Aryabhata

Statuia lui Aryabhata pe terenul IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 C.E.) a fost primul din șirul marilor matematicieni-astronomi din epoca clasică a matematicii și astronomiei indiene. Cele mai faimoase lucrări ale sale sunt Aryabhatiya (499) și Arya-Siddhanta.

Biografie

Aryabhata s-a născut în regiunea situată între Narmada și Godavari, care era cunoscută sub numele de Ashmaka și care este acum identificată cu Maharashtra, deși textele budiste timpurii descriu Ashmaka ca fiind mai la sud, dakShiNApath sau Deccan, în timp ce alte texte îi descriu pe Ashmaka ca fiind cei care au luptat împotriva lui Alexandru, ceea ce i-ar plasa mai la nord. Alte tradiții din India susțin că ar fi fost din Kerala și că a călătorit în nord, sau că ar fi fost un Maga Brahmin din Gujarat.

Cu toate acestea, este destul de sigur că la un moment dat a mers la Kusumapura pentru studii superioare și că a trăit aici o perioadă de timp. Bhāskara I (629 e.n.) identifică Kusumapura cu Pataliputra (Patna de astăzi). Kusumapura a fost cunoscut mai târziu ca unul dintre cele două centre matematice majore din India (Ujjain era celălalt). El a trăit acolo în anii apuseni ai imperiului Gupta, perioadă care este cunoscută ca fiind epoca de aur a Indiei, când aceasta era deja atacată de huni în nord-est, în timpul domniei lui Buddhagupta și a unora dintre regii mai mici dinaintea lui Vishnugupta. Pataliputra era la acea vreme capitala imperiului Gupta, ceea ce o făcea centrul rețelei de comunicații – acest lucru a expus populația sa la învățătură și cultură din întreaga lume și a facilitat răspândirea oricăror progrese științifice ale lui Aryabhata. Lucrările sale au ajuns în cele din urmă în toată India și în lumea islamică.

Primul său nume, „Arya”, este un termen folosit pentru respect, cum ar fi „Sri”, în timp ce Bhata este un nume tipic din nordul Indiei – întâlnit astăzi de obicei în rândul comunității „Bania” (sau a comercianților) din Bihar.

Opere

Aryabhata este autorul mai multor tratate de matematică și astronomie, dintre care unele sunt pierdute. Lucrarea sa majoră, Aryabhatiya, un compendiu de matematică și astronomie, a fost menționată pe scară largă în literatura matematică indiană și a supraviețuit până în epoca modernă.

Arya-siddhanta, o lucrare pierdută despre calculele astronomice, este cunoscută prin scrierile lui Varahamihira, contemporanul lui Aryabhata, precum și prin matematicienii și comentatorii de mai târziu, inclusiv Brahmagupta și Bhaskara I. Această lucrare pare să se bazeze pe mai vechea Surya Siddhanta, și folosește calculul zilei de la miezul nopții, spre deosebire de răsăritul soarelui din Aryabhatiya. Aceasta conținea, de asemenea, o descriere a mai multor instrumente astronomice, gnomon (shanku-yantra), un instrument de umbră (chhAyA-yantra), probabil dispozitive de măsurare a unghiurilor, în formă de semicerc și de cerc (dhanur-yantra/chakra-yantra), un baston cilindric yasti-yantra, un dispozitiv în formă de umbrelă numit chhatra-yantra și ceasuri de apă de cel puțin două tipuri, în formă de arc și cilindrice.

Un al treilea text care este posibil să fi supraviețuit în traducere arabă este Al ntf sau Al-nanf, care pretinde a fi o traducere a lui Aryabhata, dar numele sanscrit al acestei lucrări nu este cunoscut. Datând probabil din secolul al IX-lea, ea este menționată de cărturarul și cronicarul persan al Indiei, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Detalii directe ale lucrării lui Aryabhata sunt, prin urmare, cunoscute doar din Aryabhatiya. Denumirea de Aryabhatiya se datorează comentatorilor de mai târziu, este posibil ca Aryabhata însuși să nu-i fi dat un nume; ea este menționată de discipolul său, Bhaskara I, ca Ashmakatantra sau tratatul din Ashmaka. De asemenea, ocazional este denumit Arya-shatas-aShTa, literal Aryabhata’s 108, care reprezintă numărul de versete din text. Este scrisă în stilul foarte laconic, tipic literaturii sutra, în care fiecare rând este un ajutor de memorie pentru un sistem complex. Astfel, explicarea sensului se datorează comentatorilor. Întregul text este alcătuit din 108 versete, la care se adaugă 13 introductive, întregul fiind împărțit în patru pAdas sau capitole:

1. GitikApAda: (13 versete) Unități mari de timp-kalpa, manvantra, yuga, care prezintă o cosmologie care diferă de textele anterioare, cum ar fi Vedanga Jyotisha a lui Lagadha (c. secolul I î.Hr.). Acesta include, de asemenea, tabelul sinelor (jya), prezentat într-un singur verset. Pentru revoluțiile planetare din timpul unui mahayuga, este dat numărul de 4,32mn de ani.
2. GaNitapAda: (33 de versete) Acoperă măsurarea (kShetra vyAvahAra), progresii aritmetice și geometrice, gnomon/umbră (shanku-chhAyA), ecuații simple, pătratice, simultane și nedeterminate (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 de versete) Diferite unități de timp și metoda de determinare a pozițiilor planetelor pentru o anumită zi. Calcule privind luna intercalară (adhikamAsa), kShaya-tithis. Prezintă o săptămână de șapte zile, cu denumiri pentru zilele săptămânii.
4. GolapAda: (50 de versuri) Aspecte geometrice/trigonometrice ale sferei cerești, caracteristicile eclipticii, ecuatorul ceresc, nodul, forma pământului, cauza zilei și a nopții, ridicarea semnelor zodiacale la orizont etc.

În plus, unele versiuni citează câteva colofoni adăugați la sfârșit, lăudând virtuțile lucrării etc.

Aryabhatiya a prezentat o serie de inovații în matematică și astronomie sub formă de versuri, care au avut influență timp de multe secole. Extrema concizie a textului a fost elaborată în comentarii de către discipolul său Bhaskara I (Bhashya, c. 600) și de către Nilakantha Somayaji în al său Aryabhatiya Bhasya (1465).

Matematică

Sistemul de valori de loc și zero

Sistemul de valori de loc ale numerelor, văzut pentru prima dată în Manuscrisul Bakhshali din secolul al III-lea, a fost în mod clar în vigoare în lucrarea sa. Cu siguranță nu a folosit simbolul, dar matematicianul francez Georges Ifrah susține că cunoașterea lui zero era implicită în sistemul de valori-locuri al lui Aryabhata ca un suport pentru puterile lui zece cu coeficienți nuli.

Cu toate acestea, Aryabhata nu a folosit cifrele brahmi. Continuând tradiția sanscrită din timpurile vedice, el a folosit litere ale alfabetului pentru a desemna numere, exprimând cantități (cum ar fi tabelul de sinusuri) într-o formă mnemotehnică.

Pi ca irațional

Aryabhata a lucrat la aproximarea pentru Pi ( π {\displaystyle \pi } ) și este posibil să fi realizat că π {\displaystyle \pi } este irațional. În a doua parte a Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), el scrie:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

„Adăugați patru la 100, înmulțițiți cu opt și apoi adăugați 62.000. Prin această regulă se poate aproxima circumferința unui cerc cu diametrul de 20.000.”

Cu alte cuvinte, π {\displaystyle \pi } = ~ 62832/20000 = 3,1416, corect cu cinci cifre. Comentatorul Nilakantha Somayaji (Școala din Kerala, secolul al XV-lea) interpretează cuvântul āsanna (care se apropie), care apare chiar înainte de ultimul cuvânt, ca spunând că nu numai că este vorba de o aproximație, dar că valoarea este incomensurabilă (sau irațională). Dacă acest lucru este corect, este o intuiție destul de sofisticată, pentru că iraționalitatea lui pi a fost demonstrată în Europa abia în 1761, de către Lambert.

După ce Aryabhatiya a fost tradusă în arabă (c. 820 d.Hr.), această aproximare a fost menționată în cartea lui Al-Khwarizmi despre algebră.

Măsurători și trigonometrie

În Ganitapada 6, Aryabhata dă aria triunghiului ca

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Ceea ce se traduce prin: Pentru un triunghi, rezultatul unei perpendiculare cu jumătatea laturii este aria.

Ecuații nedeterminate

O problemă de mare interes pentru matematicienii indieni din cele mai vechi timpuri a fost aceea de a găsi soluții întregi la ecuațiile care au forma ax + b = cy, un subiect care a ajuns să fie cunoscut sub numele de ecuații diofantine. Iată un exemplu din comentariul lui Bhaskara la Aryabhatiya:

Găsește numărul care dă 5 ca rest la împărțirea la 8; 4 ca rest la împărțirea la 9; și 1 ca rest la împărțirea la 7.

Acesta este, găsește N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Se pare că cea mai mică valoare pentru N este 85. În general,ecuațiile dihotomice pot fi notorietate ca fiind dificile. Astfel de ecuații au fost analizate pe larg în vechiul text vedic Sulba Sutras, ale cărui părți mai vechi pot data din anul 800 î.Hr. Metoda lui Aryabhata de rezolvare a unor astfel de probleme, numită metoda kuṭṭaka (कूटटक). Kuttaka înseamnă „pulverizare”, adică rupere în bucăți mici, iar metoda presupunea un algoritm recursiv pentru scrierea factorilor originali în termeni de numere mai mici. Astăzi, acest algoritm,așa cum a fost elaborat de Bhaskara în anul 621 e.n., este metoda standard de rezolvare a ecuațiilor diofantine de ordinul întâi și este adesea denumit algoritmul Aryabhata.

Ecuațiile diofantine prezintă interes în criptologie, iar Conferința RSA, 2006, s-a concentrat pe metoda kuttaka și pe lucrările anterioare din Sulvasutras.

Astronomie

Sistemul de astronomie al lui Ariabhata a fost numit sistemul audAyaka (zilele sunt socotite de la uday, zorii la lanka, ecuator). Unele dintre scrierile sale ulterioare despre astronomie, care se pare că propuneau un al doilea model (ardha-rAtrikA, miezul nopții), s-au pierdut, dar pot fi parțial reconstituite din discuția din khanDakhAdyaka a lui Brahmagupta. În unele texte, el pare să atribuie mișcările aparente ale cerului rotației pământului.

Mișcări ale sistemului solar

Aryabhata pare să fi crezut că pământul se rotește în jurul axei sale. Acest lucru reiese clar din afirmația, referindu-se la Lanka, care descrie mișcarea stelelor ca fiind o mișcare relativă cauzată de rotația Pământului: „Așa cum un om aflat într-o barcă care se deplasează înainte vede obiectele staționare ca și cum s-ar deplasa înapoi, tot așa și stelele staționare sunt văzute de oamenii din lankA (adică de pe ecuator) ca și cum s-ar deplasa exact spre vest.”

Dar versetul următor descrie mișcarea stelelor și a planetelor ca fiind mișcări reale: „Cauza răsăritului și apusului lor se datorează faptului că cercul asterismelor împreună cu planetele antrenate de vântul protector, se deplasează în mod constant spre vest la Lanka.”

Lanka (literal, Sri Lanka) este aici un punct de referință de pe ecuator, care a fost luat ca echivalent al meridianului de referință pentru calculele astronomice.

Aryabhata a descris un model geocentric al sistemului solar, în care Soarele și Luna sunt purtate fiecare de epicicluri care, la rândul lor, se învârt în jurul Pământului. În acest model, care se regăsește și în Paitāmahasiddhānta (c. 425 e.n.), mișcările planetelor sunt guvernate fiecare de două epicicluri, un epiciclu mai mic manda (lent) și un epiciclu mai mare śīghra (rapid). Ordinea planetelor din punct de vedere al distanței față de Pământ sunt luate ca fiind următoarele Luna, Mercur, Venus, Soarele, Marte, Jupiter, Saturn și asterismele.

Posibilitățile și perioadele planetelor au fost calculate în raport cu puncte în mișcare uniformă, care, în cazul lui Mercur și Venus, se deplasează în jurul Pământului cu aceeași viteză ca și Soarele mediu, iar în cazul lui Marte, Jupiter și Saturn se deplasează în jurul Pământului cu viteze specifice reprezentând mișcarea fiecărei planete prin zodiac. Cei mai mulți istorici ai astronomiei consideră că acest model cu două epicicluri reflectă elemente ale astronomiei grecești pre-ptolemeice. Un alt element din modelul lui Aryabhata, śīghrocca, perioada planetară de bază în raport cu Soarele, este văzut de unii istorici ca un semn al unui model heliocentric subiacent.

Eclipse

Aryabhata a afirmat că Luna și planetele strălucesc prin reflectarea luminii solare. În locul cosmogoniei predominante, în care eclipsele erau cauzate de nodurile pseudo-planetare Rahu și Ketu, el explică eclipsele în termenii umbrelor proiectate de și care cad pe Pământ. Astfel, eclipsa de lună are loc atunci când luna intră în umbra pământului (versetul gola.37), și discută pe larg despre mărimea și întinderea acestei umbre terestre (versetele gola.38-48), apoi despre calculul și mărimea părții eclipsate în timpul eclipselor. Astronomii indieni care au urmat au îmbunătățit aceste calcule, dar metodele sale au oferit nucleul. Această paradigmă de calcul a fost atât de precisă încât omul de știință din secolul al XVIII-lea, Guillaume le Gentil, în timpul unei vizite la Pondicherry, a constatat că calculele indiene ale duratei eclipsei de Lună din 1765-08-30 erau scurte cu 41 de secunde, în timp ce hărțile sale (Tobias Mayer, 1752) erau lungi cu 68 de secunde.

Calculul lui Ariabhata al circumferinței Pământului a fost de 24.835 mile, care a fost cu doar 0,2 la sută mai mică decât valoarea reală de 24.902 mile. Este posibil ca această aproximare să fi îmbunătățit calculul matematicianului grec Eratostene (c. 200 î.Hr.), al cărui calcul exact nu este cunoscut în unități moderne.

Perioade siderale

Considerat în unități de timp englezești moderne, Aryabhata a calculat rotația siderală (rotația Pământului raportată la stelele fixe) ca fiind de 23 ore 56 minute și 4,1 secunde; valoarea modernă este 23:56:4.091. În mod similar, valoarea sa pentru durata anului sideral, de 365 de zile, 6 ore, 12 minute și 30 de secunde, reprezintă o eroare de 3 minute și 20 de secunde în ceea ce privește durata unui an. Noțiunea de timp sideral era cunoscută în majoritatea celorlalte sisteme astronomice ale vremii, dar acest calcul a fost probabil cel mai precis din acea perioadă.

Heliocentrism

Āryabhata susține că Pământul se rotește pe propria sa axă și că unele elemente ale modelelor sale epiclice planetare se rotesc cu aceeași viteză ca și mișcarea planetei în jurul Soarelui. Acest lucru a sugerat pentru unii interpreți că calculele lui Āryabhata s-au bazat pe un model heliocentric subiacent în care planetele orbitează în jurul Soarelui. O respingere detaliată a acestei interpretări heliocentrice se regăsește într-o recenzie care descrie cartea lui B. L. van der Waerden ca „arată că o neînțelegere completă a teoriei planetare indiene este categoric contrazisă de fiecare cuvânt din descrierea lui Āryabhata”, deși unii admit că sistemul lui Āryabhata provine dintr-un model heliocentric anterior de care el nu era conștient. S-a afirmat chiar că el ar fi considerat că traiectoriile planetelor ca fiind eliptice, deși nu a fost citată nicio dovadă primară în acest sens. Deși Aristarchus din Samos (secolul al III-lea î.e.n.) și, uneori, Heraclide din Pont (secolul al IV-lea î.e.n.) sunt de obicei creditați ca fiind cunoscători ai teoriei heliocentrice, versiunea astronomiei grecești cunoscută în India antică, Paulisa Siddhanta (probabil de către un Paul din Alexandria) nu face nicio referire la o teorie heliocentrică.

Legat

Opera lui Ariabhata a avut o mare influență în tradiția astronomică indiană și a influențat mai multe culturi vecine prin traduceri. Traducerea arabă din timpul Epocii de Aur islamice (c. 820), a fost deosebit de influentă. Unele dintre rezultatele sale sunt citate de Al-Khwarizmi, iar el este menționat de către savantul arab din secolul al X-lea Al-Biruni, care afirmă că adepții lui Āryabhata credeau că Pământul se rotește pe axa sa.

Definițiile sale despre sinus, precum și despre cosinus (kojya), versinus (ukramajya),și sinus invers (otkram jya), au influențat nașterea trigonometriei. El a fost, de asemenea, primul care a specificat tabelele de sinus și versus (1-cosx), în intervale de 3,75° de la 0° la 90° cu o precizie de 4 zecimale.

De fapt, denumirile moderne „sinus” și „cosinus”, sunt o transcriere greșită a cuvintelor jya și kojya, așa cum au fost introduse de Aryabhata. Ele au fost transcrise ca jiba și kojiba în limba arabă. Ele au fost apoi interpretate greșit de Gerard de Cremona în timp ce traducea un text de geometrie arabă în latină; el a luat jiba ca fiind cuvântul arab jaib, care înseamnă „pliu într-o haină”, L. sinus (c. 1150).

Metodele de calcul astronomic ale lui Aryabhata au fost, de asemenea, foarte influente. Împreună cu tabelele trigonometrice, ele au ajuns să fie utilizate pe scară largă în lumea islamică și au fost folosite pentru a calcula multe tabele astronomice arabe (zijes). În special, tabelele astronomice din lucrarea savantului arab spaniol Al-Zarqali (secolul al XI-lea), au fost traduse în latină sub numele de Tabelele de la Toledo (secolul al XII-lea) și au rămas cele mai precise efemeride folosite în Europa timp de secole.

Calculele calendrice elaborate de Aryabhata și adepții săi au fost folosite în mod continuu în India în scopul practic de a fixa Panchanga, sau calendarul hindus, Acestea au fost, de asemenea, transmise în lumea islamică și au stat la baza calendarului Jalali introdus în 1073, de către un grup de astronomi, printre care și Omar Khayyam, ale cărui versiuni (modificate în 1925) sunt calendarele naționale folosite în prezent în Iran și Afganistan. Calendarul Jalali își determină datele pe baza tranzitului solar real, ca și în cazul lui Aryabhata (și al calendarelor Siddhanta anterioare). Acest tip de calendar necesită o efemeridă pentru calcularea datelor. deși datele erau dificil de calculat, erorile sezoniere erau mai mici în calendarul Jalali decât în calendarul gregorian.

Citat

Într-un comentariu la Aryabhatiya (scris la aproximativ un secol după publicarea ei), Bhaskara I a scris: „Aryabhata este maestrul care, după ce a atins cele mai îndepărtate țărmuri și a sondat adâncurile cele mai adânci ale mării cunoașterii supreme a matematicii, cinematicii și sferei, a predat cele trei științe lumii învățate.”

Numit în onoarea sa

• Primul satelit al Indiei, Aryabhata, a fost numit după el.
• Craterul lunar Aryabhata este numit în onoarea sa.
• Concursul interșcolar de matematică Aryabhata este numit după el.

Note

• Cooke, Roger. The History of Mathematics (Istoria matematicii): A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 047118080823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485485993
• Dutta, Bibhutibhushan, and Singh Avadhesh Narayan. Istoria matematicii hinduse. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 818605050868
• Hari, K. Chandra. „Critical evidence to fix the native place of Āryabhata”. Current Science 93(8) (octombrie 2007): 1177-1186. Retrieved April 10, 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Londra: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. „Nașterea și dezvoltarea timpurie a astronomiei indiene”. În Astronomy Across Cultures: The History of Non-Western Astronomy, editat de Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. „Astronomy in India”. În Astronomy Before the Telescope, editat de C.B.F. Walker, 123-142. Londra: Published for the Trustees of the British Museum by British Museum Press, 1996. ISBN 071411117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Astronomia timpurie. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Toate linkurile recuperate la 25 noiembrie 2016.

• „Āryabhaṭa I” Narahari Achar, din Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers (Enciclopedia biografică a astronomilor), Springer Reference. New York: Springer, 2007, p. 63
• John J. O’Connor și Edmund F. Robertson. Aryabhata în arhiva MacTutor.
• Aryabhata și fiul lui Diophantus, rubrica Știință povestită de Hindustan Times, noiembrie 2004.