Aryabhata

Aryabhatan patsas IUCAA:n alueella Punessa.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 jKr.E.) oli ensimmäinen intialaisen matematiikan ja tähtitieteen klassisen aikakauden suurten matemaatikkojen ja tähtitieteilijöiden joukossa. Hänen tunnetuimmat teoksensa ovat Aryabhatiya (499) ja Arya-Siddhanta.

Biografia

Aryabhata syntyi Narmadan ja Godavarin välissä sijaitsevalla alueella, joka tunnettiin nimellä Ashmaka ja joka nykyään samaistetaan Maharashtraan, vaikka varhaisissa buddhalaisteksteissä kuvataankin Ashmakan sijainneen kauempana etelässä, dakShiNApathissa eli Dekkana, kun taas taas taas toisissa teksteissä kuvataan, että Ashmakat taistelivat Aleksanteria vastaan, mikä asettaisi heidät pohjoisemmas. Toiset intialaiset perinteet väittävät, että hän oli kotoisin Keralasta ja että hän matkusti pohjoiseen, tai että hän oli Maga Brahmin Gujaratista.

On kuitenkin melko varmaa, että jossain vaiheessa hän meni Kusumapuraan korkeampiin opintoihin ja että hän asui täällä jonkin aikaa. Bhāskara I (629 jKr.) identifioi Kusumapuran Pataliputraksi (nykyinen Patna). Kusumapura tunnettiin myöhemmin toisena Intian kahdesta suuresta matemaattisesta keskuksesta (Ujjain oli toinen). Hän asui siellä Gupta-valtakunnan hupenevina vuosina, aikana, joka tunnetaan Intian kultakautena, kun se oli jo hunnien hyökkäyksen kohteena Koillis-Intiassa, Buddhaguptan ja joidenkin pienempien kuninkaiden ennen Vishnuguptan valtakautta. Pataliputra oli tuolloin Gupta-valtakunnan pääkaupunki, mikä teki siitä viestintäverkon keskuksen – tämä altisti sen asukkaat oppimiselle ja kulttuurille eri puolilta maailmaa ja helpotti Aryabhatan tieteellisten saavutusten leviämistä. Hänen työnsä tavoitti lopulta koko Intian ja islamilaisen maailman.

Hänen etunimensä ”Arya” on kunnioitusta osoittava termi, kuten ”Sri”, kun taas Bhata on tyypillinen pohjoisintialainen nimi – nykyään se esiintyy tavallisesti Biharin ”Bania”- eli kauppiasyhteisön keskuudessa.

Työt

Aryabhata on kirjoittanut useita matemaattisia ja tähtitiedettä käsitteleviä traktaatteja, joista jotkin ovat kadoksissa. Hänen pääteoksensa Aryabhatiya, matematiikan ja tähtitieteen kompendium, on ollut laajalti esillä Intian matemaattisessa kirjallisuudessa, ja se on säilynyt nykyaikaan asti.

Arya-siddhanta, kadonnut teos tähtitieteellisistä laskutoimituksista, tunnetaan Aryabhatian aikalaisen Varahamihiran kirjoitusten kautta sekä myöhempien matemaatikkojen ja kommentaattoreiden, kuten Brahmaguptan ja Bhaskara I:n, kautta. Tämä teos näyttää perustuvan vanhempaan Surya-siddhantaan, ja siinä käytetään keskiyön-päivän-takaisinkytkentää vastakohtana auringonnousun laskemiselle, joka on käytetty arya-siddhantassa. Se sisälsi myös kuvauksen useista tähtitieteellisistä välineistä, gnomonista (shanku-yantra), varjoinstrumentista (chhAyA-yantra), mahdollisesti kulmanmittauslaitteista, puoliympyrän ja ympyrän muotoisista (dhanur-yantra/chakra-yantra), sylinterimäisestä sauvasta yasti-yantrasta, sateenvarjon muotoisesta laitteesta nimeltä chhatra-yantra sekä ainakin kahdenlaisista, jousenmuotoisista ja sylinterimäisistä vesikelloista.

Kolmas teksti, joka on saattanut säilyä arabiankielisenä käännöksenä, on Al ntf tai Al-nanf, joka väittää olevansa Aryabhatan käännös, mutta tämän teoksen sanskritinkielistä nimeä ei tunneta. Se on todennäköisesti peräisin yhdeksänneltä vuosisadalta, ja sen mainitsee persialainen tutkija ja Intian kronikoitsija Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Suorat yksityiskohdat Aryabhatan teoksesta tunnetaan siis vain Aryabhatiyasta. Nimi Aryabhatiya on myöhempien kommentaattoreiden ansiota, Aryabhata ei ehkä itse ole antanut sille nimeä; hänen oppilaansa Bhaskara I viittaa siihen nimellä Ashmakatantra eli tutkielma Ashmakasta. Siihen viitataan toisinaan myös nimellä Arya-shatas-aShTa, kirjaimellisesti Aryabhatan 108, joka on tekstin säkeiden lukumäärä. Se on kirjoitettu sutrakirjallisuudelle tyypillisellä hyvin tiiviillä tyylillä, jossa jokainen rivi on apuväline monimutkaisen järjestelmän muistamiseen. Näin ollen merkityksen selittäminen kuuluu kommentaattoreille. Koko teksti koostuu 108 säkeestä sekä johdantojaksosta 13. Kokonaisuus on jaettu neljään pAdaan eli lukuun:

1. GitikApAda: (13 säkeistöä) Suuret aikakalpa-, manvantra- ja yuga-yksiköt, jotka esittävät kosmologian, joka poikkeaa aikaisemmista teksteistä, kuten Lagadhan Vedanga Jyotishasta (n. 1. vuosisata eKr.). Se sisältää myös sinitaulukon (jya), joka on esitetty yhdessä säkeessä. Yhden mahayugan aikana tapahtuvien planeettakierrosten lukumääräksi annetaan 4,32 miljoonaa vuotta.
2. GaNitapAda: (33 säkeistöä) Käsittelee mittaamista (kShetra vyAvahAra), aritmeettista ja geometrista etenemistä, gnomon/varjoja (shanku-chhAyA), yksinkertaisia, kvadraattisia, simultaanisia ja epämääräisiä yhtälöitä (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 jaetta) Erilaiset aikayksiköt ja menetelmä planeettojen sijainnin määrittämiseksi tiettynä päivänä. Välikuukautta (adhikamAsa) koskevat laskelmat, kShaya-tithit. Esitetään seitsemänpäiväinen viikko ja viikonpäivien nimet.
4. GolapAda: (50 säkeistöä) Taivaankehän geometriset/trigonometriset näkökohdat, ekliptikan piirteet, taivaan päiväntasaaja, solmu, maan muoto, päivän ja yön syy, eläinradan merkkien nousu horisonttiin jne.

Lisäksi joissakin versioissa mainitaan muutamia loppuun lisättyjä kolofoneja, joissa ylistetään teoksen hyveitä jne.

Aryabhatiya esitti säkeistömuodossa useita matematiikan ja tähtitieteen innovaatioita, jotka vaikuttivat monia vuosisatoja. Tekstin äärimmäistä lyhyyttä kehitettiin hänen oppilaansa Bhaskara I:n (Bhashya, n. 600) ja Nilakantha Somayajin kommentaareissa hänen Aryabhatiya Bhasyassaan (1465).

Matematiikka

Paikka-arvojärjestelmä ja nolla

Lukujen paikka-arvojärjestelmä, joka näkyi ensimmäisen kerran kolmannella vuosisadalla ilmestyneessä Bakhshali-käsikirjoituksessa, oli teoksessa selvästi esillä. Hän ei varmasti käyttänyt symbolia, mutta ranskalainen matemaatikko Georges Ifrah väittää, että tieto nollasta oli implisiittisesti mukana Aryabhatan paikka-arvojärjestelmässä nollakertoimisten kymmenpotenssien paikkamerkkinä.

Mutta Aryabhata ei käyttänyt brahmi-numeroita. Jatkaen vedaisten aikojen sanskriittista perinnettä hän käytti aakkosten kirjaimia numeroiden merkitsemiseen ja ilmaisi suureet (kuten sinitaulukon) muistinvaraisessa muodossa.

Pi irrationaalisena

Aryabhata työsti Piin approksimaatiota ( π ) ja saattoi tajuta, että π on irrationaalinen. Aryabhatiyamin toisessa osassa (gaṇitapāda 10) hän kirjoittaa:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

”Lisää neljä sataan, kerro kahdeksalla ja lisää sitten 62 000. Tällä säännöllä voidaan lähestyä halkaisijaltaan 20 000:n ympyrän kehää.”

Muilla sanoilla π {\displaystyle \pi} = ~ 62832/20000 = 3,1416, oikein viiden numeron tarkkuudella. Kommentoija Nilakantha Somayaji (Keralan koulukunta, 1400-luku) tulkitsee juuri ennen viimeistä sanaa esiintyvän sanan āsanna (lähestyvä) tarkoittavan, että kyseessä ei ole ainoastaan likimääräinen arvo, vaan että arvo on myös vertailukelvoton (tai irrationaalinen). Jos tämä pitää paikkansa, kyseessä on varsin hienostunut oivallus, sillä piin irrationaalisuus todistettiin Euroopassa vasta vuonna 1761 Lambertin toimesta.

Sen jälkeen, kun Aryabhatiya oli käännetty arabiaksi (n. 820 jKr.), tämä approksimaatio mainittiin Al-Khwarizmin algebraa käsittelevässä kirjassa.

Mensuuri ja trigonometria

Ganitapada 6:ssa Aryabhata antaa kolmion pinta-alan seuraavasti

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Tämä kääntyy seuraavasti: Kolmion pinta-ala on puolisivun kanssa kohtisuoran tulo.

Epämääräiset yhtälöt

Intialaisia matemaatikkoja muinaisista ajoista lähtien suuresti kiinnostanut ongelma on ollut löytää kokonaislukuisia ratkaisuja yhtälöille, jotka ovat muotoa ax + b = cy, aihe, joka on tullut tunnetuksi nimellä diofanttiyhtälöt. Tässä on esimerkki Bhaskaran kommentista Aryabhatiya:

Etsi luku, joka antaa jäännökseksi 5, kun se jaetaan 8:lla; jäännökseksi 4, kun se jaetaan 9:llä; ja jäännökseksi 1, kun se jaetaan 7:llä.

Tämähän tarkoittaa, että löydetään N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Osoittautuu, että N:n pienin arvo on 85. Yleensä diofanttiset yhtälöt voivat olla tunnetusti vaikeita. Tällaisia yhtälöitä käsiteltiin laajasti muinaisessa vedalaisessa tekstissä Sulba Sutras, jonka vanhimmat osat saattavat olla peräisin vuodelta 800 eKr. Aryabhatan menetelmä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi, jota kutsutaan kuṭṭaka (कूटटक) -menetelmäksi. Kuttaka tarkoittaa ”jauhamista” eli pieniin palasiin pilkkomista, ja menetelmään kuului rekursiivinen algoritmi alkuperäisten tekijöiden kirjoittamiseksi pienempien lukujen avulla. Nykyään tämä algoritmi,jonka Bhaskara kehitti vuonna 621 jKr, on vakiomenetelmä ensimmäisen kertaluvun diofanttisten yhtälöiden ratkaisemiseen, ja siihen viitataan usein nimellä Aryabhata-algoritmi.

Diofanttiset yhtälöt kiinnostavat kryptologiassa, ja RSA-konferenssissa vuonna 2006 keskityttiin kuttaka-menetelmään ja aikaisempaan työhön Sulvasutrassa.

Tähtitiede

Aryabhatan tähtitieteen järjestelmää kutsuttiin audAyaka-järjestelmäksi (päivät lasketaan udaysta, aamunkoitosta lankalla, päiväntasaajalla). Jotkin hänen myöhemmistä tähtitiedettä koskevista kirjoituksistaan, joissa ilmeisesti ehdotettiin toista mallia (ardha-rAtrikA, keskiyö), ovat kadonneet, mutta ne voidaan osittain rekonstruoida Brahmaguptan khanDakhAdyakassa esitetystä keskustelusta. Joissakin teksteissä hän näyttää liittävän taivaan näennäiset liikkeet maan pyörimiseen.

Aurinkokunnan liikkeet

Aryabhata näyttää uskoneen, että maa pyörii akselinsa ympäri. Tämä käy ilmi Lankaan viittaavasta lausumasta, jossa tähtien liikettä kuvataan maapallon pyörimisestä johtuvana suhteellisena liikkeenä: ”Niin kuin veneessä eteenpäin liikkuva mies näkee paikallaan olevien esineiden liikkuvan taaksepäin, aivan samoin lankassa (eli päiväntasaajalla) asuvat ihmiset näkevät paikallaan olevien tähtien liikkuvan täsmälleen länteen päin.”

Mutta seuraavassa säkeistössä kuvataan tähtien ja planeettojen liikettä todellisina liikkeinä: ”Niiden nousun ja laskun syy johtuu siitä, että asterismien ympyrä yhdessä planeettojen kanssa, joita suojelustuuli ajaa, liikkuu jatkuvasti Lankassa länteen päin.”

Lanka (kirjaimellisesti Sri Lanka) on tässä yhteydessä päiväntasaajalla sijaitseva vertailupiste, jota pidettiin tähtitieteellisten laskelmien vertailumeridiaania vastaavana.”

Aryabhata kuvasi aurinkokunnan geosentrisen mallin, jossa Aurinkoa ja Kuuta kumpikin kuljettaa episykliä, jotka vuorostaan pyörivät Maan ympäri. Tässä mallissa, joka esiintyy myös Paitāmahasiddhāntassa (n. 425 jKr.), planeettojen liikkeitä hallitsee kumpikin kaksi episykliä, pienempi manda-episykli (hidas episykli) ja suurempi śīghra-episykli (nopea episykli). Planeettojen järjestys maapallon etäisyyden suhteen on seuraava: Kuu, Merkurius, Venus, Aurinko, Mars, Jupiter, Saturnus ja asterismit.

Planeettojen sijainnit ja jaksot laskettiin suhteessa tasaisesti liikkuviin pisteisiin, jotka Merkuriuksen ja Venuksen tapauksessa liikkuvat maapallon ympäri samalla nopeudella kuin keskimääräinen Aurinko, ja Marsin, Jupiterin ja Saturnuksen tapauksessa liikkuvat maapallon ympäri tietyillä nopeuksilla, jotka edustavat kulloisenkin planeetan liikettä eläinradan läpi. Useimmat tähtitieteen historioitsijat katsovat, että tämä kahden epikylin malli heijastelee elementtejä Ptolemaiosta edeltävästä kreikkalaisesta tähtitieteestä. Aryabhatan mallin toista elementtiä, śīghroccaa, planeettojen perusjaksoa suhteessa Aurinkoon, jotkut historioitsijat pitävät merkkinä taustalla olevasta heliosentrisestä mallista.

Eklipsit

Aryabhata totesi, että Kuu ja planeetat loistavat heijastuneen auringonvalon avulla. Vallitsevan kosmogonian sijasta, jossa pimennykset aiheutuivat pseudoplaneettojen solmuista Rahu ja Ketu, hän selittää pimennykset maapallon heittämien ja maahan putoavien varjojen avulla. Niinpä kuunpimennys tapahtuu, kun kuu astuu maan varjoon (jae gola.37), ja hän keskustelee pitkään tämän maan varjon koosta ja laajuudesta (jakeet gola.38-48) ja sen jälkeen laskennasta sekä pimennyksen aikana pimenevän osan koosta. Myöhemmät intialaiset tähtitieteilijät paransivat näitä laskelmia, mutta hänen menetelmänsä muodostivat niiden ytimen. Tämä laskennallinen paradigma oli niin tarkka, että 1700-luvun tiedemies Guillaume le Gentil havaitsi Pondicherryssa vieraillessaan, että intialaiset laskelmat vuoden 1765-08-30 kuunpimennyksen kestosta olivat 41 sekuntia lyhyitä, kun taas hänen laskelmansa (Tobias Mayer, 1752) olivat 68 sekuntia pitkiä.

Aryabhatan laskelma maapallon ympärysmitan pituudesta oli 24 835 mailia, mikä oli vain 0,2 prosenttia pienempi kuin todellinen arvo 24 902 mailia. Tämä approksimaatio saattoi parantaa kreikkalaisen matemaatikon Eratostenesin (n. 200 eaa.) laskelmaa, jonka tarkkaa laskelmaa ei tunneta nykyajan yksiköissä.

Sidereaaliset ajanjaksot

Nykyaikaisissa englantilaisissa aikayksiköissä tarkasteltuna Aryabhata laski sidereaalisen kiertoajan (maapallon kierto kiintotähtiin nähden) 23 tunniksi, 56 minuutiksi ja 4,1 sekunniksi; nykyaikainen arvo on 23:56:4,091. Vastaavasti hänen arvonsa sideriaalisen vuoden pituudeksi 365 päivää 6 tuntia 12 minuuttia 30 sekuntia merkitsee 3 minuutin 20 sekunnin virhettä vuoden pituuteen nähden. Sideriajan käsite tunnettiin useimmissa muissa tuon ajan tähtitieteellisissä järjestelmissä, mutta tämä laskelma oli todennäköisesti aikakauden tarkin.

Heliosentrismi

Āryabhata väittää, että maapallo pyörii oman akselinsa ympäri, ja jotkin hänen planeettaepisyklisissä malleissaan olevat elementit pyörivät samalla nopeudella kuin planeetan liike Auringon ympäri. Tämä on antanut joillekin tulkitsijoille ymmärtää, että Āryabhatan laskelmat perustuivat taustalla olevaan heliosentriseen malliin, jossa planeetat kiertävät Aurinkoa. Yksityiskohtainen vastalause tälle heliosentriselle tulkinnalle on arvostelussa, jossa kuvataan B. L. van der Waerdenin kirjaa seuraavasti: ”osoittaa täydellisen väärinymmärryksen intialaisesta planeettateoriasta olevan jyrkästi ristiriidassa Āryabhatan kuvauksen jokaisen sanan kanssa”, vaikkakin jotkut myöntävät, että Āryabhatan järjestelmä juontaa juurensa aikaisemmasta heliosentrisestä mallista, josta hän ei ollut tietoinen. On jopa väitetty, että hän piti planeettojen ratoja elliptisinä, vaikka tästä ei ole esitetty ensisijaisia todisteita. Vaikka Aristarkhos Samoksen (kolmas vuosisata eaa.) ja joskus Heraklides Pontuksen (neljäs vuosisata eaa.) uskotaan yleensä tuntevan heliosentrisen teorian, muinaisessa Intiassa tunnetussa kreikkalaisen tähtitieteen versiossa, Paulisa Siddhantassa (mahdollisesti Aleksandrialaisen Paavalin laatimassa) ei viitata lainkaan heliosentriseen teoriaan.

Legenda

Aryabhatan teoksella oli suuri vaikutus intialaiseen tähtitieteelliseen perinteeseen, ja se vaikutti käännösten kautta useisiin naapurikulttuureihin. Erityisen vaikutusvaltainen oli islamin kultakaudella (n. 820) tehty arabialainen käännös. Al-Khwarizmi siteeraa joitakin hänen tuloksistaan, ja häneen viittaa kymmenennen vuosisadan arabialainen oppinut Al-Biruni, joka toteaa, että Āryabhatan seuraajat uskoivat Maan pyörivän akselinsa ympäri.

Hänen määritelmänsä sinille sekä kosinille (kojya), versiinille (ukramajya) ja käänteissinille (otkram jya) vaikuttivat trigonometrian syntyyn. Hän oli myös ensimmäinen, joka määritteli sini- ja versiinitaulukot (1-cosx) 3,75°:n välein 0°:n ja 90°:n välillä neljän desimaalin tarkkuudella.

Nykyaikaiset nimitykset ”sini” ja ”kosini” ovat itse asiassa Arjabhatan käyttöön ottamien sanojen jya ja kojya virheellinen transkriptio. Ne kirjoitettiin arabiaksi jiba ja kojiba. Gerard Cremonalainen tulkitsi ne sitten väärin kääntäessään arabialaista geometriatekstiä latinaksi; hän piti jibaa arabialaisena sanana jaib, joka tarkoittaa ”vaatteen poimua”, L. sinus (n. 1150).

Aryabhatan tähtitieteelliset laskentamenetelmät olivat myös hyvin vaikutusvaltaisia. Yhdessä trigonometristen taulukoiden kanssa ne tulivat laajalti käyttöön islamilaisessa maailmassa, ja niitä käytettiin monien arabialaisten tähtitieteellisten taulukoiden (zijes) laskemiseen. Erityisesti arabialaisen espanjalaisen tiedemiehen Al-Zarqalin (1100-luvulla) teoksessa olevat tähtitieteelliset taulukot käännettiin latinaksi nimellä Toledon taulukot (1200-luvulla), ja ne pysyivät vuosisatojen ajan Euroopassa käytetyimpänä tarkimpana efemerinä.

Aryabhatan ja hänen seuraajiensa laatimat kalenterilaskelmat ovat olleet jatkuvassa käytössä Intiassa Panchangan eli hindulaisen kalenterin vahvistamiseksi. Nämä laskelmat välitettiin myös islamilaiseen maailmaan, ja ne muodostivat perustan vuonna 1073 käyttöön otetulle Jalali-kalenterille, jonka otti käyttöön joukko tähtitieteilijöitä, joihin kuului myös Omar Khayyam, ja jonka versiot (joita muutettiin vuonna 1925) ovat nykyisin Iranissa ja Afganistanissa käytössä olevia kansallisia kalentereita. Jalali-kalenteri määrittää päivämääränsä todellisen auringon läpikulun perusteella, kuten Aryabhata-kalenterissa (ja aiemmissa Siddhanta-kalentereissa). Vaikka päivämäärien laskeminen oli vaikeaa, kausivirheet olivat Jalali-kalenterissa pienempiä kuin gregoriaanisessa kalenterissa.

Sitaatti

Bhaskara I kirjoitti Aryabhatiyan kommenttina (kirjoitettu noin sata vuotta sen julkaisemisen jälkeen): ”Aryabhata on mestari, joka saavutettuaan matematiikan, kinematiikan ja sfäärin perimmäisen tietämyksen meren kaukaisimmat rannat ja luodattuaan sen syvimmät syvyydet luovutti nämä kolme tiedettä oppineelle maailmalle.”

Nimetty hänen kunniakseen

• Intian ensimmäinen satelliitti Aryabhata, nimettiin hänen mukaansa.
• Kuukraatteri Aryabhata on nimetty hänen kunniakseen.
• Koulujen välinen Aryabhata-matematiikkakilpailu on nimetty hänen mukaansa.

Notes

• Cooke, Roger. Matematiikan historia: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: Ancient An Indian Work on Mathematics and Astronomy. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, and Singh Avadhesh Narayan. Hindulaisen matematiikan historia. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. ”Kriittisiä todisteita Āryabhatan syntymäpaikan määrittämiseksi”. Current Science 93(8) (lokakuu 2007): 1177-1186. Haettu 10. huhtikuuta 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: Esihistoriasta tietokoneen keksimiseen. London: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. ”Intian tähtitieteen synty ja varhainen kehitys”. Teoksessa Astronomy Across Cultures: The History of Non-Western Astronomy, toimittanut Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. ”Tähtitiede Intiassa.” Teoksessa Astronomy Before the Telescope, toimittanut C.B.F. Walker, 123-142. London: Published for the Trustees of the British Museum by British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Varhainen tähtitiede. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Kaikki linkit haettu 25.11.2016.

• ”Āryabhaṭa I” Narahari Achar, lähteestä Thomas Hockey et al. (toim.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, s. 63
• John J. O’Connor ja Edmund F. Robertson. Aryabhata MacTutor-arkistossa.
• Aryabhata ja Diophantoksen poika, Hindustan Times Storytelling Science -palsta, marraskuu 2004.