Aryabhata

Estátua de Aryabhata nos terrenos da IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 C.E.) foi o primeiro na linha dos grandes matemáticos-astrônomos da era clássica da matemática indiana e da astronomia indiana. Seus trabalhos mais famosos são os Aryabhatiya (499) e Arya-Siddhanta.

Biografia

Aryabhata nasceu na região situada entre Narmada e Godavari, que era conhecida como Ashmaka e agora é identificada com Maharashtra, embora os primeiros textos budistas descrevam Ashmaka como sendo mais ao sul, dakShiNApath ou o Deccan, enquanto ainda outros textos descrevem os Ashmakas como tendo lutado contra Alexandre, o que os colocaria mais ao norte. Outras tradições na Índia afirmam que ele era de Kerala e que ele viajou para o Norte, ou que ele era um Maga Brahmin de Gujarat.

No entanto, é bastante certo que em algum momento ele foi para Kusumapura para estudos superiores, e que ele viveu aqui por algum tempo. Bhāskara I (629 d.C.) identifica Kusumapura como Pataliputra (Patna moderna). Kusumapura foi mais tarde conhecido como um dos dois maiores centros matemáticos da Índia (Ujjain era o outro). Ele viveu lá nos anos de declínio do império Gupta, a época conhecida como a era dourada da Índia, quando já estava sob ataque dos hunos no Nordeste, durante o reinado de Buddhagupta e alguns dos reis menores antes de Vishnugupta. Pataliputra era nessa época a capital do império Gupta, tornando-o o centro da rede de comunicações – o que expôs seu povo ao aprendizado e à cultura de todo o mundo, e facilitou a disseminação de quaisquer avanços científicos por Aryabhata. Seu trabalho acabou chegando a toda a Índia e ao mundo islâmico.

Seu primeiro nome, “Arya”, é um termo usado para respeito, como “Sri”, enquanto que Bhata é um nome típico do norte da Índia – encontrado hoje geralmente entre a comunidade “Bania” (ou comerciante) em Bihar.

Works

Aryabhata é o autor de vários tratados sobre matemática e astronomia, alguns dos quais estão perdidos. Sua obra principal, Aryabhatiya, um compêndio de matemática e astronomia, foi extensivamente referida na literatura matemática indiana, e sobreviveu até os tempos modernos.

O Arya-siddhanta, um trabalho perdido em cálculos astronômicos, é conhecido através dos escritos do Varahamihira contemporâneo de Aryabhata, assim como através de matemáticos e comentaristas posteriores incluindo Brahmagupta e Bhaskara I. Este trabalho parece ser baseado no Surya Siddhanta mais antigo, e usa o cálculo da meia-noite, em oposição ao nascer do sol em Aryabhatiya. Também contém uma descrição de vários instrumentos astronômicos, o gnomon (shanku-yantra), um instrumento de sombra (chhAyA-yantra), possivelmente dispositivos de medição angular, semicírculos e circulares (dhanur-yantra/chakra-yantra), uma vara cilíndrica yasti-yantra, um dispositivo em forma de guarda-chuva chamado chhatra-yantra, e relógios de água de pelo menos dois tipos, em forma de arco e cilíndricos.

Um terceiro texto que pode ter sobrevivido em tradução árabe é o Al ntf ou Al-nanf, que diz ser uma tradução de Aryabhata, mas o nome em sânscrito desta obra não é conhecido. Provavelmente datando do século IX, é mencionado pelo estudioso e cronista persa da Índia, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Detalhes diretos do trabalho de Aryabhata são, portanto, conhecidos apenas do Aryabhatiya. O nome Aryabhatiya é devido a comentadores posteriores, o próprio Aryabhata pode não lhe ter dado um nome; é referido pelo seu discípulo, Bhaskara I, como Ashmakatantra ou o tratado da Ashmaka. Também é ocasionalmente referido como Arya-shatas-aShTa, literalmente Aryabhata’s 108, que é o número de versos no texto. É escrito no estilo muito terso típico da literatura do sutra, onde cada linha é uma ajuda para a memória de um sistema complexo. Assim, a explicação do significado é devida aos comentadores. O texto completo consiste em 108 versos, mais um introdutório 13, sendo o todo dividido em quatro pAdas ou capítulos:

1. GitikApAda: (13 versos) Grandes unidades de tempokalpa, manvantra, yuga, que apresentam uma cosmologia diferente de textos anteriores, como o Vedanga Jyotisha de Lagadha (c. primeiro século A.C.E.). Também inclui a tabela dos pecados (jya), dada em um único verso. Para as revoluções planetárias durante uma mahayuga, o número de 4.32mn anos é dado.
2. GaNitapAda: (33 versos) Cobre mensuração (kShetra vyAvahAra), progressões aritméticas e geométricas, gnomon/shadows (shanku-chhAyA), equações simples, quadráticas, simultâneas e indeterminadas (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 versos) Diferentes unidades de tempo e método de determinação das posições dos planetas para um determinado dia. Cálculos relativos ao mês intercalar (adhikamAsa), kShaya-tithis. Apresenta uma semana de sete dias, com nomes para os dias da semana.
4. GolapAda: (50 versos) Aspectos geométricos/trigonométricos da esfera celestial, características do eclíptico, equador celestial, nó, forma da terra, causa do dia e da noite, elevação dos signos zodiacais no horizonte, etc.

Além disso, algumas versões citam alguns cólofon adicionados no final, exaltando as virtudes da obra, etc.

O Aryabhatiya apresentou uma série de inovações em matemática e astronomia em forma de verso, que foram influentes por muitos séculos. A extrema brevidade do texto foi elaborada em comentários por seu discípulo Bhaskara I (Bhashya, c. 600) e por Nilakantha Somayaji em seu Aryabhatiya Bhasya (1465).

Matemática

Sistema de valores de posição e zero

O sistema de valores de posição, visto pela primeira vez no século III, o manuscrito de Bakhshali estava claramente no lugar em sua obra. Ele certamente não usou o símbolo, mas o matemático francês Georges Ifrah argumenta que o conhecimento do zero estava implícito no sistema de valor-lugar de Aryabhata como um suporte para os poderes de dez com coeficientes nulos.

No entanto, Aryabhata não usou os numerais brahmi. Continuando a tradição sânscrita dos tempos védicos, ele usou letras do alfabeto para denotar números, expressando quantidades (como a tabela de pecados) em uma forma mnemônica.

Pi como irracional

Aryabhata trabalhou na aproximação para Pi ( π {\displaystyle \pi } ), e pode ter percebido que π {\displaystyle \pi } é irracional. Na segunda parte do Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), ele escreve:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

“Adicione quatro a 100, multiplique por oito e depois adicione 62.000. Por esta regra, a circunferência de um círculo de 20.000 de diâmetro pode ser aproximada”.

Por outras palavras, π {\i1} = ~ 62832/20000 = 3,1416, correto para cinco dígitos. O comentarista Nilakantha Somayaji (Escola Kerala, século XV) interpreta a palavra āsanna (aproximando-se), aparecendo pouco antes da última palavra, como dizendo que não só isso é uma aproximação, mas que o valor é incomensurável (ou irracional). Se isto é correto, é uma visão bastante sofisticada, pois a irracionalidade do pi foi provada na Europa apenas em 1761, por Lambert.

Após Aryabhatiya foi traduzido para o árabe (c. 820 d.C.), esta aproximação foi mencionada no livro de Al-Khwarizmi sobre álgebra.

Mensuração e trigonometria

Em Ganitapada 6, Aryabhata dá a área do triângulo como

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Isso se traduz para: Para um triângulo, o resultado de uma perpendicular com a metade do lado é a área.

Equações indeterminadas

Um problema de grande interesse para os matemáticos indianos desde os tempos antigos tem sido encontrar soluções inteiras para equações que têm a forma ax + b = cy, um tópico que passou a ser conhecido como equações de diophantine. Aqui está um exemplo do comentário de Bhaskara sobre Aryabhatiya:

Encontrar o número que dá 5 como o restante quando dividido por 8; 4 como o restante quando dividido por 9; e 1 como o restante quando dividido por 7.

Isto é, encontrar N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Acontece que o menor valor para N é 85. Em geral, as equações diofantinas podem ser notoriamente difíceis. Tais equações eram consideradas extensivamente no antigo texto védico Sulba Sutras, cujas partes mais antigas podem datar de 800 A.C.E. O método de resolução de tais problemas, chamado método kuṭṭaka (कूटटक). Kuttaka significa “pulverização”, que se quebra em pequenos pedaços, e o método envolvia um algoritmo recursivo para escrever os fatores originais em termos de números menores. Hoje este algoritmo, como elaborado por Bhaskara em 621 d.C., é o método padrão para resolver equações de diophantine de primeira ordem, e é frequentemente referido como o algoritmo Aryabhata.

As equações diophantine são de interesse em criptologia, e a RSA Conference, 2006, focou no método kuttaka e em trabalhos anteriores nas Sulvasutras.

Astronomia

O sistema de astronomia de Aryabhata foi chamado sistema audAyaka (os dias são contados a partir de uday, madrugada em lanka, equador). Alguns de seus escritos posteriores sobre astronomia, que aparentemente propuseram um segundo modelo (ardha-rAtrikA, meia-noite), estão perdidos, mas podem ser parcialmente reconstruídos a partir da discussão no khanDakhAdyaka de Brahmagupta. Em alguns textos ele parece atribuir os movimentos aparentes dos céus à rotação da terra.

Moções do sistema solar

Aryabhata parece ter acreditado que a terra gira sobre o seu eixo. Isto é deixado claro na afirmação, referindo-se a Lanka, que descreve o movimento das estrelas como um movimento relativo causado pela rotação da terra: “Como um homem em um barco movendo-se para frente vê os objetos estacionários como se movendo para trás, assim são as estrelas estacionárias vistas pelas pessoas em lankA (isto é, no equador) como se movendo exatamente em direção ao Ocidente”.

Mas o verso seguinte descreve o movimento das estrelas e planetas como movimentos reais: “A causa da sua ascensão e fixação deve-se ao facto de o círculo dos asterismos juntamente com os planetas movidos pelo vento protector, se mover constantemente para oeste em Lanka.”

Lanka (literalmente, Sri Lanka) é aqui um ponto de referência no equador, que foi tomado como o equivalente ao meridiano de referência para cálculos astronômicos.

Aryabhata descreveu um modelo geocêntrico do sistema solar, no qual o Sol e a Lua são transportados cada um por epiciciclos que, por sua vez, giram em torno da Terra. Neste modelo, que também se encontra no Paitāmahasiddhānta (c. 425 d.C.), os movimentos dos planetas são governados cada um por dois epiciciclos, um menor epiciclo manda (lento) e um maior epiciclo śīghra (rápido). A ordem dos planetas em termos de distância da terra são tomados como: A Lua, Mercúrio, Vênus, o Sol, Marte, Júpiter, Saturno e os asterismos.

As posições e períodos dos planetas foram calculados em relação aos pontos de movimento uniforme, que no caso de Mercúrio e Vênus, se movem ao redor da Terra à mesma velocidade que o Sol médio e no caso de Marte, Júpiter e Saturno se movem ao redor da Terra a velocidades específicas representando o movimento de cada planeta através do zodíaco. A maioria dos historiadores da astronomia considera que este modelo de dois epiciclos reflete elementos da astronomia grega pré-Ptolemaic. Outro elemento do modelo de Aryabhata, o śīghrocca, o período planetário básico em relação ao Sol, é visto por alguns historiadores como um sinal de um modelo heliocêntrico subjacente.

Eclipses

Aryabhata afirmou que a Lua e os planetas brilham pela luz solar refletida. Em vez da cosmogonia dominante, onde os eclipses eram causados por nós pseudo-planetários Rahu e Ketu, ele explica eclipses em termos de sombras lançadas por e caindo na Terra. Assim, o eclipse lunar ocorre quando a lua entra na sombra terrestre (verso gola.37), e discute longamente o tamanho e extensão desta sombra terrestre (verso gola.38-48), e então o cálculo, e o tamanho da parte eclipsada durante os eclipses. Os astrônomos indianos posteriores melhoraram esses cálculos, mas seus métodos forneceram o núcleo. Este paradigma computacional foi tão preciso que o cientista do século 18 Guillaume le Gentil, durante uma visita a Pondicherry, encontrou os cálculos indianos da duração do eclipse lunar de 1765-08-30 para ser curto por 41 segundos, enquanto que seus gráficos (Tobias Mayer, 1752) eram longos por 68 segundos.

Aryabhata o cálculo da circunferência da Terra era de 24.835 milhas, que era apenas 0,2% menor do que o valor real de 24.902 milhas. Esta aproximação poderia ter melhorado o cálculo do matemático grego Eratóstenes (c. 200 A.C.E.), cujo cálculo exato não é conhecido em unidades modernas.

Períodos siderales

Considerado em unidades de tempo inglesas modernas, Aryabhata calculou a rotação sideral (a rotação da Terra referenciava as estrelas fixas) como 23 horas 56 minutos e 4,1 segundos; o valor moderno é 23:56:4.091. Da mesma forma, seu valor para a duração do ano sideral a 365 dias 6 horas 12 minutos 30 segundos é um erro de 3 minutos 20 segundos ao longo de um ano. A noção de tempo sideral era conhecida na maioria dos outros sistemas astronômicos da época, mas este cálculo foi provavelmente o mais preciso no período.

Heliocentrismo

Āryabhata afirma que a Terra gira sobre seu próprio eixo e alguns elementos de seus modelos epicíclicos planetários giram à mesma velocidade que o movimento do planeta ao redor do Sol. Isto tem sugerido a alguns intérpretes que os cálculos de Āryabhata foram baseados num modelo heliocêntrico subjacente no qual os planetas orbitam o Sol. Uma refutação detalhada a esta interpretação heliocêntrica está numa revisão que descreve o livro de B. L. van der Waerden como “mostrando um completo mal-entendido da teoria planetária indiana é completamente contradito por cada palavra da descrição de Āryabhata”, embora alguns admitam que o sistema de Āryabhata deriva de um modelo heliocêntrico anterior do qual ele não tinha conhecimento. Tem até sido afirmado que ele considerava os caminhos do planeta como sendo elípticos, embora nenhuma evidência primária para isso tenha sido citada. Embora Aristarco de Samos (século III AEC) e às vezes Heraclides do Ponto (século IV AEC) sejam geralmente creditados com o conhecimento da teoria heliocêntrica, a versão da astronomia grega conhecida na Índia antiga, Paulisa Siddhanta (possivelmente por um Paulo de Alexandria) não faz nenhuma referência a uma teoria heliocêntrica.

Legacy

O trabalho de Ariabhata foi de grande influência na tradição astronômica indiana, e influenciou várias culturas vizinhas através de traduções. A tradução árabe durante a Idade de Ouro Islâmica (c. 820), foi particularmente influente. Alguns de seus resultados são citados por Al-Khwarizmi, e ele é referido pelo estudioso árabe do século X Al-Biruni, que afirma que os seguidores de Āryabhata acreditavam que a Terra girava em seu eixo.

Suas definições de seno, assim como de coseno (kojya), versino (ukramajya),e seno inverso (otkram jya), influenciaram o nascimento da trigonometria. Ele também foi o primeiro a especificar tabelas seno e versino (1-cosx), em intervalos de 3,75° de 0° a 90° para uma precisão de 4 casas decimais.

Na verdade, os nomes modernos “seno” e “coseno”, são uma descrição errada das palavras jya e kojya como introduzidas por Aryabhata. Eles foram transcritos como jiba e kojiba em árabe. Eles foram então mal interpretados por Gerard de Cremona enquanto traduzia um texto de geometria árabe para o latim; ele tomou jiba para ser a palavra árabe jaib, que significa “dobrar em uma peça de vestuário”, L. sinus (c. 1150).

Os métodos de cálculo astronômico de Aryabhata também foram muito influentes. Junto com as tabelas trigonométricas, eles vieram a ser amplamente utilizados no mundo islâmico, e foram usados para calcular muitas tabelas astronômicas árabes (zijes). Em particular, as tabelas astronômicas no trabalho do cientista árabe espanhol Al-Zarqali (século XI), foram traduzidas para o latim como as Tabelas de Toledo (século XII), e permaneceram como a Efemérides mais precisa usada na Europa por séculos.

Calendric cálculos elaborados por Aryabhata e seguidores têm sido usados continuamente na Índia com o propósito prático de fixar o Panchanga, ou calendário hindu, Estes também foram transmitidos ao mundo islâmico, e formaram a base para o calendário Jalali introduzido em 1073, por um grupo de astrônomos, incluindo Omar Khayyam, cujas versões (modificadas em 1925) são os calendários nacionais em uso no Irã e no Afeganistão hoje. O calendário Jalali determina suas datas baseado no trânsito solar real, como em Aryabhata (e calendários Siddhanta anteriores). Este tipo de calendário requer uma efeméride para calcular datas. Embora as datas fossem difíceis de calcular, os erros sazonais eram menores no calendário Jalali do que no calendário Gregoriano.

Quote

Como um comentário do Aryabhatiya (escrito cerca de um século após a sua publicação), Bhaskara I escreveu, “Aryabhata é o mestre que, depois de alcançar as margens mais distantes e encanar as profundezas mais íntimas do mar do conhecimento supremo da matemática, cinemática e esferográfica, entregou as três ciências ao mundo erudito.”

Nomeado em sua homenagem

• O primeiro satélite da Índia, Aryabhata, recebeu o seu nome.
• A cratera lunar Aryabhata recebeu o seu nome em sua homenagem.
• O concurso interescolar de matemática Aryabhata tem o seu nome.

Notas

• Cooke, Roger. A História da Matemática: Um breve curso. Nova York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. O Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, e Singh Avadhesh Narayan. História da Matemática Hindu. Bombay: Casa Editora Ásia, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. “Evidência crítica para fixar o lugar nativo de Āryabhata.” Current Science 93(8) (Outubro de 2007): 1177-1186. Recuperado em 10 de abril de 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: Da Pré-história à Invenção do Computador. Londres: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. “Birth and Early Development of Indian Astronomy” (Nascimento e Desenvolvimento Precoce da Astronomia Indiana). Em Astronomia Através das Culturas: The History of Non-Western Astronomy, editado por Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. “Astronomia na Índia.” Em Astronomy Before the Telescope, editado por C.B.F. Walker, 123-142. Londres: Publicado para os curadores do Museu Britânico pela British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Alguns pontos de referência. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Matemático e Astrónomo Indiano. Nova Deli: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Astronomia Antiga. Nova York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Todos os links recuperados em 25 de novembro de 2016.

• “Āryabhaṭa I” Narahari Achar, de Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, p. 63
• John J. O’Connor e Edmund F. Robertson. Aryabhata no arquivo MacTutor.
• Aryabhata e o filho de Diophantus, coluna Hindustan Times Storytelling Science, Nov 2004.