Aryabhata

Statua di Aryabhata sul terreno dello IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 C.E.) fu il primo nella linea dei grandi matematici-astronomi dell’età classica della matematica e dell’astronomia indiana. Le sue opere più famose sono l’Aryabhatiya (499) e l’Arya-Siddhanta.

Biografia

Aryabhata nacque nella regione tra Narmada e Godavari, che era conosciuta come Ashmaka ed è ora identificata con il Maharashtra, anche se i primi testi buddisti descrivono Ashmaka come più a sud, dakShiNApath o il Deccan, mentre altri testi ancora descrivono gli Ashmaka come coloro che hanno combattuto Alessandro, che li collocherebbero più a nord. Altre tradizioni in India sostengono che fosse del Kerala e che abbia viaggiato verso il nord, o che fosse un bramino Maga del Gujarat.

Comunque, è abbastanza certo che ad un certo punto sia andato a Kusumapura per studi superiori, e che abbia vissuto qui per qualche tempo. Bhāskara I (629 d.C.) identifica Kusumapura come Pataliputra (la moderna Patna). Kusumapura fu poi conosciuta come uno dei due maggiori centri matematici dell’India (Ujjain era l’altro). Visse lì negli anni calanti dell’impero Gupta, il tempo che è conosciuto come l’età dell’oro dell’India, quando era già sotto l’attacco degli Unni nel nord-est, durante il regno di Buddhagupta e di alcuni dei re minori prima di Vishnugupta. Pataliputra era a quel tempo la capitale dell’impero Gupta, il che la rendeva il centro della rete di comunicazioni – questo esponeva il suo popolo all’apprendimento e alla cultura di tutto il mondo, e facilitava la diffusione di ogni progresso scientifico di Aryabhata. Il suo lavoro alla fine raggiunse tutta l’India e il mondo islamico.

Il suo primo nome, “Arya”, è un termine usato per rispetto, come “Sri”, mentre Bhata è un nome tipico dell’India del nord, che si trova oggi di solito tra la comunità “Bania” (o commerciante) nel Bihar.

Opere

Aryabhata è l’autore di diversi trattati di matematica e astronomia, alcuni dei quali sono andati persi. La sua opera principale, Aryabhatiya, un compendio di matematica e astronomia, è stata ampiamente citata nella letteratura matematica indiana ed è sopravvissuta fino ai tempi moderni.

L’Arya-siddhanta, un’opera perduta sui calcoli astronomici, è conosciuta attraverso gli scritti di Varahamihira, contemporaneo di Aryabhata, così come attraverso matematici e commentatori successivi tra cui Brahmagupta e Bhaskara I. Questo lavoro sembra essere basato sul più antico Surya Siddhanta, e utilizza il calcolo della mezzanotte-giorno, in contrasto con il sorgere del sole in Aryabhatiya. Questo contiene anche una descrizione di diversi strumenti astronomici, lo gnomone (shanku-yantra), uno strumento d’ombra (chhAyA-yantra), forse dispositivi di misurazione dell’angolo, a forma di semicerchio e cerchio (dhanur-yantra/chakra-yantra), un bastone cilindrico yasti-yantra, un dispositivo a forma di ombrello chiamato chhatra-yantra, e orologi ad acqua di almeno due tipi, ad arco e cilindrici.

Un terzo testo che potrebbe essere sopravvissuto in traduzione araba è l’Al ntf o Al-nanf, che sostiene di essere una traduzione di Aryabhata, ma il nome sanscrito di quest’opera non è noto. Probabilmente risalente al IX secolo, è menzionata dallo studioso persiano e cronista dell’India, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Dettagli diretti dell’opera di Aryabhata sono quindi noti solo dall’Aryabhatiya. Il nome Aryabhatiya è dovuto a commentatori successivi, Aryabhata stesso potrebbe non avergli dato un nome; è indicato dal suo discepolo, Bhaskara I, come Ashmakatantra o il trattato dell’Ashmaka. È anche occasionalmente indicato come Arya-shatas-aShTa, letteralmente 108 di Aryabhata, che è il numero di versi nel testo. È scritto nello stile molto conciso tipico della letteratura dei sutra, dove ogni riga è un aiuto alla memoria per un sistema complesso. Pertanto, l’esplicazione del significato è dovuta ai commentatori. L’intero testo consiste di 108 versi, più un 13 introduttivo, il tutto è diviso in quattro pAdas o capitoli:

1. GitikApAda: (13 versi) Grandi unità di tempo-kalpa, manvantra, yuga, che presentano una cosmologia che differisce dai testi precedenti come il Vedanga Jyotisha di Lagadha (circa il primo secolo a.C.). Include anche la tavola dei seni (jya), data in un solo verso. Per le rivoluzioni planetarie durante un mahayuga, viene dato il numero di 4,32 milioni di anni.
2. GaNitapAda: (33 versi) Copre la mensurazione (kShetra vyAvahAra), progressioni aritmetiche e geometriche, gnomone/ombra (shanku-chhAyA), equazioni semplici, quadratiche, simultanee e indeterminate (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 versi) Diverse unità di tempo e metodo di determinazione delle posizioni dei pianeti per un dato giorno. Calcoli riguardanti il mese intercalare (adhikamAsa), kShaya-tithis. Presenta una settimana di sette giorni, con i nomi dei giorni della settimana.
4. GolapAda: (50 versi) Aspetti geometrici/trigonometrici della sfera celeste, caratteristiche dell’eclittica, equatore celeste, nodo, forma della terra, causa del giorno e della notte, sorgere dei segni zodiacali sull’orizzonte ecc.

Inoltre, alcune versioni citano alcuni colophon aggiunti alla fine, che esaltano le virtù dell’opera, ecc.

L’Aryabhatiya ha presentato una serie di innovazioni in matematica e astronomia in forma di versi, che furono influenti per molti secoli. L’estrema brevità del testo fu elaborata nei commenti del suo discepolo Bhaskara I (Bhashya, 600 circa) e da Nilakantha Somayaji nel suo Aryabhatiya Bhasya (1465).

Matematica

Sistema dei valori di luogo e zero

Il sistema dei valori di luogo dei numeri, visto per la prima volta nel manoscritto Bakhshali del terzo secolo, era chiaramente presente nel suo lavoro. Certamente non usò il simbolo, ma il matematico francese Georges Ifrah sostiene che la conoscenza dello zero era implicita nel sistema di valori di luogo di Aryabhata come supporto per le potenze di dieci con coefficienti nulli.

Comunque, Aryabhata non usò i numeri brahmi. Continuando la tradizione sanscrita dei tempi vedici, usò lettere dell’alfabeto per indicare i numeri, esprimendo quantità (come la tavola dei seni) in forma mnemonica.

Pi come irrazionale

Aryabhata lavorò sull’approssimazione per il Pi greco ( π {displaystyle \pi } ), e potrebbe aver capito che π {displaystyle \pi } è irrazionale. Nella seconda parte dell’Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), egli scrive:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

“Aggiungi quattro a 100, moltiplica per otto e poi aggiungi 62.000. Con questa regola si può avvicinare la circonferenza di un cerchio di diametro 20.000”.

In altre parole, π {displaystyle \pi } = ~ 62832/20000 = 3,1416, corretto con cinque cifre. Il commentatore Nilakantha Somayaji (Kerala School, XV secolo) interpreta la parola āsanna (avvicinarsi), che appare appena prima dell’ultima parola, come se dicesse che non solo si tratta di un’approssimazione, ma che il valore è incommensurabile (o irrazionale). Se questo è corretto, è un’intuizione piuttosto sofisticata, perché l’irrazionalità di pi greco fu dimostrata in Europa solo nel 1761, da Lambert.

Dopo che Aryabhatiya fu tradotto in arabo (circa 820 d.C.), questa approssimazione fu menzionata nel libro di Al-Khwarizmi sull’algebra.

Mensura e trigonometria

Nel Ganitapada 6, Aryabhata dà l’area del triangolo come

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

che si traduce in: Per un triangolo, il risultato di una perpendicolare con il mezzo lato è l’area.

Equazioni indeterminate

Un problema di grande interesse per i matematici indiani fin dai tempi antichi è stato quello di trovare soluzioni intere a equazioni che hanno la forma ax + b = cy, un argomento che è diventato noto come equazioni diofantine. Ecco un esempio dal commento di Bhaskara su Aryabhatiya:

Trova il numero che dà 5 come resto quando è diviso per 8; 4 come resto quando è diviso per 9; e 1 come resto quando è diviso per 7.

Quindi, trova N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Si scopre che il valore più piccolo per N è 85. In generale, le equazioni diofantine possono essere notoriamente difficili. Tali equazioni erano ampiamente considerate nell’antico testo vedico Sulba Sutras, le cui parti più antiche potrebbero risalire all’800 a.C. Il metodo di Aryabhata per risolvere tali problemi, chiamato metodo kuṭṭaka (कूटटक). Kuttaka significa “polverizzare”, cioè rompere in piccoli pezzi, e il metodo comportava un algoritmo ricorsivo per scrivere i fattori originali in termini di numeri più piccoli. Oggi questo algoritmo, elaborato da Bhaskara nel 621 d.C., è il metodo standard per risolvere le equazioni diofantine del primo ordine, ed è spesso indicato come l’algoritmo Aryabhata.

Le equazioni diofantine sono di interesse in crittologia, e la Conferenza RSA, 2006, si è concentrata sul metodo kuttaka e sul lavoro precedente nei Sulvasutra.

Astronomia

Il sistema di astronomia di Aryabhata era chiamato sistema audAyaka (i giorni sono calcolati da uday, l’alba a lanka, equatore). Alcuni dei suoi scritti successivi sull’astronomia, che apparentemente proponevano un secondo modello (ardha-rAtrikA, mezzanotte), sono persi, ma possono essere parzialmente ricostruiti dalla discussione nel khanDakhAdyaka di Brahmagupta. In alcuni testi egli sembra attribuire i moti apparenti dei cieli alla rotazione della terra.

Movimenti del sistema solare

Aryabhata sembra aver creduto che la terra ruoti intorno al suo asse. Ciò è reso chiaro nell’affermazione, riferita a Lanka, che descrive il movimento delle stelle come un moto relativo causato dalla rotazione della terra: “Come un uomo in una barca che si muove in avanti vede gli oggetti fermi come se si muovessero all’indietro, così le stelle ferme sono viste dalla gente in LankA (cioè all’equatore) come se si muovessero esattamente verso ovest.”

Ma il verso successivo descrive il moto delle stelle e dei pianeti come movimenti reali: “La causa del loro sorgere e tramontare è dovuta al fatto che il cerchio degli asterismi insieme ai pianeti spinti dal vento protettore, si muove costantemente verso ovest a Lanka.”

Lanka (letteralmente, Sri Lanka) è qui un punto di riferimento sull’equatore, che veniva preso come equivalente al meridiano di riferimento per i calcoli astronomici.

Aryabhata ha descritto un modello geocentrico del sistema solare, in cui il Sole e la Luna sono portati ciascuno da epicicli che a loro volta ruotano intorno alla Terra. In questo modello, che si trova anche nel Paitāmahasiddhānta (425 circa d.C.), i moti dei pianeti sono governati ciascuno da due epicicli, un epiciclo più piccolo manda (lento) e un epiciclo più grande śīghra (veloce). L’ordine dei pianeti in termini di distanza dalla terra sono presi come: La Luna, Mercurio, Venere, il Sole, Marte, Giove, Saturno e gli asterismi.

Le posizioni e i periodi dei pianeti sono stati calcolati rispetto a punti in movimento uniforme, che nel caso di Mercurio e Venere, si muovono intorno alla Terra alla stessa velocità del Sole medio e nel caso di Marte, Giove e Saturno si muovono intorno alla Terra a velocità specifiche che rappresentano il movimento di ogni pianeta attraverso lo zodiaco. La maggior parte degli storici dell’astronomia ritiene che questo modello a due epicicli rifletta elementi dell’astronomia greca pre-tolemaica. Un altro elemento nel modello di Aryabhata, la śīghrocca, il periodo planetario di base in relazione al Sole, è visto da alcuni storici come un segno di un sottostante modello eliocentrico.

Eclipses

Aryabhata affermava che la Luna e i pianeti brillano per luce solare riflessa. Invece della cosmogonia prevalente, dove le eclissi erano causate dai nodi pseudo-planetari Rahu e Ketu, egli spiega le eclissi in termini di ombre proiettate da e che cadono sulla terra. Così, l’eclissi lunare si verifica quando la luna entra nella terra-ombra (verso gola.37), e discute a lungo la dimensione e l’estensione di questa terra-ombra (versi gola.38-48), e poi il calcolo, e la dimensione della parte eclissata durante le eclissi. Gli astronomi indiani successivi hanno migliorato questi calcoli, ma i suoi metodi ne hanno fornito il nucleo. Questo paradigma di calcolo era così accurato che lo scienziato del XVIII secolo Guillaume le Gentil, durante una visita a Pondicherry, trovò che i calcoli indiani della durata dell’eclissi lunare del 1765-08-30 erano corti di 41 secondi, mentre le sue tabelle (Tobias Mayer, 1752) erano lunghe di 68 secondi.

Il calcolo di Aryabhata della circonferenza della Terra era di 24.835 miglia, che era solo lo 0,2% più piccolo del valore reale di 24.902 miglia. Questa approssimazione potrebbe aver migliorato il calcolo del matematico greco Eratostene (circa 200 a.C.), il cui calcolo esatto non è noto in unità moderne.

Periodi siderali

Considerato nelle moderne unità di tempo inglesi, Aryabhata calcolò la rotazione siderale (la rotazione della terra riferita alle stelle fisse) come 23 ore 56 minuti e 4,1 secondi; il valore moderno è 23:56:4,091. Allo stesso modo, il suo valore per la lunghezza dell’anno siderale di 365 giorni 6 ore 12 minuti 30 secondi è un errore di 3 minuti 20 secondi sulla lunghezza di un anno. La nozione di tempo siderale era nota nella maggior parte degli altri sistemi astronomici dell’epoca, ma questo calcolo era probabilmente il più accurato del periodo.

eliocentrismo

Āryabhata sostiene che la Terra gira sul proprio asse e alcuni elementi dei suoi modelli epiciclici planetari ruotano alla stessa velocità del moto del pianeta intorno al Sole. Questo ha suggerito ad alcuni interpreti che i calcoli di Āryabhata fossero basati su un modello eliocentrico sottostante in cui i pianeti orbitano intorno al Sole. Una confutazione dettagliata di questa interpretazione eliocentrica si trova in una recensione che descrive il libro di B. L. van der Waerden come “mostra un completo fraintendimento della teoria planetaria indiana, contraddetto in modo netto da ogni parola della descrizione di Āryabhata”, anche se alcuni ammettono che il sistema di Āryabhata deriva da un precedente modello eliocentrico di cui non era consapevole. È stato anche affermato che egli considerava i percorsi dei pianeti come ellittici, anche se non è stata citata alcuna prova primaria per questo. Anche se Aristarco di Samo (terzo secolo a.C.) e talvolta Eraclide del Ponto (quarto secolo a.C.) sono solitamente accreditati di conoscere la teoria eliocentrica, la versione dell’astronomia greca conosciuta nell’antica India, Paulisa Siddhanta (forse da un Paolo di Alessandria) non fa riferimento a una teoria eliocentrica.

Legacy

L’opera di Aryabhata fu di grande influenza nella tradizione astronomica indiana, e influenzò diverse culture vicine attraverso le traduzioni. La traduzione araba durante l’Età dell’Oro islamica (820 circa), fu particolarmente influente. Alcuni dei suoi risultati sono citati da Al-Khwarizmi, e a lui fa riferimento lo studioso arabo del decimo secolo Al-Biruni, che afferma che i seguaci di Āryabhata credevano che la Terra ruotasse sul suo asse.

Le sue definizioni di seno, così come di coseno (kojya), versine (ukramajya), e seno inverso (otkram jya), influenzarono la nascita della trigonometria. Fu anche il primo a specificare le tabelle del seno e del versine (1-cosx), in intervalli di 3,75° da 0° a 90° con una precisione di 4 cifre decimali.

In effetti, i nomi moderni “seno” e “coseno”, sono una trascrizione errata delle parole jya e kojya introdotte da Aryabhata. Erano trascritte come jiba e kojiba in arabo. Furono poi male interpretate da Gerardo di Cremona mentre traduceva un testo di geometria araba in latino; egli prese jiba per la parola araba jaib, che significa “piega in un indumento”, L. sinus (1150 circa).

Anche i metodi di calcolo astronomico di Aryabhata furono molto influenti. Insieme alle tavole trigonometriche, essi vennero ampiamente utilizzati nel mondo islamico, e furono usati per calcolare molte tavole astronomiche arabe (zijes). In particolare, le tavole astronomiche nell’opera dello scienziato arabo spagnolo Al-Zarqali (XI secolo), furono tradotte in latino come le Tavole di Toledo (XII secolo), e rimasero le effemeridi più accurate usate in Europa per secoli.

I calcoli calendrici elaborati da Aryabhata e seguaci sono stati in uso continuo in India per gli scopi pratici di fissare il Panchanga, o calendario indù, Questi sono stati anche trasmessi al mondo islamico, e hanno formato la base per il calendario Jalali introdotto nel 1073, da un gruppo di astronomi tra cui Omar Khayyam, versioni del quale (modificato nel 1925) sono i calendari nazionali in uso in Iran e Afghanistan oggi. Il calendario Jalali determina le sue date in base al transito solare effettivo, come nell’Aryabhata (e nei precedenti calendari Siddhanta). Questo tipo di calendario richiede un’effemeride per il calcolo delle date. Anche se le date erano difficili da calcolare, gli errori stagionali erano più bassi nel calendario Jalali che nel calendario gregoriano.

Citazione

In un commento dell’Aryabhatiya (scritto circa un secolo dopo la sua pubblicazione), Bhaskara I scrisse: “Aryabhata è il maestro che, dopo aver raggiunto le rive più lontane e scandagliato le profondità del mare della conoscenza ultima della matematica, della cinematica e della sferica, ha consegnato le tre scienze al mondo dotto.”

Nominato in suo onore

• Il primo satellite dell’India, Aryabhata, ha preso il suo nome.
• Il cratere lunare Aryabhata è chiamato in suo onore.
• Il concorso interscolastico di matematica Aryabhata porta il suo nome.

Note

• Cooke, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. L’Āryabhaṭīya di Āryabhaṭa: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, e Singh Avadhesh Narayan. Storia della matematica indù. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. “Prove critiche per fissare il luogo di nascita di Āryabhata”. Current Science 93(8) (ottobre 2007): 1177-1186. Retrieved April 10, 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Londra: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. “Birth and Early Development of Indian Astronomy.” In Astronomia attraverso le culture: The History of Non-Western Astronomy, a cura di Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. “L’astronomia in India”. In Astronomy Before the Telescope, a cura di C.B.F. Walker, 123-142. Londra: Published for the Trustees of the British Museum by British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Matematica e astronomia indiana: Alcuni punti di riferimento. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Matematico e astronomo indiano. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Early Astronomy. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Tutti i link recuperati il 25 novembre 2016.

• “Āryabhaṭa I” Narahari Achar, da Thomas Hockey et al. (eds.). L’enciclopedia biografica degli astronomi, Springer Reference. New York: Springer, 2007, p. 63
• John J. O’Connor e Edmund F. Robertson. Aryabhata all’archivio MacTutor.
• Aryabhata e il figlio di Diofanto, Hindustan Times Storytelling Science column, novembre 2004.