Aryabhata

Statue d’Aryabhata sur le terrain de l’IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī : आर्यभट) (476 – 550 C.E.) fut le premier de la lignée des grands mathématiciens-astronomes de l’âge classique des mathématiques et de l’astronomie indiennes. Ses œuvres les plus célèbres sont l’Aryabhatiya (499) et l’Arya-Siddhanta.

Biographie

Aryabhata est né dans la région située entre Narmada et Godavari, qui était connue sous le nom d’Ashmaka et est maintenant identifiée avec le Maharashtra, bien que les premiers textes bouddhistes décrivent Ashmaka comme étant plus au sud, dakShiNApath ou le Deccan, tandis que d’autres textes encore décrivent les Ashmakas comme ayant combattu Alexandre, ce qui les placerait plus au nord. D’autres traditions en Inde prétendent qu’il était originaire du Kerala et qu’il a voyagé vers le Nord, ou qu’il était un brahmane Maga du Gujarat.

Cependant, il est assez certain qu’à un moment donné, il s’est rendu à Kusumapura pour des études supérieures, et qu’il y a vécu pendant un certain temps. Bhāskara I (629 de l’ère chrétienne) identifie Kusumapura comme étant Pataliputra (Patna moderne). Kusumapura fut plus tard connu comme l’un des deux grands centres mathématiques de l’Inde (Ujjain était l’autre). Il y a vécu pendant les années de déclin de l’empire Gupta, l’époque que l’on appelle l’âge d’or de l’Inde, alors qu’elle était déjà attaquée par les Huns dans le nord-est, sous le règne de Buddhagupta et de certains petits rois avant Vishnugupta. Pataliputra était à l’époque la capitale de l’empire Gupta, ce qui en faisait le centre du réseau de communication – ce qui exposait ses habitants à l’apprentissage et à la culture du monde entier, et facilitait la diffusion des avancées scientifiques d’Aryabhata. Son travail a finalement atteint toute l’Inde et le monde islamique.

Son prénom, « Arya », est un terme utilisé pour le respect, comme « Sri », tandis que Bhata est un nom typique du nord de l’Inde – que l’on trouve aujourd’hui généralement parmi la communauté des « Bania » (ou commerçants) dans le Bihar.

Ouvrages

Aryabhata est l’auteur de plusieurs traités de mathématiques et d’astronomie, dont certains sont perdus. Son œuvre majeure, Aryabhatiya, un recueil de mathématiques et d’astronomie, a été abondamment citée dans la littérature mathématique indienne, et a survécu jusqu’à l’époque moderne.

L’Arya-siddhanta, un ouvrage perdu sur les calculs astronomiques, est connu par les écrits de Varahamihira, contemporain d’Aryabhata, ainsi que par des mathématiciens et des commentateurs ultérieurs, dont Brahmagupta et Bhaskara I. Cet ouvrage semble être basé sur le Surya Siddhanta, plus ancien, et utilise le décompte du jour à minuit, par opposition au lever du soleil dans l’Aryabhatiya. Il contient également une description de plusieurs instruments astronomiques, le gnomon (shanku-yantra), un instrument à ombre (chhAyA-yantra), éventuellement des dispositifs de mesure d’angle, en forme de demi-cercle et de cercle (dhanur-yantra/chakra-yantra), un bâton cylindrique yasti-yantra, un dispositif en forme de parapluie appelé chhatra-yantra, et des horloges à eau d’au moins deux types, en forme d’arc et cylindrique.

Un troisième texte qui a peut-être survécu en traduction arabe est l’Al ntf ou Al-nanf, qui prétend être une traduction de l’Aryabhata, mais le nom sanskrit de cet ouvrage n’est pas connu. Datant probablement du IXe siècle, elle est mentionnée par l’érudit et chroniqueur persan de l’Inde, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Les détails directs de l’œuvre d’Aryabhata ne sont donc connus que par l’Aryabhatiya. Le nom Aryabhatiya est dû à des commentateurs ultérieurs, Aryabhata lui-même peut ne pas lui avoir donné de nom ; il est désigné par son disciple, Bhaskara I, comme Ashmakatantra ou le traité de l’Ashmaka. Il est aussi parfois appelé Arya-shatas-aShTa, littéralement les 108 d’Aryabhata, qui est le nombre de versets du texte. Il est écrit dans le style très laconique typique de la littérature des sutras, où chaque ligne est une aide à la mémoire d’un système complexe. Ainsi, l’explication du sens est due aux commentateurs. Le texte entier se compose de 108 versets, plus un 13 introductif, le tout étant divisé en quatre pAdas ou chapitres :

1. GitikApAda : (13 versets) Grandes unités de temps-kalpa, manvantra, yuga, qui présentent une cosmologie qui diffère des textes antérieurs comme le Vedanga Jyotisha de Lagadha (vers le premier siècle avant notre ère). Il comprend également la table des sinus (jya), donnée en un seul vers. Pour les révolutions planétaires pendant un mahayuga, le nombre de 4,32mn années est donné.
2. GaNitapAda : (33 versets) Couvre la mensuration (kShetra vyAvahAra), les progressions arithmétiques et géométriques, le gnomon/les ombres (shanku-chhAyA), les équations simples, quadratiques, simultanées et indéterminées (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda : (25 versets) Différentes unités de temps et méthode de détermination des positions des planètes pour un jour donné. Calculs concernant le mois intercalaire (adhikamAsa), kShaya-tithis. Présente une semaine de sept jours, avec les noms des jours de la semaine.
4. GolapAda : (50 versets) Aspects géométriques/trigonométriques de la sphère céleste, caractéristiques de l’écliptique, de l’équateur céleste, du nœud, forme de la terre, cause du jour et de la nuit, lever des signes zodiacaux sur l’horizon, etc.

En outre, certaines versions citent quelques colophons ajoutés à la fin, vantant les vertus de l’ouvrage, etc.

L’Aryabhatiya a présenté un certain nombre d’innovations en mathématiques et en astronomie sous forme de vers, qui ont eu une influence pendant plusieurs siècles. L’extrême brièveté du texte a été élaborée dans les commentaires de son disciple Bhaskara I (Bhashya, vers 600) et par Nilakantha Somayaji dans son Aryabhatiya Bhasya (1465).

Mathématiques

Système de valeur de place et zéro

Le système de valeur de place des nombres, vu pour la première fois dans le Manuscrit Bakhshali du troisième siècle était clairement en place dans son œuvre. Il n’a certainement pas utilisé le symbole, mais le mathématicien français Georges Ifrah soutient que la connaissance du zéro était implicite dans le système de valeurs de place d’Aryabhata en tant que support de place pour les puissances de dix à coefficients nuls.

Cependant, Aryabhata n’a pas utilisé les chiffres brahmi. Poursuivant la tradition sanskritique de l’époque védique, il utilisait les lettres de l’alphabet pour désigner les nombres, exprimant les quantités (comme la table des sinus) sous une forme mnémotechnique.

Pi comme irrationnel

Aryabhata a travaillé sur l’approximation de Pi ( π {\displaystyle \pi } ), et a peut-être réalisé que π {\displaystyle \pi }. est irrationnel. Dans la deuxième partie de l’Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), il écrit :

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

« Ajoutez quatre à 100, multipliez par huit, puis ajoutez 62 000. Par cette règle, on peut approcher la circonférence d’un cercle de diamètre 20 000. »

En d’autres termes, π {\displaystyle \pi } = ~ 62832/20000 = 3,1416, correct à cinq chiffres près. Le commentateur Nilakantha Somayaji (école du Kerala, XVe siècle) interprète le mot āsanna (approchant), apparaissant juste avant le dernier mot, comme signifiant que non seulement il s’agit d’une approximation, mais que la valeur est incommensurable (ou irrationnelle). Si cela est correct, c’est une perspicacité assez sophistiquée, car l’irrationalité de pi n’a été prouvée en Europe qu’en 1761, par Lambert.

Après que l’Aryabhatiya a été traduit en arabe (vers 820 C.E.), cette approximation a été mentionnée dans le livre d’Al-Khwarizmi sur l’algèbre.

Mensuration et trigonométrie

Dans le Ganitapada 6, Aryabhata donne l’aire du triangle comme

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Cela se traduit par : Pour un triangle, le résultat d’une perpendiculaire avec le demi-côté est l’aire.

Équations indéterminées

Un problème de grand intérêt pour les mathématiciens indiens depuis les temps anciens a été de trouver des solutions entières aux équations qui ont la forme ax + b = cy, un sujet qui a été connu sous le nom d’équations diophantiennes. Voici un exemple tiré du commentaire de Bhaskara sur Aryabhatiya:

Trouve le nombre qui donne 5 comme reste lorsqu’il est divisé par 8 ; 4 comme reste lorsqu’il est divisé par 9 ; et 1 comme reste lorsqu’il est divisé par 7.

C’est-à-dire, trouve N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Il s’avère que la plus petite valeur pour N est 85. En général, les équations diophantiennes peuvent être notoirement difficiles. De telles équations ont été largement examinées dans l’ancien texte védique Sulba Sutras, dont les parties les plus anciennes peuvent remonter à 800 avant notre ère. La méthode d’Aryabhata pour résoudre de tels problèmes, appelée la méthode kuṭṭaka (कूटटक). Kuttaka signifie « pulvériser », c’est-à-dire briser en petits morceaux, et la méthode impliquait un algorithme récursif pour écrire les facteurs originaux en termes de nombres plus petits. Aujourd’hui cet algorithme, tel qu’élaboré par Bhaskara en 621 C.E., est la méthode standard pour résoudre les équations diophantiennes du premier ordre, et il est souvent appelé l’algorithme d’Aryabhata.

Les équations diophantiennes présentent un intérêt en cryptologie, et la conférence RSA, 2006, s’est concentrée sur la méthode kuttaka et les travaux antérieurs dans les Sulvasutras.

Astronomie

Le système d’astronomie d’Aryabhata était appelé le système audAyaka (les jours sont comptés à partir de uday, l’aube à lanka, l’équateur). Certains de ses derniers écrits sur l’astronomie, qui proposaient apparemment un second modèle (ardha-rAtrikA, minuit), sont perdus, mais peuvent être partiellement reconstitués à partir de la discussion dans le khanDakhAdyaka de Brahmagupta. Dans certains textes, il semble attribuer les mouvements apparents des cieux à la rotation de la terre.

Mouvements du système solaire

Aryabhata semble avoir cru que la terre tourne autour de son axe. Cela apparaît clairement dans la déclaration, faisant référence à Lanka, qui décrit le mouvement des étoiles comme un mouvement relatif causé par la rotation de la terre : « Comme un homme dans un bateau qui avance voit les objets stationnaires comme reculant, de même les étoiles stationnaires sont vues par les gens de lankA (c’est-à-dire sur l’équateur) comme se déplaçant exactement vers l’Ouest. »

Mais le verset suivant décrit le mouvement des étoiles et des planètes comme des mouvements réels : « La cause de leur lever et de leur coucher est due au fait que le cercle des astérismes avec les planètes poussées par le vent protecteur, se déplace constamment vers l’ouest à Lanka. »

Lanka (littéralement, Sri Lanka) est ici un point de référence sur l’équateur, qui était pris comme l’équivalent du méridien de référence pour les calculs astronomiques.

Aryabhata a décrit un modèle géocentrique du système solaire, dans lequel le Soleil et la Lune sont chacun portés par des épicycles qui tournent à leur tour autour de la Terre. Dans ce modèle, que l’on retrouve également dans le Paitāmahasiddhānta (vers 425 de notre ère), les mouvements des planètes sont chacun régis par deux épicycles, un plus petit épicycle manda (lent) et un plus grand épicycle śīghra (rapide). L’ordre des planètes en termes de distance à la terre est le suivant : La Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter, Saturne et les astérismes.

Les positions et les périodes des planètes ont été calculées par rapport à des points uniformément mobiles, qui dans le cas de Mercure et Vénus, se déplacent autour de la Terre à la même vitesse que le Soleil moyen et dans le cas de Mars, Jupiter et Saturne se déplacent autour de la Terre à des vitesses spécifiques représentant le mouvement de chaque planète à travers le zodiaque. La plupart des historiens de l’astronomie considèrent que ce modèle à deux épicycles reflète des éléments de l’astronomie grecque pré-ptolémaïque. Un autre élément du modèle d’Aryabhata, le śīghrocca, la période planétaire de base par rapport au Soleil, est considéré par certains historiens comme le signe d’un modèle héliocentrique sous-jacent.

Eclipses

Aryabhata a déclaré que la Lune et les planètes brillent par la lumière solaire réfléchie. Au lieu de la cosmogonie dominante, où les éclipses étaient causées par les nœuds pseudo-planétaires Rahu et Ketu, il explique les éclipses en termes d’ombres projetées par et tombant sur la terre. Ainsi, l’éclipse lunaire se produit lorsque la lune entre dans l’ombre de la terre (verset gola.37), et discute longuement de la taille et de l’étendue de cette ombre terrestre (versets gola.38-48), puis du calcul, et de la taille de la partie éclipsée lors des éclipses. Des astronomes indiens ultérieurs ont amélioré ces calculs, mais ses méthodes en ont fourni le noyau. Ce paradigme de calcul était si précis que le scientifique du 18ème siècle Guillaume le Gentil, lors d’une visite à Pondichéry, a trouvé que les calculs indiens de la durée de l’éclipse lunaire de 1765-08-30 étaient courts de 41 secondes, alors que ses cartes (Tobias Mayer, 1752) étaient longues de 68 secondes.

Le calcul de la circonférence de la Terre par Aryabhata était de 24 835 miles, ce qui était seulement 0,2 pour cent plus petit que la valeur réelle de 24 902 miles. Cette approximation pourrait avoir amélioré le calcul du mathématicien grec Eratosthène (vers 200 avant notre ère), dont le calcul exact n’est pas connu en unités modernes.

Périodes sidérales

Considérée en unités de temps anglaises modernes, Aryabhata a calculé la rotation sidérale (la rotation de la terre référencée par les étoiles fixes) comme étant de 23 heures 56 minutes et 4,1 secondes ; la valeur moderne est 23:56:4,091. De même, sa valeur pour la durée de l’année sidérale, 365 jours 6 heures 12 minutes 30 secondes, est une erreur de 3 minutes 20 secondes sur la durée d’une année. La notion de temps sidéral était connue dans la plupart des autres systèmes astronomiques de l’époque, mais ce calcul était probablement le plus précis de la période.

Héliocentrisme

Āryabhata affirme que la Terre tourne sur son propre axe et certains éléments de ses modèles épicycliques planétaires tournent à la même vitesse que le mouvement de la planète autour du Soleil. Cela a suggéré à certains interprètes que les calculs de Āryabhata étaient basés sur un modèle héliocentrique sous-jacent dans lequel les planètes orbitent autour du Soleil. Une réfutation détaillée de cette interprétation héliocentrique se trouve dans une critique qui décrit le livre de B. L. van der Waerden comme  » montrant une incompréhension totale de la théorie planétaire indienne est carrément contredite par chaque mot de la description de Āryabhata « , bien que certains concèdent que le système de Āryabhata découle d’un modèle héliocentrique antérieur dont il n’avait pas connaissance. On a même prétendu qu’il considérait que les trajectoires des planètes étaient elliptiques, bien qu’aucune preuve primaire n’ait été citée à ce sujet. Bien que l’on attribue généralement à Aristarque de Samos (troisième siècle avant J.-C.) et parfois à Héraclide de Pont (quatrième siècle avant J.-C.) la connaissance de la théorie héliocentrique, la version de l’astronomie grecque connue dans l’Inde ancienne, le Paulisa Siddhanta (probablement par un Paul d’Alexandrie) ne fait aucune référence à une théorie héliocentrique.

Héritage

L’œuvre d’Aryabhata a eu une grande influence dans la tradition astronomique indienne, et a influencé plusieurs cultures voisines par le biais de traductions. La traduction arabe pendant l’âge d’or islamique (vers 820), a été particulièrement influente. Certains de ses résultats sont cités par Al-Khwarizmi, et il est mentionné par le savant arabe du dixième siècle Al-Biruni, qui affirme que les disciples de Āryabhata croyaient que la Terre tournait sur son axe.

Ses définitions du sinus, ainsi que du cosinus (kojya), du versin (ukramajya),et du sinus inverse (otkram jya), ont influencé la naissance de la trigonométrie. Il fut également le premier à spécifier les tables de sinus et de versin (1-cosx), par intervalles de 3,75° de 0° à 90° avec une précision de 4 décimales.

En fait, les noms modernes « sinus » et « cosinus, » sont une mauvaise transcription des mots jya et kojya tels qu’introduits par Aryabhata. Ils ont été transcrits comme jiba et kojiba en arabe. Ils ont ensuite été mal interprétés par Gérard de Crémone alors qu’il traduisait un texte de géométrie arabe en latin ; il a pris jiba pour le mot arabe jaib, qui signifie  » pli dans un vêtement « , L. sinus (vers 1150).

Les méthodes de calcul astronomique d’Aryabhata ont également eu une grande influence. Avec les tables trigonométriques, elles sont devenues largement utilisées dans le monde islamique, et ont servi à calculer de nombreuses tables astronomiques arabes (zijes). En particulier, les tables astronomiques de l’œuvre du savant arabe espagnol Al-Zarqali (XIe siècle), ont été traduites en latin sous le nom de Tables de Tolède (XIIe siècle), et sont restées les éphémérides les plus précises utilisées en Europe pendant des siècles.

Les calculs calendaires élaborés par Aryabhata et ses disciples ont été utilisés en permanence en Inde à des fins pratiques pour fixer le Panchanga, ou calendrier hindou, Ils ont également été transmis au monde islamique, et ont constitué la base du calendrier Jalali introduit en 1073, par un groupe d’astronomes dont Omar Khayyam, dont les versions (modifiées en 1925) sont les calendriers nationaux utilisés en Iran et en Afghanistan aujourd’hui. Le calendrier Jalali détermine ses dates en fonction du transit solaire réel, comme dans le calendrier Aryabhata (et les calendriers Siddhanta antérieurs). Ce type de calendrier nécessite une éphéméride pour calculer les dates.Bien que les dates soient difficiles à calculer, les erreurs saisonnières étaient plus faibles dans le calendrier Jalali que dans le calendrier grégorien.

Quote

En tant que commentaire de l’Aryabhatiya (écrit environ un siècle après sa publication), Bhaskara Ier a écrit : « Aryabhata est le maître qui, après avoir atteint les rivages les plus éloignés et sondé les profondeurs les plus intimes de la mer de la connaissance ultime des mathématiques, de la cinématique et de la sphérique, a remis les trois sciences au monde savant. »

Nommé en son honneur

• Le premier satellite indien Aryabhata, porte son nom.
• Le cratère lunaire Aryabhata est nommé en son honneur.
• Le concours interscolaire de mathématiques Aryabhata porte son nom.

Notes

• Cooke, Roger. L’histoire des mathématiques : Un bref cours. New York, NY : Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. Le Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa : Un ouvrage indien ancien sur les mathématiques et l’astronomie. Chicago, IL : University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, et Singh Avadhesh Narayan. Histoire des mathématiques hindoues. Bombay : Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. « Preuve critique pour fixer le lieu d’origine de Āryabhata ». Current Science 93(8) (octobre 2007) : 1177-1186. Consulté le 10 avril 2012.
• Ifrah, G. Une histoire universelle des nombres : De la préhistoire à l’invention de l’ordinateur. Londres : Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. « Naissance et développement précoce de l’astronomie indienne ». Dans Astronomy Across Cultures : The History of Non-Western Astronomy, édité par Helaine Selin. Boston, MA : Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. « Astronomie en Inde ». Dans Astronomy Before the Telescope, édité par C.B.F. Walker, 123-142. Londres : Publié pour les administrateurs du British Museum par British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Mathématiques et astronomie indiennes : Quelques points de repère. Bangalore, IN : Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata : Mathématicien et astronome indien. New Delhi : Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Early Astronomy. New York, NY : Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Tous les liens ont été récupérés le 25 novembre 2016.

• « Āryabhaṭa I » Narahari Achar, de Thomas Hockey et al. (eds.). L’encyclopédie biographique des astronomes, référence Springer. New York : Springer, 2007, p. 63
• John J. O’Connor et Edmund F. Robertson. Aryabhata aux archives de MacTutor.
• Aryabhata et le fils de Diophantus, chronique scientifique du Hindustan Times Storytelling, nov 2004.