trennbaren Banachraum gibt es ein vollständiges, minimales System mit einem totalen Adjunkten. Jedes Element $x \in X$ kann formal in einer Reihe durch das biorthogonale System:$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$ entwickelt werden, aber im allgemeinen Fall ist diese Reihe divergent.

Basen

Ein System von Elementen $\set{e_k}_1^\infty$ heißt eine Basis in $X$, wenn jedes Element $x \in X$ eindeutig als eine konvergente Reihe dargestellt werden kann$$x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). $$Jede Basis in einem Banach-Raum ist ein vollständiges einheitliches minimales System mit einem totalen Adjunkten. Das Umgekehrte gilt nicht, wie man am Beispiel des Systems $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ in $C$ und $L_1$ sieht.

Eine Basis heißt unkonditional, wenn alle ihre Umlagerungen auch Basen sind; andernfalls heißt sie konditional. Das System $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ in $L_p$, $p>1$, $p \neq 2$, ist eine bedingte Basis. Das Haar-System ist eine unbedingte Basis in $L_p$, $p > 1$. In den Räumen $C$ und $L_1$ gibt es keine unbedingte Basis. Es ist nicht bekannt (1985), ob jeder Banach-Raum einen unendlich-dimensionalen Unterraum mit einer unbedingten Basis enthält oder nicht. Jeder nicht-reflexive Banachraum mit einer unbedingten Basis enthält einen Unterraum, der zu $\ell_1$ oder $c_0$ isomorph ist.

Zwei normalisierte Basen $\set{e_k^\prime}$ und $\set{e_k^{\prime\prime}} $ in zwei Banachräumen $X_1$ und $X_2$ heißen äquivalent, wenn die Entsprechung $e_k^\prime \leftrightarrow e_k^{\prime\prime}$, $k=1,2,\ldots$, zu einem Isomorphismus zwischen $X_1$ und $X_2$ erweitert werden kann. In jedem der Räume $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0 $ sind alle normalisierten unbedingten Basen äquivalent zur natürlichen Basis. In Banachräumen konstruierte Basen, die wichtige Anwendungen haben, sind nicht immer zur Lösung von Problemen geeignet, z. B. in der Theorie der Operatoren. In diesem Zusammenhang wurden $T$-Basen, auch Summationsbasen genannt, eingeführt. Sei $\set{t_{i,j}}_1^\infty$ die Matrix einer regulären Summationsmethode. Das System der Elemente $\set{e_n} \Untermenge X$ heißt eine $T$-Basis, die der gegebenen Summationsmethode entspricht, wenn jedes $x \in X$ eindeutig durch eine Reihe $$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$ dargestellt werden kann, die durch diese Methode zu $x$ summierbar ist. Das trigonometrische System $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ in $C$ ist eine Summationsbasis für die Methoden von Cesàro und Abel. Jede $T$-Basis ist ein vollständiges minimales (nicht notwendigerweise gleichmäßig minimales) System mit einem totalen Adjunkten. Die Umkehrung ist nicht wahr. Bis in die 1970er Jahre war eines der Hauptprobleme der Theorie der Banachräume das von Banach selbst behandelte Basisproblem: Gibt es in jedem trennbaren Banach-Raum eine Basis? Die Frage nach der Existenz einer Basis in speziell definierten Banach-Räumen blieb ebenfalls offen. Das erste Beispiel eines trennbaren Banachraums ohne Basis wurde 1972 konstruiert; Basen in den Räumen $C^n(I^m)$ und $A(D)$ wurden konstruiert.

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