Árjabhata

Socha Árjabhaty v areálu IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 C.Kr.) byl prvním z řady velkých matematiků-astronomů z klasického období indické matematiky a indické astronomie. Jeho nejznámějšími díly jsou Árjabhátija (499) a Árja-Siddhanta.

Biografie

Arjabháta se narodil v oblasti ležící mezi Narmadou a Godavárí, která byla známá jako Ašmaka a dnes je ztotožňována s Maháráštrou, ačkoli rané buddhistické texty popisují Ašmaku jižněji, jako dakŠiNApath neboli Dekán, zatímco jiné texty popisují Ašmaky jako bojovníky proti Alexandrovi, což by je řadilo severněji. Jiné indické tradice tvrdí, že pocházel z Kéraly a že cestoval na sever, nebo že to byl maga brahmín z Gudžarátu.

Je však poměrně jisté, že v určitém okamžiku odešel do Kusumapury na vyšší studia a že zde nějakou dobu žil. Bhāskara I. (629 n. l.) identifikuje Kusumapuru jako Pataliputru (dnešní Patna). Kusumapura byla později známá jako jedno ze dvou hlavních matematických center v Indii (druhým byl Udždžain). Žil zde v doznívajících letech Guptovy říše, v době, která je známá jako zlatý věk Indie, kdy již byla na severovýchodě pod útokem Hunů, za vlády Buddhagupty a některých menších králů před Višnuguptou. Pataliputra byla v té době hlavním městem Guptovy říše, díky čemuž se stala centrem komunikační sítě – to vystavilo její obyvatele vzdělanosti a kultuře z celého světa a usnadnilo šíření všech vědeckých pokroků Árjabhaty. Jeho dílo se nakonec dostalo do celé Indie a do islámského světa.

Jeho křestní jméno „Árja“ je výraz používaný pro úctu, například „Šrí“, zatímco Bhata je typické severoindické jméno – dnes se obvykle vyskytuje u komunity „Bania“ (neboli obchodníků) v Biháru.

Díla

Arjabhata je autorem několika pojednání o matematice a astronomii, z nichž některá jsou ztracena. Jeho hlavní dílo Árjabhatja, kompendium matematiky a astronomie, bylo hojně zmiňováno v indické matematické literatuře a dochovalo se do moderní doby.

Arya-siddhanta, ztracené dílo o astronomických výpočtech, je známo ze spisů Árjabhátova současníka Varahamihíry, jakož i pozdějších matematiků a komentátorů včetně Brahmagupty a Bhaskary I. Toto dílo zřejmě vychází ze staršího díla Surya Siddhanta a používá půlnoční odpočet dne, na rozdíl od východu slunce v Aryabhatiyi. Obsahovalo také popis několika astronomických přístrojů, gnómonu (šanku-jantra), stínového přístroje (čhAjA-jantra), případně přístrojů na měření úhlů, půlkruhových a kruhových (dhanur-jantra/čakra-jantra), válcovité tyče jasti-jantra, přístroje ve tvaru deštníku zvaného čhatra-jantra a vodních hodin nejméně dvou typů, miskových a válcových.

Třetím textem, který se možná dochoval v arabském překladu, je Al ntf nebo Al-nanf, který tvrdí, že je překladem Árjabháty, ale sanskrtský název tohoto díla není znám. Pravděpodobně pochází z 9. století a zmiňuje se o něm perský učenec a kronikář Indie Abú Rayhán al-Bírúní.

Aryabhatiya

Přímé podrobnosti o díle Aryabhata jsou tedy známy pouze z Aryabhatiya. Název Árjabhatíja je zásluhou pozdějších komentátorů, sám Árjabháta ji možná nepojmenoval; jeho žák Bhaskara I. ji označuje jako Ašmakatantru neboli pojednání z Ašmaky. Příležitostně se také označuje jako Árja-šata-aŠta, doslova Árjabhatových 108, což je počet veršů v textu. Je psána velmi stručným stylem typickým pro literaturu súter, kde každý řádek je pomůckou pro zapamatování složitého systému. Vysvětlení významu tedy náleží komentátorům. Celý text se skládá ze 108 veršů plus 13 úvodních, celek je rozdělen do čtyř pAd neboli kapitol:

1. GitikApAda: (13 veršů) Velké časové jednotky – kalpa, manvantra, juga, které představují kosmologii, jež se liší od dřívějších textů, jako je Lagadhova Vedanga džjótiša (asi 1. stol. př. n. l.). Obsahuje také tabulku sínů (jya), uvedenou v jediném verši. Pro oběhy planet během jedné mahájugy je uveden počet 4,32 milionu let
2. GaNitapAda: (33 veršů) Zahrnuje měření (kShetra vyAvahAra), aritmetické a geometrické progrese, gnomon/stíny (šanku-chhAyA), jednoduché, kvadratické, simultánní a neurčité rovnice (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 veršů) Různé časové jednotky a způsob určování poloh planet pro daný den. Výpočty týkající se interkalárního měsíce (adhikamAsa), kShaya-tithis. Uvádí sedmidenní týden s názvy dnů v týdnu.
4. GolapAda: (50 veršů) Geometrické/trigonometrické aspekty nebeské sféry, vlastnosti ekliptiky, nebeský rovník, uzel, tvar Země, příčina dne a noci, vycházení znamení zvěrokruhu na obzoru atd.

V některých verzích se navíc uvádí několik kolofónů přidaných na závěr, které vychvalují přednosti díla apod.

Arjabhatija veršovanou formou představil řadu novinek v matematice a astronomii, které měly vliv po mnoho staletí. Extrémní stručnost textu rozpracoval ve svých komentářích jeho žák Bhaskara I. (Bhashya, asi 600) a Nilakantha Somayaji ve svém díle Aryabhatiya Bhasya (1465).

Matematika

Systém místopisných hodnot a nula

V jeho díle byl zjevně na místě číselný systém místopisných hodnot, který se poprvé objevil v rukopise Bakhshali ze třetího století. Určitě nepoužíval symbol, ale francouzský matematik Georges Ifrah tvrdí, že znalost nuly byla v Árjabhatově systému místopisných hodnot implicitně obsažena jako místopis pro mocniny deseti s nulovými koeficienty

Ačkoli Árjabhata nepoužíval číslice brahmi. V návaznosti na sanskrtskou tradici z védských dob používal k označení čísel písmena abecedy a vyjadřoval veličiny (například tabulku sinusů) v mnemotechnické podobě.

Pi jako iracionální

Arjabhata pracoval na aproximaci Pí ( π {\displaystyle \pi } ) a možná si uvědomil, že π {\displaystyle \pi } je iracionální. Ve druhé části Árjabhatjámu (gaṇitapáda 10) píše:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

„Ke stovce přičtěte čtyři, vynásobte osmi a pak přičtěte 62 000. Vždyť je to jenom číslo. Podle tohoto pravidla se lze přiblížit k obvodu kruhu o průměru 20 000.“

Jinými slovy π {\displayyle \pi }. = ~ 62832/20000 = 3,1416, správně na pět číslic. Komentátor Nilakantha Somayaji (Keralská škola, 15. století) vykládá slovo āsanna (blížící se), které se objevuje těsně před posledním slovem, jako by říkalo, že se nejen jedná o přibližnou hodnotu, ale že tato hodnota je nesouměřitelná (neboli iracionální). Pokud je to správně, jde o poměrně sofistikovaný poznatek, neboť iracionalita čísla pí byla v Evropě dokázána až v roce 1761 Lambertem.

Po překladu Árjabhátije do arabštiny (asi v roce 820 př. n. l.) byla tato hodnota přeložena do češtiny.) byla tato aproximace zmíněna v Al-Khwarizmiho knize o algebře.

Mensurace a trigonometrie

V Ganitapádě 6 uvádí Árjabháta plochu trojúhelníku jako

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

To se překládá jako: Pro trojúhelník je výsledkem kolmice s polovinou strany plocha.

Neurčité rovnice

Problémem, který indické matematiky od starověku velmi zajímal, bylo hledání celočíselných řešení rovnic, které mají tvar ax + b = cy, což je téma, které vešlo ve známost jako diofantické rovnice. Zde je příklad z Bhaskárova komentáře k Aryabhatiyi:

Najděte číslo, které dává 5 jako zbytek při dělení 8; 4 jako zbytek při dělení 9; a 1 jako zbytek při dělení 7.

To znamená, najděte N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Ukazuje se, že nejmenší hodnota pro N je 85. Diofantické rovnice obecně mohou být notoricky obtížné. Takovými rovnicemi se hojně zabýval starověký védský text Sulba sútra, jehož nejstarší části mohou pocházet z roku 800 př. n. l. Aryabhatova metoda řešení takových úloh, nazývaná metoda kuṭṭaka (कूटटक). Kuttaka znamená „rozmělnění“, tedy rozbití na malé kousky, a metoda zahrnovala rekurzivní algoritmus pro zápis původních činitelů v podobě menších čísel. Dnes tento algoritmus,jak jej vypracoval Bhaskara v roce 621 n. l, je standardní metodou řešení diofantovských rovnic prvního řádu a často se označuje jako algoritmus Árjabhaty.

Diofantovské rovnice jsou zajímavé v kryptologii a konference RSA v roce 2006 se zaměřila na metodu kuttaka a dřívější práci v Sulvasutře.

Astronomie

Arjabhatův astronomický systém se nazýval systém audAyaka (dny se počítají od uday, svítání na lance, rovníku). Některé jeho pozdější spisy o astronomii, které zřejmě navrhovaly druhý model (ardha-rAtrikA, půlnoc), jsou ztraceny, ale lze je částečně rekonstruovat z diskuse v Brahmaguptově khanDakhAdyace. V některých textech se zdá, že zdánlivé pohyby nebes připisuje rotaci Země.

Pohyb sluneční soustavy

Arjabhata zřejmě věřil, že Země rotuje kolem své osy. Vyplývá to z výroku, který se vztahuje k Lance a který popisuje pohyb hvězd jako relativní pohyb způsobený rotací Země: „Jako člověk na lodi pohybující se vpřed vidí nehybné předměty jako pohybující se vzad, právě tak jsou nehybné hvězdy viděny lidmi v Lance (tj. na rovníku) jako pohybující se přesně směrem na západ.“

V dalším verši se však pohyb hvězd a planet popisuje jako skutečný pohyb: „Příčinou jejich východu a západu je skutečnost, že kruh asterismů spolu s planetami, poháněný ochranným větrem, se na Lance neustále pohybuje směrem na západ.“

Lanka (doslova Šrí Lanka) je zde referenční bod na rovníku, který byl brán jako ekvivalent referenčního poledníku pro astronomické výpočty.

Arjabhata popsal geocentrický model sluneční soustavy, v němž Slunce a Měsíc jsou neseny epicykly, které zase obíhají kolem Země. V tomto modelu, který se nachází také v Paitāmahasiddhāntě (asi 425 př. n. l.), se pohyby planet řídí každá dvěma epicykly, menším manda (pomalým) epicyklem a větším śīghra (rychlým) epicyklem. Pořadí planet z hlediska vzdálenosti od Země se bere takto: Měsíc, Merkur, Venuše, Slunce, Mars, Jupiter, Saturn a asterismy.

Polohy a periody planet byly vypočteny vzhledem k rovnoměrně se pohybujícím bodům, které se v případě Merkuru a Venuše pohybují kolem Země stejnou rychlostí jako průměrná rychlost Slunce a v případě Marsu, Jupiteru a Saturnu se pohybují kolem Země specifickými rychlostmi, které představují pohyb každé planety zvěrokruhem. Většina historiků astronomie se domnívá, že tento model dvou epicyklů odráží prvky předptolemaiovské řecké astronomie. Další prvek Árjábhatova modelu, śīghrocca, základní perioda planet ve vztahu ke Slunci, je některými historiky považován za znak základního heliocentrického modelu.

Eklipsy

Arjábhata tvrdil, že Měsíc a planety svítí odraženým slunečním světlem. Namísto převládající kosmogonie, kde zatmění způsobovaly pseudoplanetární uzly Rahu a Ketu, vysvětluje zatmění stíny vrhanými Zemí a dopadajícími na ni. K zatmění Měsíce tak dochází, když Měsíc vstoupí do zemského stínu (verš gola.37), a obšírně rozebírá velikost a rozsah tohoto zemského stínu (verše gola.38-48), dále pak výpočet a velikost zatměné části při zatměních. Pozdější indičtí astronomové tyto výpočty zdokonalili, ale jeho metody poskytly jádro. Toto výpočetní paradigma bylo tak přesné, že vědec 18. století Guillaume le Gentil při návštěvě Pondicherry zjistil, že indické výpočty trvání zatmění Měsíce z roku 1765-08-30 byly krátké o 41 sekund, zatímco jeho grafy (Tobias Mayer, 1752) byly dlouhé o 68 sekund.

Aryabhatův výpočet obvodu Země byl 24 835 mil, což bylo jen o 0,2 procenta méně než skutečná hodnota 24 902 mil. Tato aproximace mohla vylepšit výpočet řeckého matematika Eratosthena (asi 200 př. n. l.), jehož přesný výpočet v moderních jednotkách není znám.

Sidereální periody

Přepočteno na moderní anglické časové jednotky, Aryabhata vypočítal siderální rotaci (otáčení Země vztažené k pevným hvězdám) jako 23 hodin 56 minut a 4,1 sekundy; moderní hodnota je 23:56:4,091. Aryabhata tedy vypočítal siderální rotaci jako 23 hodin 56 minut a 4,1 sekundy. Podobně jeho hodnota délky hvězdného roku 365 dní 6 hodin 12 minut 30 sekund představuje chybu 3 minuty 20 sekund v délce roku. Pojem hvězdného času byl znám ve většině ostatních astronomických systémů té doby, ale tento výpočet byl v daném období pravděpodobně nejpřesnější.

Heliocentrismus

Árjabhata tvrdí, že se Země otáčí kolem vlastní osy a některé prvky jeho planetárních epicyklických modelů se otáčejí stejnou rychlostí jako pohyb planety kolem Slunce. To některým vykladačům naznačovalo, že Árjabhatovy výpočty byly založeny na základním heliocentrickém modelu, v němž planety obíhají kolem Slunce. Podrobné vyvrácení této heliocentrické interpretace je v recenzi, která popisuje knihu B. L. van der Waerdena tak, že „ukazuje naprosté nepochopení indické planetární teorie, které je v příkrém rozporu s každým slovem Árjabhatova popisu“, i když někteří připouštějí, že Árjabhatův systém vychází z dřívějšího heliocentrického modelu, o němž nevěděl. Dokonce se tvrdí, že považoval dráhy planet za eliptické, ačkoli pro to nebyly uvedeny žádné primární důkazy. Ačkoli se Aristarchovi ze Samu (třetí století př. n. l.) a někdy i Héraklidovi z Pontu (čtvrté století př. n. l.) obvykle připisuje znalost heliocentrické teorie, verze řecké astronomie známá ve starověké Indii, Paulisa Siddhanta (pravděpodobně od jistého Pavla z Alexandrie), se o heliocentrické teorii nezmiňuje.

Dědictví

Arjabhatovo dílo mělo velký vliv na indickou astronomickou tradici a prostřednictvím překladů ovlivnilo několik sousedních kultur. Zvláště vlivný byl arabský překlad v době islámského zlatého věku (cca 820). Některé jeho výsledky cituje Al-Chwarizmi a odvolává se na něj arabský učenec z desátého století Al-Biruni, který uvádí, že Árjabhatovi stoupenci věřili, že se Země otáčí kolem své osy.

Jeho definice sinusu, stejně jako kosinu (kója), versinusu (ukramajja) a inverzního sinusu (otkram džja), ovlivnily zrod trigonometrie. Jako první také určil tabulky sinus a versinus (1-cosx) v intervalech 3,75° od 0° do 90° s přesností na 4 desetinná místa.

Moderní názvy „sinus“ a „kosinus“ jsou ve skutečnosti chybným přepisem slov jya a kojya, jak je zavedl Árjabhata. Do arabštiny se přepisovaly jako jiba a kojiba. Špatně je pak interpretoval Gerard z Cremony při překladu arabského geometrického textu do latiny; považoval jiba za arabské slovo jaib, které znamená „záhyb na oděvu“, l. sinus (asi 1150).

Velký vliv měly také Árjábhatovy astronomické výpočetní metody. Spolu s trigonometrickými tabulkami se začaly hojně používat v islámském světě a byly použity k výpočtu mnoha arabských astronomických tabulek (zijes). Zejména astronomické tabulky v díle arabského španělského vědce Al-Zarqaliho (jedenácté století) byly přeloženy do latiny jako Toledské tabulky (dvanácté století) a zůstaly po staletí nejpřesnějšími efemeridami používanými v Evropě.

Kalendářní výpočty vypracované Árjabhatou a jeho následovníky se v Indii nepřetržitě používaly pro praktické účely stanovení Pančangy neboli hinduistického kalendáře, Byly přeneseny také do islámského světa a staly se základem kalendáře Džalali zavedeného v roce 1073 skupinou astronomů včetně Omara Chajjáma, jehož verze (upravené v roce 1925) jsou dnes národními kalendáři používanými v Íránu a Afghánistánu. Kalendář Džalálí určuje svá data na základě skutečného tranzitu Slunce, stejně jako kalendář Árjabhata (a dřívější kalendáře Siddhanta). Tento typ kalendáře vyžaduje pro výpočet dat efemeridy. ačkoli bylo obtížné data vypočítat, sezónní chyby byly v kalendáři Džalálí nižší než v gregoriánském kalendáři.

Citace

Bhaskara I. v komentáři k Árjabhatovi (napsaném asi sto let po jeho vydání) napsal: „Árjabhata je mistr, který poté, co dosáhl nejvzdálenějších břehů a pronikl do nejhlubších hlubin moře konečného poznání matematiky, kinematiky a sféry, předal tyto tři vědy učenému světu.“

Na jeho počest byl pojmenován

• První indický satelit Árjabhata, byl pojmenován po něm.
• Na jeho počest je pojmenován měsíční kráter Árjabhata.
• Je po něm pojmenována meziškolní matematická soutěž Aryabhata.

Poznámky

• Cooke, Roger. Dějiny matematiky: Stručný kurz. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy (Staroindické dílo o matematice a astronomii). Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, and Singh Avadhesh Narayan. Dějiny hinduistické matematiky. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. „Kritické důkazy k určení rodiště Árjabhaty“. Current Science 93(8) (říjen 2007): 1177-1186. Převzato 10. dubna 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: Ibrahim: Historie čísel: od pravěku po vynález počítače. London: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. „Zrod a raný vývoj indické astronomie“. In Astronomie napříč kulturami: The History of Non-Western Astronomy, edited by Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. „Astronomie v Indii.“ In Astronomy Before the Telescope, edited by C.B.F. Walker, 123-142. (Astronomie před dalekohledem. London: Vydáno pro Trustees of the British Museum nakladatelstvím British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indická matematika a astronomie: Some Landmarks. Bangalore, IN: In: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Árjabhata: Indický matematik a astronom. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Early Astronomy. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Všechny odkazy vyhledány 25. listopadu 2016.

• „Āryabhaṭa I“ Narahari Achar, z Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, s. 63
• John J. O’Connor a Edmund F. Robertson. Aryabhata v archivu MacTutor.
• Aryabhata a Diofantův syn, rubrika Hindustan Times Storytelling Science, listopad 2004.

.