Aryabhata

Staty av Aryabhata på IUCAA:s område i Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476-550 C.E.) var den första i raden av stora matematiker-astronomer från den indiska matematikens och den indiska astronomins klassiska tidsålder. Hans mest kända verk är Aryabhatiya (499) och Arya-Siddhanta.

Biografi

Aryabhata föddes i regionen som ligger mellan Narmada och Godavari, som var känd som Ashmaka och som nu identifieras med Maharashtra, även om tidiga buddhistiska texter beskriver Ashmaka som längre söderut, dakShiNApath eller Deccan, medan ytterligare andra texter beskriver Ashmakas som att de har stridit mot Alexander, vilket skulle sätta dem längre norrut. Andra traditioner i Indien hävdar att han var från Kerala och att han reste norrut, eller att han var en Maga Brahmin från Gujarat.

Det är dock tämligen säkert att han vid någon tidpunkt åkte till Kusumapura för högre studier och att han bodde här en tid. Bhāskara I (629 e.Kr.) identifierar Kusumapura som Pataliputra (dagens Patna). Kusumapura blev senare känt som ett av två stora matematiska centra i Indien (Ujjain var det andra). Han levde där under Guptaimperiets avtagande år, den tid som är känd som Indiens guldålder, när landet redan var under angrepp av hunner i nordost, under Buddhagupta och några av de mindre kungarna före Vishnugupta. Pataliputra var vid den tiden huvudstad i Guptaimperiet, vilket gjorde det till centrum för kommunikationsnätverket – detta utsatte folket för lärande och kultur från hela världen och underlättade spridningen av eventuella vetenskapliga framsteg av Aryabhata. Hans arbete nådde så småningom hela Indien och in i den islamiska världen.

Hans förnamn, ”Arya”, är en term som används för respekt, till exempel ”Sri”, medan Bhata är ett typiskt nordindiskt namn – som i dag vanligen återfinns bland ”Bania”-samhället (eller handelsmännen) i Bihar.

Varumärken

Aryabhata är författare till flera avhandlingar om matematik och astronomi, av vilka en del är förlorade. Hans huvudverk, Aryabhatiya, ett kompendium om matematik och astronomi, hänvisades flitigt till i den indiska matematiska litteraturen och har överlevt till modern tid.

Arya-siddhanta, ett förlorat verk om astronomiska beräkningar, är känt genom skrifter av Aryabhatas samtida Varahamihira, liksom genom senare matematiker och kommentatorer, däribland Brahmagupta och Bhaskara I. Detta verk tycks vara baserat på det äldre Surya Siddhanta, och använder sig av midnatt-dag-rekrytering, till skillnad från soluppgången i Aryabhatiya. Det innehöll också en beskrivning av flera astronomiska instrument, gnomon (shanku-yantra), ett skugginstrument (chhAyA-yantra), möjligen vinkelmätningsanordningar, halvcirkel- och cirkelformade (dhanur-yantra/chakra-yantra), en cylindrisk pinne yasti-yantra, en paraplyformad anordning som kallas chhatra-yantra, och vattenklockor av minst två typer, bågformade och cylindriska.

En tredje text som kan ha överlevt i arabisk översättning är Al ntf eller Al-nanf, som påstår sig vara en översättning av Aryabhata, men sanskritnamnet på detta verk är inte känt. Det är troligen från nionde århundradet och omnämns av den persiske läraren och krönikören om Indien, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Direkta detaljer om Aryabhatas verk är därför endast kända från Aryabhatiya. Namnet Aryabhatiya beror på senare kommentatorer, Aryabhata själv kan inte ha gett det något namn; det refereras av hans lärjunge, Bhaskara I, som Ashmakatantra eller avhandlingen från Ashmaka. Den kallas också ibland Arya-shatas-aShTa, bokstavligen Aryabhatas 108, vilket är antalet verser i texten. Den är skriven i den mycket kortfattade stil som är typisk för sutralitteraturen, där varje rad är ett hjälpmedel för att minnas ett komplext system. Det är alltså kommentatorerna som ska förklara innebörden. Hela texten består av 108 verser plus en inledande 13. Det hela är indelat i fyra pAdas eller kapitel:

1. GitikApAda: (13 verser) Stora tidsenheter – kalpa, manvantra, yuga, som presenterar en kosmologi som skiljer sig från tidigare texter som Lagadhas Vedanga Jyotisha (ca första århundradet f.Kr.). Den innehåller också tabellen över sines (jya), som ges i en enda vers. För planetariska revolutioner under en mahayuga anges antalet 4,32 miljoner år.
2. GaNitapAda: (33 verser) Omfattar mensurering (kShetra vyAvahAra), aritmetiska och geometriska progressioner, gnomon/skuggor (shanku-chhAyA), enkla, kvadratiska, simultana och obestämda ekvationer (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 verser) Olika tidsenheter och metod för att bestämma planeternas positioner för en viss dag. Beräkningar rörande den interkalära månaden (adhikamAsa), kShaya-tithis. Presenterar en sjudagarsvecka, med namn för veckodagarna.
4. GolapAda: (50 verser) Geometriska/trigonometriska aspekter av himmelssfären, egenskaper hos ekliptikan, himmelsekvatorn, knutpunkten, jordens form, orsaken till dag och natt, zodiakala teckens uppkomst vid horisonten osv.

I vissa versioner citeras dessutom några kolofoner som lagts till i slutet och som hyllar verkets förtjänster etc.

Aryabhatiya presenterade ett antal innovationer inom matematik och astronomi i versform, vilka var inflytelserika under många århundraden. Textens extrema korthet utarbetades i kommentarer av hans lärjunge Bhaskara I (Bhashya, ca 600) och av Nilakantha Somayaji i hans Aryabhatiya Bhasya (1465).

Matematik

Platsvärdesystem och nollan

Talets platsvärdesystem, som för första gången sågs i Bakhshali-manuskriptet från 300-talet, var tydligt på plats i hans verk. Han använde förvisso inte symbolen, men den franske matematikern Georges Ifrah hävdar att kunskapen om nollan var underförstådd i Aryabhatas platsvärdesystem som en platshållare för tiopotenser med nollkoefficienter.

Aryabhata använde dock inte brahmi-talen. I fortsättningen av den sanskritiska traditionen från vedisk tid använde han bokstäver i alfabetet för att beteckna siffror, och uttryckte mängder (som t.ex. sinustabellen) i en mnemonisk form.

Pi som irrationell

Aryabhata arbetade med approximationen för Pi ( π {\displaystyle \pi } ), och kan ha insett att π {\displaystyle \pi } är irrationell. I den andra delen av Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10) skriver han:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇāām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

”Lägg fyra till 100, multiplicera med åtta och lägg sedan till 62 000. Med denna regel kan man närma sig omkretsen av en cirkel med diametern 20 000”.

Med andra ord, π {\displaystyle \pi } = ~ 62832/20000 = 3,1416, korrekt till fem siffror. Kommentatorn Nilakantha Somayaji (Keralaskolan, 1400-talet) tolkar ordet āsanna (närmar sig), som förekommer strax före det sista ordet, som att detta inte bara är en approximation, utan att värdet är inkommensurabelt (eller irrationellt). Om detta är korrekt är det en ganska sofistikerad insikt, för pi:s irrationalitet bevisades i Europa först 1761, av Lambert.

När Aryabhatiya översattes till arabiska (ca 820 e.Kr.) nämndes denna approximation i Al-Khwarizmis bok om algebra.

Mätning och trigonometri

I Ganitapada 6 anger Aryabhata triangelns area som

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Det kan översättas till: För en triangel är resultatet av en vinkelrätt med halvsidan arean.

Indeterminerade ekvationer

Ett problem som har varit av stort intresse för indiska matematiker sedan antiken har varit att hitta heltalslösningar till ekvationer som har formen ax + b = cy, ett ämne som har kommit att bli känt som diofantinska ekvationer. Här är ett exempel från Bhaskaras kommentar till Aryabhatiya:

Hitta det tal som ger 5 som rest när det divideras med 8, 4 som rest när det divideras med 9 och 1 som rest när det divideras med 7.

Det vill säga, hitta N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Det visar sig att det minsta värdet för N är 85. I allmänhet kan diofantinska ekvationer vara notoriskt svåra. Sådana ekvationer behandlades utförligt i den gamla vediska texten Sulba Sutras, vars äldsta delar kan gå tillbaka till 800 f.Kr. Aryabhatas metod för att lösa sådana problem, kallad kuṭṭaka (कूटटटक)-metoden. Kuttaka betyder ”pulverisera”, det vill säga bryta i små bitar, och metoden innebar en rekursiv algoritm för att skriva de ursprungliga faktorerna i termer av mindre tal. Idag är denna algoritm,så som den utarbetades av Bhaskara år 621 e.Kr, är standardmetoden för att lösa första ordningens diofantinska ekvationer, och den kallas ofta Aryabhata-algoritmen.

De diofantinska ekvationerna är av intresse inom kryptologin, och RSA-konferensen 2006 fokuserade på kuttaka-metoden och tidigare arbete i Sulvasutras.

Astronomi

Aryabhatas astronomisystem kallades audAyaka-systemet (dagarna räknas från uday, gryning vid lanka, ekvatorn). Några av hans senare skrifter om astronomi, som tydligen föreslog en andra modell (ardha-rAtrikA, midnatt), är förlorade, men kan delvis rekonstrueras från diskussionen i Brahmaguptas khanDakhAdyaka. I vissa texter tycks han tillskriva himlarnas skenbara rörelser till jordens rotation.

Solsystemets rörelser

Aryabhata tycks ha trott att jorden roterar runt sin axel. Detta framgår tydligt av uttalandet, med hänvisning till Lanka, som beskriver stjärnornas rörelse som en relativ rörelse orsakad av jordens rotation: ”Liksom en man i en båt som rör sig framåt ser de stillastående föremålen som rör sig bakåt, på samma sätt ses de stillastående stjärnorna av människorna i lankA (dvs. på ekvatorn) som rör sig exakt mot väster.”

Men i nästa vers beskrivs stjärnornas och planeternas rörelse som verkliga rörelser: ”Orsaken till att de stiger och sjunker beror på att cirkeln av asterismer tillsammans med planeterna som drivs av beskyddarvinden ständigt rör sig västerut vid Lanka.”

Lanka (bokstavligen Sri Lanka) är här en referenspunkt på ekvatorn, som togs som motsvarighet till referensmeridianen för astronomiska beräkningar.

Aryabhata beskrev en geocentrisk modell av solsystemet, där solen och månen var och en bärs upp av epicyklar som i sin tur kretsar runt jorden. I denna modell, som också återfinns i Paitāmahasiddhānta (ca 425 e.Kr.), styrs planeternas rörelser var och en av två epicyklar, en mindre manda (långsam) epicykel och en större śīghra (snabb) epicykel. Planeternas ordning i termer av avstånd från jorden är följande: Månen, Merkurius, Venus, solen, Mars, Jupiter, Saturnus och asterismerna.

Planeternas positioner och perioder beräknades i förhållande till enhetligt rörliga punkter, som när det gäller Merkurius och Venus rör sig runt jorden med samma hastighet som medelsolen och när det gäller Mars, Jupiter och Saturnus rör sig runt jorden med specifika hastigheter som representerar varje planets rörelse genom zodiaken. De flesta astronomihistoriker anser att denna modell med två epicyklar återspeglar delar av den grekiska astronomin från tiden före Ptolema. Ett annat element i Aryabhatas modell, śīghrocca, den grundläggande planetperioden i förhållande till solen, ses av vissa historiker som ett tecken på en underliggande heliocentrisk modell.

Eklipser

Aryabhata uppgav att månen och planeterna lyser genom reflekterat solljus. I stället för den rådande kosmogonin, där förmörkelser orsakades av de pseudoplanetära noderna Rahu och Ketu, förklarar han förmörkelser i termer av skuggor som kastas av och faller på jorden. Sålunda inträffar månförmörkelsen när månen går in i jordens skugga (vers gola.37), och diskuterar utförligt storleken och utbredningen av denna jordskugga (verserna gola.38-48), och sedan beräkningen, och storleken på den förmörkade delen under förmörkelser. Senare indiska astronomer förbättrade dessa beräkningar, men hans metoder utgjorde kärnan. Detta beräkningsparadigm var så exakt att 1700-talets vetenskapsman Guillaume le Gentil under ett besök i Pondicherry fann att de indiska beräkningarna av varaktigheten av månförmörkelsen 1765-08-30 var korta med 41 sekunder, medan hans diagram (Tobias Mayer, 1752) var långa med 68 sekunder.

Aryabhatas beräkning av jordens omkrets var 24 835 mil, vilket bara var 0,2 procent mindre än det faktiska värdet på 24 902 mil. Denna approximation kan ha förbättrat beräkningen av den grekiske matematikern Eratosthenes (ca 200 f.Kr.), vars exakta beräkning inte är känd i moderna enheter.

Sidereala perioder

Med tanke på moderna engelska tidsenheter beräknade Aryabhata den sidereala rotationen (jordens rotation i förhållande till fixstjärnorna) till 23 timmar, 56 minuter och 4,1 sekunder; det moderna värdet är 23:56:4,091. På samma sätt är hans värde för det sideriska årets längd 365 dagar, 6 timmar, 12 minuter och 30 sekunder ett fel på 3 minuter och 20 sekunder i förhållande till längden på ett år. Begreppet siderisk tid var känt i de flesta andra astronomiska system vid den tiden, men denna beräkning var troligen den mest exakta under perioden.

Heliocentrism

Āryabhata påstår att jorden vrider sig om sin egen axel och vissa delar av hans planetariska epicykliska modeller roterar med samma hastighet som planetens rörelse runt solen. Detta har för vissa uttolkare antytt att Āryabhatas beräkningar baserades på en underliggande heliocentrisk modell där planeterna kretsar kring solen. Ett detaljerat motargument mot denna heliocentriska tolkning finns i en recension som beskriver B. L. van der Waerdens bok som ”visar att en fullständig missuppfattning av den indiska planetteorin är platt motbevisad av varje ord i Āryabhatas beskrivning”, även om vissa medger att Āryabhatas system härstammar från en tidigare heliocentrisk modell som han inte var medveten om. Det har till och med hävdats att han ansåg att planeternas banor var elliptiska, även om inga primära bevis för detta har anförts. Även om Aristarchos av Samos (tredje århundradet f.Kr.) och ibland Herakleitos av Pontus (fjärde århundradet f.Kr.) vanligen tillskrivs kännedom om den heliocentriska teorin, hänvisar den version av grekisk astronomi som är känd i det antika Indien, Paulisa Siddhanta (möjligen av en Paulus av Alexandria), inte till någon heliocentrisk teori.

Legat

Aryabhatas verk hade stort inflytande i den indiska astronomiska traditionen och påverkade flera grannkulturer genom översättningar. Den arabiska översättningen under den islamiska guldåldern (ca 820), var särskilt inflytelserik. Några av hans resultat citeras av Al-Khwarizmi, och han omnämns av den arabiske lärde Al-Biruni från det tionde århundradet, som uppger att Āryabhatas anhängare trodde att jorden roterar runt sin axel.

Hans definitioner av sinus, liksom cosinus (kojya), versinus (ukramajya),och invers sinus (otkram jya), påverkade trigonometrins tillkomst. Han var också den förste som specificerade sinus- och versintabeller (1-cosx) i 3,75°-intervall från 0° till 90° med en noggrannhet på 4 decimaler.

I själva verket är de moderna namnen ”sinus” och ”cosinus” en felaktig transkription av orden jya och kojya som introducerades av Aryabhata. De transkriberades som jiba och kojiba på arabiska. De misstolkades sedan av Gerard av Cremona när han översatte en arabisk geometriktext till latin; han uppfattade jiba som det arabiska ordet jaib, som betyder ”veck i ett klädesplagg”, L. sinus (ca 1150).

Aryabhatas astronomiska beräkningsmetoder var också mycket inflytelserika. Tillsammans med de trigonometriska tabellerna kom de att användas i stor utsträckning i den islamiska världen och användes för att beräkna många arabiska astronomiska tabeller (zijes). Särskilt de astronomiska tabellerna i den arabiska Spanienforskaren Al-Zarqalis verk (1000-talet) översattes till latin som Toledos tabeller (1100-talet) och förblev den mest exakta ephemeris som användes i Europa i århundraden.

De kalendariska beräkningar som utarbetades av Aryabhata och hans efterföljare har använts kontinuerligt i Indien för att fastställa den hinduiska kalendern (Panchanga). De överfördes också till den islamiska världen och utgjorde grunden för Jalali-kalendern som infördes 1073 av en grupp astronomer, däribland Omar Khayyam, och som i olika versioner (modifierade 1925) är de nationella kalendrar som används i Iran och Afghanistan i dag. Jalali-kalendern bestämmer sina datum utifrån den faktiska solgenomgången, som i Aryabhata (och tidigare Siddhanta-kalendrar). Denna typ av kalender kräver en ephemeris för att beräkna datumen Även om datumen var svåra att beräkna var säsongsfelen lägre i Jalali-kalendern än i den gregorianska kalendern.

Quote

Som en kommentar till Aryabhatiya (skriven ungefär ett århundrade efter dess publicering) skrev Bhaskara I: ”Aryabhata är den mästare som efter att ha nått de mest avlägsna stränderna och loddat de djupaste djupen i havet av ultimat kunskap om matematik, kinematik och sfärik, överlämnade de tre vetenskaperna till den lärda världen.”

Namn till hans ära

• Indiens första satellit Aryabhata, är uppkallad efter honom.
• Månekratern Aryabhata är uppkallad till hans ära.
• Den skolövergripande matchtävlingen Aryabhata Maths Competition är uppkallad efter honom.

Noter

• Cooke, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, and Singh Avadhesh Narayan. History of Hindu Mathematics. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. ”Kritiska bevis för att fastställa Āryabhatas födelseort”. Current Science 93(8) (oktober 2007): 1177-1186. Hämtad den 10 april 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. London: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. ”Birth and Early Development of Indian Astronomy”. I Astronomy Across Cultures: The History of Non-Western Astronomy, redigerad av Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 079236363639
• Pingree, David. ”Astronomi i Indien.” I Astronomy Before the Telescope, redigerad av C.B.F. Walker, 123-142. London: Publicerad för förvaltarna av British Museum av British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Early Astronomy (Tidig astronomi). New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Alla länkar hämtade 25 november 2016.

• ”Āryabhaṭa I” Narahari Achar, från Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, s. 63
• John J. O’Connor och Edmund F. Robertson. Aryabhata på MacTutor archive.
• Aryabhata and Diophantus’ son, Hindustan Times Storytelling Science column, nov 2004.