Aryabhata

Standbeeld van Aryabhata op het terrein van IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 v. Chr.E.) was de eerste in de rij van grote wiskundige-astronomen uit het klassieke tijdperk van de Indiase wiskunde en Indiase astronomie. Zijn beroemdste werken zijn de Aryabhatiya (499) en de Arya-Siddhanta.

Biografie

Aryabhata werd geboren in de streek tussen Narmada en Godavari, die bekend stond als Ashmaka en nu geïdentificeerd wordt met Maharashtra, hoewel vroege boeddhistische teksten Ashmaka beschrijven als verder zuidelijk gelegen, dakShiNApath of de Deccan, terwijl nog andere teksten de Ashmakas beschrijven als hebbende gevochten tegen Alexander, wat hen verder noordelijk zou plaatsen. Andere tradities in India beweren dat hij uit Kerala kwam en naar het Noorden reisde, of dat hij een Maga Brahmaan uit Gujarat was.

Hoewel het vrij zeker is dat hij op een gegeven moment naar Kusumapura ging voor hogere studies, en dat hij hier enige tijd heeft gewoond. Bhāskara I (629 v. Chr.) identificeert Kusumapura als Pataliputra (het huidige Patna). Kusumapura stond later bekend als een van de twee grote mathematische centra in India (Ujjain was het andere). Hij leefde daar in de tanende jaren van het Gupta-rijk, de tijd die bekend staat als de gouden eeuw van India, toen het reeds in het noordoosten door Hun werd aangevallen, tijdens de regering van Buddhagupta en enkele van de kleinere koningen vóór Vishnugupta. Pataliputra was in die tijd hoofdstad van het Gupta-rijk, waardoor het het centrum van een communicatienetwerk werd – dit stelde de bevolking bloot aan kennis en cultuur uit de hele wereld, en vergemakkelijkte de verspreiding van alle wetenschappelijke vorderingen van Aryabhata. Zijn werk bereikte uiteindelijk heel India en de Islamitische wereld.

Zijn voornaam, “Arya,” is een term die gebruikt wordt voor respect, zoals “Sri,” terwijl Bhata een typische Noord Indiase naam is – tegenwoordig meestal te vinden onder de “Bania” (of handelaars) gemeenschap in Bihar.

Werken

Aryabhata is de auteur van verschillende verhandelingen over wiskunde en astronomie, waarvan sommige verloren zijn gegaan. Naar zijn belangrijkste werk, Aryabhatiya, een compendium van wiskunde en astronomie, werd uitvoerig verwezen in de Indiase wiskundige literatuur, en het is tot in de moderne tijd bewaard gebleven.

De Arya-siddhanta, een verloren gegaan werk over astronomische berekeningen, is bekend door de geschriften van Aryabhata’s tijdgenoot Varahamihira, alsmede door latere wiskundigen en commentatoren waaronder Brahmagupta en Bhaskara I. Dit werk lijkt te zijn gebaseerd op de oudere Surya Siddhanta, en maakt gebruik van de middernacht-dag-rekening, in tegenstelling tot de zonsopgang in Aryabhatiya. Dit bevatte ook een beschrijving van verscheidene astronomische instrumenten, de gnomon (shanku-yantra), een schaduwinstrument (chhAyA-yantra), mogelijk hoek-meetinstrumenten, halfcirkelvormig en cirkelvormig (dhanur-yantra/chakra-yantra), een cilindrische stok yasti-yantra, een paraplu-vormig apparaat genaamd chhatra-yantra, en waterklokken van tenminste twee types, boogvormig en cilindrisch.

Een derde tekst die wellicht in Arabische vertaling bewaard is gebleven is de Al ntf of Al-nanf, waarvan wordt beweerd dat het een vertaling is van Aryabhata, maar de Sanskriet naam van dit werk is niet bekend. Waarschijnlijk dateert het uit de negende eeuw en wordt het genoemd door de Perzische geleerde en kroniekschrijver van India, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Directe details van Aryabhata’s werk zijn daarom alleen bekend uit de Aryabhatiya. De naam Aryabhatiya is te danken aan latere commentatoren, Aryabhata zelf heeft het wellicht geen naam gegeven; het wordt door zijn leerling, Bhaskara I, aangeduid als Ashmakatantra of het traktaat uit de Ashmaka. Soms wordt er ook naar verwezen als Arya-shatas-aShTa, letterlijk Aryabhata’s 108, wat het aantal verzen in de tekst is. Het is geschreven in de zeer beknopte stijl die typisch is voor de soetra-literatuur, waarbij elke regel een geheugensteun is voor een complex systeem. De explicatie van de betekenis is dus te danken aan de commentatoren. De gehele tekst bestaat uit 108 verzen, plus een inleidende 13, het geheel is verdeeld in vier pAda’s of hoofdstukken:

1. GitikApAda: (13 verzen) Grote eenheden van tijd-kalpa, manvantra, yuga, die een kosmologie presenteren die verschilt van eerdere teksten zoals Lagadha’s Vedanga Jyotisha (ca. eerste eeuw v.Chr.). Het bevat ook de tabel van sinussen (jya), gegeven in een enkel vers. Voor de planetaire omwentelingen tijdens een mahayuga wordt het aantal van 4,32 miljoen jaar gegeven.
2. GaNitapAda: (33 verzen) Behandelt mensuratie (kShetra vyAvahAra), rekenkundige en meetkundige progressies, gnomon/schaduwen (shanku-chhAyA), eenvoudige, kwadratische, gelijktijdige en onbepaalde vergelijkingen (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 verzen) Verschillende eenheden van tijd en methode om de posities van planeten voor een bepaalde dag te bepalen. Berekeningen betreffende de tussenliggende maand (adhikamAsa), kShaya-tithis. Geeft een zevendaagse week weer, met namen voor de dagen van de week.
4. GolapAda: (50 verzen) Geometrische/trigonometrische aspecten van de hemelbol, kenmerken van de ecliptica, hemelevenaar, knoop, vorm van de aarde, oorzaak van dag en nacht, rijzen van zodiakale tekens aan de horizon enz.

Daarnaast vermelden sommige versies een paar colofons die aan het eind zijn toegevoegd, waarin de deugden van het werk worden geprezen, enz.

De Aryabhatiya presenteerde een aantal vernieuwingen in de wiskunde en astronomie in versvorm, die vele eeuwen lang invloedrijk waren. De extreme beknoptheid van de tekst werd uitgewerkt in commentaren van zijn leerling Bhaskara I (Bhashya, ca. 600) en van Nilakantha Somayaji in zijn Aryabhatiya Bhasya (1465).

Wiskunde

Plaatswaardesysteem en nul

Het plaatswaardesysteem van het getal, voor het eerst gezien in het Bakhshali Manuscript uit de derde eeuw, was duidelijk op zijn plaats in zijn werk. Hij gebruikte het symbool zeker niet, maar de Franse wiskundige Georges Ifrah stelt dat kennis van nul impliciet aanwezig was in Aryabhata’s plaats-waardesysteem als een plaatshouder voor de machten van tien met nul coëfficiënten.

Hoewel Aryabhata geen gebruik maakte van de brahmi numerieke tekens. Voortbordurend op de Sanskrietische traditie uit de Vedische tijd, gebruikte hij letters van het alfabet om getallen aan te duiden, waarmee hij hoeveelheden (zoals de tafel der sinussen) in een mnemotechnische vorm uitdrukte.

Pi als irrationeel

Aryabhata werkte aan de benadering voor Pi ( π {{displaystyle \pi } ), en realiseerde zich wellicht dat π {{displaystyle \pi } irrationeel is. In het tweede deel van het Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), schrijft hij:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

“Tel vier bij 100 op, vermenigvuldig met acht en tel er dan 62.000 bij op. Door deze regel kan de omtrek van een cirkel met een diameter van 20.000 benaderd worden.”

Met andere woorden, π {\an5} = ~ 62832/20000 = 3.1416, tot op vijf cijfers nauwkeurig. De commentator Nilakantha Somayaji (Kerala School, vijftiende eeuw) interpreteert het woord āsanna (naderend), dat vlak voor het laatste woord staat, als een teken dat dit niet alleen een benadering is, maar dat de waarde ook incommensurabel (of irrationeel) is. Als dit juist is, is het een tamelijk geraffineerd inzicht, want de irrationaliteit van pi werd in Europa pas in 1761 bewezen, door Lambert.

Nadat Aryabhatiya in het Arabisch was vertaald (ca. 820 v. Chr.), werd deze benadering vermeld in Al-Khwarizmi’s boek over algebra.

Meetkunde en trigonometrie

In Ganitapada 6 geeft Aryabhata de oppervlakte van een driehoek als

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Dat vertaalt zich naar: Voor een driehoek is de uitkomst van een loodlijn met de halve zijde de oppervlakte.

Indeterminate vergelijkingen

Een probleem van groot belang voor Indiase wiskundigen sinds de oudheid is het vinden van gehele oplossingen voor vergelijkingen die de vorm ax + b = cy hebben, een onderwerp dat bekend is komen te staan als diofantijnse vergelijkingen. Hier volgt een voorbeeld uit Bhaskara’s commentaar op Aryabhatiya:

Vind het getal dat 5 als rest geeft bij deling door 8; 4 als rest bij deling door 9; en 1 als rest bij deling door 7.

Dat is, vind N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Het blijkt dat de kleinste waarde voor N 85 is. In het algemeen kunnen diofantische vergelijkingen erg moeilijk zijn. Dergelijke vergelijkingen werden uitgebreid behandeld in de oude Vedische tekst Sulba Sutras, waarvan de oudste delen wellicht dateren van 800 v. Chr. Aryabhata’s methode om dergelijke problemen op te lossen, genaamd de kuṭṭaka (कूटटक) methode. Kuttaka betekent “verpulveren”, dat wil zeggen in kleine stukjes breken, en de methode omvatte een recursief algoritme om de oorspronkelijke factoren te schrijven in termen van kleinere getallen. Vandaag de dag is dit algoritme, zoals uitgewerkt door Bhaskara in 621 C.E., de standaardmethode voor het oplossen van eerste-orde Diophantine vergelijkingen, en het wordt vaak aangeduid als het Aryabhata algoritme.

De diophantine vergelijkingen zijn van belang in de cryptologie, en de RSA Conferentie, 2006, richtte zich op de kuttaka methode en eerder werk in de Sulvasutras.

Astronomie

Aryabhata’s systeem van astronomie werd het audAyaka systeem genoemd (dagen worden gerekend vanaf uday, dageraad op lanka, evenaar). Enkele van zijn latere geschriften over astronomie, waarin kennelijk een tweede model werd voorgesteld (ardha-rAtrikA, middernacht), zijn verloren gegaan, maar kunnen gedeeltelijk worden gereconstrueerd uit de bespreking in Brahmagupta’s khanDakhAdyaka. In sommige teksten schijnt hij de schijnbare bewegingen van de hemelen toe te schrijven aan de draaiing van de aarde.

Moties van het zonnestelsel

Aryabhata schijnt geloofd te hebben dat de aarde om haar as roteert. Dit wordt duidelijk gemaakt in de verklaring, verwijzend naar Lanka, waarin de beweging van de sterren wordt beschreven als een relatieve beweging veroorzaakt door de draaiing van de aarde: “Zoals een man in een boot die vooruit vaart de stilstaande voorwerpen ziet bewegen als achteruit, zo worden de stilstaande sterren door de mensen in lankA (d.w.z. aan de evenaar) gezien als bewegend precies naar het westen.”

Maar het volgende vers beschrijft de beweging van de sterren en planeten als werkelijke bewegingen: “De oorzaak van hun rijzen en ondergaan is te wijten aan het feit dat de cirkel van de asterismen tezamen met de planeten, gedreven door de beschermwind, zich bij Lanka voortdurend in westelijke richting beweegt.”

Lanka (letterlijk, Sri Lanka) is hier een referentiepunt op de evenaar, dat werd genomen als equivalent van de referentiemeridiaan voor astronomische berekeningen.

Aryabhata beschreef een geocentrisch model van het zonnestelsel, waarin de Zon en de Maan elk worden gedragen door epicykels die op hun beurt om de Aarde draaien. In dit model, dat ook voorkomt in de Paitāmahasiddhānta (ca. 425 v. Chr.), worden de bewegingen van de planeten elk door twee epicycli bepaald, een kleinere manda (langzame) epicyclus en een grotere śīghra (snelle) epicyclus. De volgorde van de planeten in termen van afstand tot de aarde is als volgt: De Maan, Mercurius, Venus, de Zon, Mars, Jupiter, Saturnus, en de asterismen.

De posities en perioden van de planeten werden berekend ten opzichte van gelijkmatig bewegende punten, die in het geval van Mercurius en Venus met dezelfde snelheid rond de aarde bewegen als de gemiddelde Zon en in het geval van Mars, Jupiter, en Saturnus rond de aarde bewegen met specifieke snelheden die de beweging van elke planeet door de dierenriem vertegenwoordigen. De meeste historici van de astronomie zijn van mening dat dit model met twee epicycli elementen van de pre-Ptolemeïsche Griekse astronomie weerspiegelt. Een ander element in Aryabhata’s model, de śīghrocca, de basisperiode van de planeten ten opzichte van de Zon, wordt door sommige historici gezien als een teken van een onderliggend heliocentrisch model.

Eclipses

Aryabhata stelde dat de Maan en de planeten schijnen door weerkaatst zonlicht. In plaats van de heersende kosmogonie, waar verduisteringen werden veroorzaakt door pseudo-planetaire knopen Rahu en Ketu, verklaart hij verduisteringen in termen van schaduwen geworpen door en vallend op de aarde. Zo treedt de maansverduistering op wanneer de maan in de aardschaduw valt (vers gola.37), en bespreekt hij uitvoerig de grootte en omvang van deze aardschaduw (verzen gola.38-48), en vervolgens de berekening, en de grootte van het verduisterde deel tijdens verduisteringen. Latere Indiase astronomen verbeterden deze berekeningen, maar zijn methoden vormden de kern. Dit berekeningsparadigma was zo nauwkeurig dat de 18e eeuwse wetenschapper Guillaume le Gentil, tijdens een bezoek aan Pondicherry, de Indiase berekeningen van de duur van de maansverduistering van 1765-08-30 met 41 seconden kort vond, terwijl zijn kaarten (Tobias Mayer, 1752) met 68 seconden lang waren.

Aryabhata’s berekening van de omtrek van de aarde was 24.835 mijl, wat slechts 0,2 procent kleiner was dan de werkelijke waarde van 24.902 mijl. Deze benadering is wellicht een verbetering ten opzichte van de berekening van de Griekse wiskundige Eratosthenes (ca. 200 v. Chr.), wiens exacte berekening in moderne eenheden niet bekend is.

Siderische perioden

Gezien in moderne Engelse tijdseenheden berekende Aryabhata de siderische draaiing (de draaiing van de aarde ten opzichte van de vaste sterren) op 23 uur 56 minuten en 4,1 seconden; de moderne waarde is 23:56:4.091. Ook zijn waarde voor de lengte van het siderische jaar van 365 dagen 6 uur 12 minuten 30 seconden is een fout van 3 minuten 20 seconden over de lengte van een jaar. Het begrip sterrentijd was bekend in de meeste andere astronomische systemen van die tijd, maar deze berekening was waarschijnlijk de nauwkeurigste in die periode.

Heliocentrisme

Āryabhata beweert dat de Aarde om haar eigen as draait en sommige elementen van zijn planetaire epicyclische modellen draaien met dezelfde snelheid als de beweging van de planeet rond de Zon. Dit heeft bij sommige uitleggers de suggestie gewekt dat Āryabhata’s berekeningen gebaseerd waren op een onderliggend heliocentrisch model waarin de planeten rond de Zon draaien. Een gedetailleerde weerlegging van deze heliocentrische interpretatie staat in een recensie waarin B. L. van der Waerden’s boek beschrijft als “blijk geven van een volledig verkeerd begrip van de Indiase planetentheorie wordt ronduit tegengesproken door elk woord van Āryabhata’s beschrijving,” hoewel sommigen toegeven dat Āryabhata’s systeem voortkomt uit een vroeger heliocentrisch model waarvan hij zich niet bewust was. Er is zelfs beweerd dat hij de banen van de planeten als elliptisch beschouwde, hoewel daarvoor geen primair bewijs is aangevoerd. Hoewel Aristarchus van Samos (derde eeuw v. Chr.) en soms Heraclides van Pontus (vierde eeuw v. Chr.) gewoonlijk worden gecrediteerd voor het kennen van de heliocentrische theorie, wordt in de in het oude India bekende versie van de Griekse astronomie, Paulisa Siddhanta (mogelijk van een Paulus van Alexandrië), niet verwezen naar een heliocentrische theorie.

Erfenis

Aryabhata’s werk was van grote invloed in de Indiase astronomische traditie, en beïnvloedde verschillende naburige culturen door vertalingen. De Arabische vertaling tijdens de Islamitische Gouden Eeuw (ca. 820), was bijzonder invloedrijk. Sommige van zijn resultaten worden geciteerd door Al-Khwarizmi, en er wordt naar hem verwezen door de tiende-eeuwse Arabische geleerde Al-Biruni, die stelt dat de volgelingen van Āryabhata geloofden dat de Aarde om haar as draaide.

Zijn definities van sinus, evenals cosinus (kojya), versinus (ukramajya), en inverse sinus (otkram jya), beïnvloedden de geboorte van de trigonometrie. Hij was ook de eerste die sinus en versinus (1-cosx) tabellen specificeerde, in 3.75° intervallen van 0° tot 90° met een nauwkeurigheid van 4 decimalen.

In feite zijn de moderne namen “sinus” en “cosinus,” een verkeerde transcriptie van de woorden jya en kojya zoals geïntroduceerd door Aryabhata. Zij werden in het Arabisch getranscribeerd als jiba en kojiba. Zij werden vervolgens verkeerd geïnterpreteerd door Gerard van Cremona bij het vertalen van een Arabische geometrische tekst naar het Latijn; hij nam aan dat jiba het Arabische woord jaib was, dat “vouw in een kledingstuk” betekent, L. sinus (ca. 1150).

Aryabhata’s astronomische berekeningsmethoden waren ook zeer invloedrijk. Samen met de goniometrische tafels werden zij op grote schaal gebruikt in de islamitische wereld, en werden zij gebruikt voor de berekening van vele Arabische astronomische tafels (zijes). Met name de astronomische tabellen in het werk van de Arabisch-Spaanse wetenschapper Al-Zarqali (elfde eeuw), werden in het Latijn vertaald als de Tafels van Toledo (twaalfde eeuw), en bleven eeuwenlang de meest nauwkeurige Ephemeris die in Europa werd gebruikt.

De door Aryabhata en volgelingen uitgewerkte kalenderberekeningen zijn in India voortdurend in gebruik geweest voor de praktische vaststelling van de Panchanga of Hindoekalender. Deze berekeningen werden ook doorgegeven aan de Islamitische wereld en vormden de basis voor de Jalali-kalender die in 1073 werd ingevoerd door een groep astronomen waaronder Omar Khayyam, en waarvan versies (gewijzigd in 1925) de nationale kalenders zijn die thans in Iran en Afghanistan worden gebruikt. De Jalali-kalender bepaalt zijn data op basis van de werkelijke zonnedoorgang, zoals in Aryabhata (en vroegere Siddhanta-kalenders). Dit type kalender vereist een efemeride voor het berekenen van de datums. Hoewel de datums moeilijk te berekenen waren, waren de seizoensgebonden fouten in de Jalali-kalender kleiner dan in de Gregoriaanse kalender.

Quote

Als commentaar op de Aryabhatiya (ongeveer een eeuw na de publicatie ervan geschreven) schreef Bhaskara I: “Aryabhata is de meester die, na de verste kusten te hebben bereikt en de diepste diepten van de zee van de ultieme kennis van de wiskunde, de kinematica en de sferica te hebben geplunderd, de drie wetenschappen aan de geleerde wereld heeft overhandigd.”

Noemde ter zijner ere

• India’s eerste satelliet Aryabhata, werd naar hem genoemd.
• De maankrater Aryabhata is ter zijner ere genoemd.
• De interschoolse Aryabhata wiskundewedstrijd is naar hem genoemd.

Noten

• Cooke, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. De Āryabhaṭīya van Āryabhaṭa: Een oud Indiaas werk over wiskunde en astronomie. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, and Singh Avadhesh Narayan. Geschiedenis van de Hindoe-wiskunde. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. “Kritisch bewijs om de geboorteplaats van Āryabhata vast te stellen.” Current Science 93(8) (oktober 2007): 1177-1186. Retrieved April 10, 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Londen: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. “Birth and Early Development of Indian Astronomy.” In Astronomy Across Cultures: The History of Non-Western Astronomy, geredigeerd door Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. “Astronomy in India.” In Astronomy Before the Telescope, geredigeerd door C.B.F. Walker, 123-142. Londen: Uitgegeven voor de Trustees van het British Museum door British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indiase wiskundige en astronoom. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Vroege astronomie. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Alle links opgehaald 25 november 2016.

• “Āryabhaṭa I” Narahari Achar, uit Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, p. 63
• John J. O’Connor en Edmund F. Robertson. Aryabhata bij het MacTutor archief.
• Aryabhata en de zoon van Diophantus, Hindustan Times Storytelling Science column, nov 2004.