Aryabhata

PuneのIUCA敷地内にあるAryabhataの像。

Āryabhata (Devanāgarī: आर्यट) (476 – 550 C.)（European Association of America, Inc.(476 – 550 C. E.)は、インド数学とインド天文学の古典的な時代の偉大な数学者・天文学者の最初の一人である。

伝記

アリアバタはナルマダとゴダヴァリの間に横たわる地域で生まれ、そこはアシュマカとして知られ、現在はマハラシュトラと同定されているが、初期の仏教書にはアシュマカはさらに南、ダクシナパまたはデカンであると書かれており、他の書にはアシュマカ人がアレキサンダーと戦ったという記述があるので、彼らはもっと北と考えられているだろう。 インドの他の伝承では、彼はケーララ出身で北へ旅したとか、グジャラート出身のマガ・ブラフミンであったとされている

しかし、ある時点で彼が高等教育のためにクスマプラに行き、しばらくここに住んでいたことはかなり確かである。 Bhāskara I (629 C.E.) は、KusumapuraをPataliputra (現代のPatna)と特定している。 クスマプラは後に、インドの2大数学センター（ウジャインがもう1つ）の1つとして知られるようになった。 彼はグプタ帝国の衰退期、つまりインドの黄金時代と呼ばれる時期にそこに住んでいた。当時はすでに北東部でフン族の攻撃を受けており、ブッダグプタやヴィシュヌグプタ以前のいくつかの小さな王の治世であった。 パタリプートラは当時グプタ帝国の首都であり、通信網の中心地であったため、人々は世界中の学問や文化に触れ、アーリアバータの科学的進歩が容易に伝播した。

彼の名である「アーリア」は、「スリ」のように敬意を表す言葉であり、「バタ」は典型的な北インドの名前で、今日ではビハール州の「バニア」（または商人）コミュニティの間で通常見られます。 彼の主要著作である『アーリアバティヤ』は数学と天文学の大要であり、インドの数学文献で広く参照され、現代まで残っている。

失われた天文計算の著作『アーリア・シッダンタ』は、アーリアバータの同時代のヴァラハミヒラの著作や、ブラフマグプタ、バスカラ1世など後代の数学者・注釈者を通じて知られている。この著作は、より古い『スーリヤ・シッダンタ』に基づくと思われ、アーリアバータの日の出に対して、深夜日再計算が用いられている。 また、いくつかの天文機器、グノモン（shanku-yantra）、影法師（chhAyA-yantra）、半円や円形の角度測定器（dhanur-yantra/chakra-yantra）、円筒形の棒状のyasti-yantra、chhatra-yantraという傘状の機器、弓形と円筒形の少なくとも2種類の水時計についての記述が含まれている。

アラビア語翻訳で残っていると思われる第三のテキストは、『アーリアバター』の翻訳であるとする『アル・ンツフ』または『アル・ナンフ』だが、この著作のサンスクリット名は不明である。 おそらく9世紀のもので、ペルシャの学者でインドの年代記を書いたAbū Rayhān al-Bīrūnī が言及している。

Aryabhatiya

したがって、Aryabhataの著作の直接的詳細はAryabhatiyaからしかわからない。 アーリアバティヤという名称は後世の注釈者によるもので、アーリアバター自身はこの名称を付けていない可能性がある。 また、Arya-shatas-aShTaと呼ばれることもあるが、これはAryabhataの108節である。 経典によく見られる非常に簡潔な文体で書かれており、一行一行が複雑な体系を記憶するための補助的なものである。 したがって、意味の説明は解説者の手に委ねられる。 テキスト全体は108節と序章13節からなり、全体は4つのパーダ（章）に分けられている：

1. GitikApAda: (13節) カルパ、マンヴァントラ、ユガといった大きな時間の単位で、ラガーダの『ヴェーダンガ・ジョーティシャ』（紀元前1世紀頃）などの以前のテキストとは異なる宇宙論を提示します。 また、一節で示された正弦表（jya）も含まれている。 マハユガの間の惑星自転については、432万年という数字が与えられています。 (33節）求積法（kShetra vyAvahAra）、算術と幾何学的な進行、ノモン/影（shanku-chhAyA）、単純、二次、同時、不定方程式（kuTTaka）
2. KAlakriyApAda.をカバーします。 (25節）時間の異なる単位と、ある日の惑星の位置の決定方法。 間月（adhikamAsa）、kShaya-tithisに関する計算。
3. GolapAda: 1週間を7日とし、曜日の名称を提示します。 (50節）天球の幾何学的・三角的側面、黄道の特徴、天の赤道、ノード、地球の形、昼と夜の原因、地平線上の黄道帯の上昇などです。

さらに、いくつかのバージョンでは、作品の美徳を賞賛する、最後に追加されたいくつかの奥付を引用しているなど

アーリアバティヤは、数学と天文学の多くの技術革新を詩編で示し、何世紀も影響を及ぼした。

数学

位取りとゼロ

3世紀のBakhshali Manuscriptで初めて見られた数位取りは、彼の作品では明らかに実施されていた。 彼は確かに記号を使わなかったが、フランスの数学者ジョルジュ・イフラーは、ゼロの知識はヌル係数を持つ10の累乗のプレースホルダーとして、アーリアバタのプレースバリューシステムに暗黙的に含まれていたと主張している

しかしながら、アーリアバタはブラフミー数詞を使わなかったのである。 ヴェーダ時代からのサンスクリット語の伝統を引き継ぎ、アルファベットで数字を表し、数量（正弦表など）をニモニック形式で表現したのです。

円周率を非合理とする

ご存知ですか？

インドの数学者・天文学者であるアーリアバタは円周率（π）を5桁まで正しく計算し、それが無理数であることに気づいたかもしれない

Aryabhataは円周率（π {displaystyle \pi } ）の近似値に取り組み、π {displaystyle \pi }が無理数であることを理解したかもしれない

は不合理である。 Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10)の第二部で、彼は次のように書いている：

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasysanno vrîttapariṇahaḥ.

「100に4を加え、8を掛けて、62,000を加える。 この法則により、直径2万の円の円周に近づくことができる。”

つまり π {displaystyle \pi }. = ~ 62832/20000 = 3.1416, 5桁まで正しい。 解説者のNilakantha Somayaji (Kerala School, 15世紀)は、最後の単語の直前に出てくるāsanna (approaching) という単語を、これが近似値であるだけでなく、この値が不可算（または不合理）であると解釈している。 ヨーロッパでπの不合理性が証明されたのは1761年、ランベールによってである。

求積と三角法

ガニタパダ6章では三角形の面積を

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

と与えています。

不定方程式

古くからインドの数学者の大きな関心事は、ax + b = cy という形の方程式に整数の解を求めることで、このテーマはディオファントス方程式として知られるようになった。 以下はBhaskaraのAryabhatiyaの解説からの例である。

8で割った余りが5、9で割った余りが4、7で割った余りが1になる数を求めよ。

すなわちN = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1を求めよ。 Nの最小値は85であることがわかる。 一般に、ディオファントス方程式は難解である。 このような方程式は、古くは紀元前800年頃のヴェーダのテキスト『スルバ・スートラ』で盛んに考察されている。アーリアバータのこのような問題の解法は、クータカ法（कूटटक）と呼ばれるものである。 クッタカとは「粉砕」という意味で、元の因数をより小さい数で書く再帰的なアルゴリズムである。 今日、このアルゴリズムはC.E.621年にBhaskaraによって考案されたものである。

ディオファントス方程式は暗号学の分野でも注目されており、2006年のRSAカンファレンスでは、クッタカ法とスルヴァストラスにおける以前の仕事に焦点が当てられた。

天文学

アーリアバタの天文学の体系はオーダヤカシステム（赤道のランカの夜明け、ウデイから日が計算される）と呼ばれました。 しかし、ブラフマーグプタの『カーンダクアディヤカ』における議論から、その一部を復元することができる。

太陽系の運動

アーリアバタは、地球が自転していると考えていたようである。 このことは、ランカに言及し、星の動きを地球の自転による相対的な動きとして記述している文章で明らかにされています。「前に進む船の中の人が、止まっているものを後ろに動いていると見るように、ランカ（すなわち赤道上）の人々には止まっている星が正確に西に向かって動いていると見られるのです」

しかし、次の節は星と惑星の動きを実際の動きとして記述しています。 「その上昇と沈降の原因は、小惑星の輪が、保護風によって駆動される惑星とともに、ランカで常に西へ移動していることにある。「

ランカ（スリランカ）は、赤道上の基準点であり、天文学の計算のための基準子午線と同等とされた。

アリアバタは、太陽と月がそれぞれ地球の周りを回るエピサイクルに乗っている、太陽系の地動説のモデルを説明した。 このモデルは『パイターマハシッダーンタ』（425年頃）にも見られ、惑星の運動は、小さいマンダ（遅い）周回軌道と大きいシーグラ（速い）周回軌道の2つの周回軌道によって支配される。 地球からの距離から見た惑星の順番は次のようになる。 月、水星、金星、太陽、火星、木星、土星、小惑星である。

惑星の位置と周期は、水星と金星の場合は平均太陽と同じ速度で地球の周りを動き、火星、木星、土星の場合はそれぞれの惑星が黄道帯を動くことを表す特定の速度で地球の周りを動く、一様に動く点に対して計算されている。 天文学の歴史家の多くは、この二重周期のモデルは、天動説以前のギリシャ天文学の要素を反映していると考えている。

日食

アーリアバタは、月と惑星は反射した日光によって輝くと述べた。 日食が擬似惑星のノードであるラーフやケトゥによって引き起こされるという一般的な宇宙観の代わりに、彼は日食を地球によって投げられ、地球に落ちる影という観点から説明しました。 こうして、月食は月が地球の影に入り込むと起こる（gola.37節）、この地球の影の大きさと範囲（gola.38-48節）、そして日食の際の計算、日食部分の大きさについて長々と議論している。 その後のインドの天文学者はこれらの計算を改良していったが、彼の方法が核となった。 この計算のパラダイムは非常に正確で、18世紀の科学者ギョーム・ル・ジェンティルがポンディシェリーを訪れた際、1765-08-30の月食の持続時間をインドの計算では41秒短いのに対し、彼のチャート（Tobias Mayer, 1752）では68秒長かった。

Aryabhata の地球周の計算は24835マイルで、実際の値24902マイルより0.2 %小さいだけであった。

恒星周期

現代の英語の時間単位で考えると、アーリアバタは恒星の自転を23時間56分4.1秒と計算しました。 同様に恒星年の長さも365日6時間12分30秒で、1年の長さに対して3分20秒の誤差がある。

天動説

不動明王は、地球は自転し、彼の惑星エピシクリックモデルのいくつかの要素は、太陽の周りの惑星の運動と同じ速度で回転していると主張している。 このことから、不動明王の計算は、惑星が太陽の周りを公転する天動説を基礎としていたことが、一部の解釈者によって示唆されている。 この天動説に対する詳細な反論は、B. L. van der Waerdenの書評で、「インドの惑星論に対する完全な誤解が、不動明王の記述の一言一句によって完全に否定される」と述べられているが、不動明王のシステムが、彼が知らなかった以前の天動説のモデルに由来すると認める者もいる。 また、惑星の軌道を楕円と考えたとする説もあるが、その根拠となるものはない。 サモスのアリスタルコス（紀元前3世紀）、時にはポントスのヘラクリデス（紀元前4世紀）は、通常、天動説を知っていたとされているが、古代インドで知られているギリシャ天文学の版、ポーリサ・シッダンタ（おそらくアレクサンドリアのポールによる）には天動説への言及はない。

Legacy

Aryabhata の著作は、インドの天文学の伝統に大きな影響を与え、翻訳を通じて近隣の文化にも影響を及ぼした。 特にイスラム黄金期（820年頃）のアラビア語訳は大きな影響力を持ちました。 また、10世紀のアラビア人学者アル＝ビルニは、不動明王の信奉者たちが地球は自転していると信じていたと述べています

彼の定義したサイン、コサイン（kojya）、バーサイン（ukramajya）、逆サイン（otkram jya）は、三角法の誕生に影響を与えました。 また、0°から90°まで3.75°間隔で、小数点以下4桁の精度でサインとバーサイン（1-cosx）表を規定した最初の人物でもある

実際、現代の「サイン」「コサイン」という名前は、アーリアバタが紹介したjyaとkojyaの誤訳である。 アラビア語ではjiba、kojibaと表記されました。 クレモナのジェラードがアラビア語の幾何学のテキストをラテン語に翻訳する際に、jibaをアラビア語で「衣服の折り目」を意味するjaib、L. sinusと誤訳した（1150年頃）＜2276＞＜4864＞アーリアバタの天文学的計算法も大きな影響を及ぼした。 三角関数表とともに、イスラム世界で広く使われるようになり、多くのアラビア語の天文表（zijes）の計算に使われた。 特に、アラビアスペインの科学者アル・ザルカリ（11世紀）の天文表は、トレドの表（12世紀）としてラテン語に翻訳され、ヨーロッパで最も正確なエフェメリスとして何世紀にもわたって使用され続けている。

アーリアバターとその弟子たちによって作られた暦学的計算は、インドでパンシャンガ（ヒンドゥー暦）を定めるという実用的な目的のために継続的に使用されてきました。 ジャラーリ暦は、アーリアバター暦（およびそれ以前のシッダーンタ暦）と同様に、実際の太陽面通過に基づいて日付を決定する。 日付の計算が難しいが、グレゴリオ暦に比べ季節の誤差が少ない。

Quote

『アーリアバティヤ』の解説書（出版から約1世紀後に書かれた）として、バスカラ1世は「アーリアバティヤは、数学、運動学、球形学の究極知識の海の最も遠い岸に到達し最深部を掘った後、学問の世界に三学を手渡した師である」と書いています。”

彼の名誉にちなんで名付けられた

• インド初の衛星アーリアバタは、彼の名にちなんで名付けられた。
• 月のクレーターアーリアバタは、彼の名誉にちなんで名付けられた。
• 学校対抗のアーリアバター数学大会は彼にちなんで名づけられた。

注

• Cooke, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: 古代インドの数学と天文に関する著作。 シカゴ、IL: シカゴ大学出版局、1930年。 ISBN 978-1425485993
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• Hari, K. Chandra. “不動明王の出身地を確定するための重要な証拠”. Current Science 93(8) (October 2007): 1177-1186. Retrieved April 10, 2012.
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• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: インドの数学者・天文学者. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. 初期天文学. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

全リンク2016年11月25日検索.

• 「不動明王I」ナラハリ・アチャー、トーマス・ホッケー他編より. The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, p.63
• John J. O’Connor、Edmund F. Robertson. Aryabhata at the MacTutor archive.
• Aryabhata and Diophantus’s son, Hindustan Times Storytelling Science column, Nov 2004.アーリャバターとディオファントスの息子、ヒンドゥスタンタイムズストーリーテリングサイエンスコラム。

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