Aryabhata

Statue af Aryabhata på IUCAA’s område i Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 C.E.) var den første i rækken af store matematiker-astronomer fra den klassiske indiske matematiks og indiske astronomis klassiske tidsalder. Hans mest berømte værker er Aryabhatiya (499) og Arya-Siddhanta.

Biografi

Aryabhata blev født i regionen, der ligger mellem Narmada og Godavari, som var kendt som Ashmaka og nu identificeres med Maharashtra, selvom tidlige buddhistiske tekster beskriver Ashmaka som værende længere sydpå, dakShiNApath eller Deccan, mens endnu andre tekster beskriver Ashmakaerne som havende kæmpet mod Alexander, hvilket ville placere dem længere mod nord. Andre traditioner i Indien hævder, at han var fra Kerala, og at han rejste mod nord, eller at han var en Maga Brahmin fra Gujarat.

Det er dog ret sikkert, at han på et tidspunkt tog til Kusumapura for at tage højere studier, og at han boede her i nogen tid. Bhāskara I (629 e.Kr.) identificerer Kusumapura som Pataliputra (det moderne Patna). Kusumapura blev senere kendt som et af to store matematiske centre i Indien (Ujjain var det andet). Han levede der i de aftagende år af Gupta-imperiet, den tid, der er kendt som Indiens guldalder, da det allerede var under angreb fra hunnerne i nordøst, under Buddhagupta og nogle af de mindre konger før Vishnugupta. Pataliputra var på det tidspunkt hovedstad i Gupta-imperiet, hvilket gjorde det til centrum for kommunikationsnetværket – dette udsatte befolkningen for lærdom og kultur fra hele verden og gjorde det lettere for Aryabhata at sprede eventuelle videnskabelige fremskridt. Hans arbejde nåede efterhånden ud over hele Indien og ind i den islamiske verden.

Hans fornavn, “Arya”, er et udtryk for respekt, såsom “Sri”, mens Bhata er et typisk nordindisk navn – i dag findes det normalt blandt “Bania”-samfundet (eller handelsfolket) i Bihar.

Værker

Aryabhata er forfatter til flere afhandlinger om matematik og astronomi, hvoraf nogle er gået tabt. Hans hovedværk, Aryabhatiya, et kompendium om matematik og astronomi, blev der i stor udstrækning henvist til i den indiske matematiske litteratur, og det har overlevet til moderne tid.

Arya-siddhanta, et tabt værk om astronomiske beregninger, er kendt gennem skrifter af Aryabhatas samtidige Varahamihira samt gennem senere matematikere og kommentatorer, herunder Brahmagupta og Bhaskara I. Dette værk synes at være baseret på det ældre Surya Siddhanta og anvender midnat-dagsregning, i modsætning til solopgang i Aryabhatiya. Det indeholdt også en beskrivelse af flere astronomiske instrumenter, gnomonet (shanku-yantra), et skyggeinstrument (chhAyA-yantra), muligvis vinkelmåleapparater, halvcirkel- og cirkelformede (dhanur-yantra/chakra-yantra), en cylindrisk pind yasti-yantra, et paraplyformet apparat kaldet chhatra-yantra, og vandure af mindst to typer, bueformede og cylindriske.

En tredje tekst, der muligvis har overlevet i arabisk oversættelse, er Al ntf eller Al-nanf, som hævder at være en oversættelse af Aryabhata, men sanskritnavnet på dette værk er ukendt. Det stammer sandsynligvis fra det niende århundrede og nævnes af den persiske lærde og krønikeskriver af Indien, Abū Rayhān al-Bīrūnī.

Aryabhatiya

Direkte detaljer om Aryabhatas værk kendes derfor kun fra Aryabhatiya. Navnet Aryabhatiya skyldes senere kommentatorer, Aryabhata selv har muligvis ikke givet det et navn; det omtales af hans discipel, Bhaskara I, som Ashmakatantra eller afhandlingen fra Ashmaka. Den omtales også lejlighedsvis som Arya-shatas-aShTa, bogstaveligt talt Aryabhata’s 108, hvilket er antallet af vers i teksten. Den er skrevet i den meget kortfattede stil, der er typisk for sutra-litteraturen, hvor hver linje er en hjælp til hukommelsen for et komplekst system. Det er således kommentatorerne, der har ansvaret for forklaringen af betydningen. Hele teksten består af 108 vers plus et indledende 13 vers, og det hele er inddelt i fire pAdas eller kapitler:

1. GitikApAda: (13 vers) Store tidsenheder – kalpa, manvantra, yuga, som præsenterer en kosmologi, der adskiller sig fra tidligere tekster som Lagadhas Vedanga Jyotisha (ca. første århundrede f.Kr.). Den indeholder også en tabel over sines (jya), der er givet i et enkelt vers. For de planetariske omdrejninger i løbet af en mahayuga er der angivet et antal på 4,32mn år.
2. GaNitapAda: (33 vers) Dækker mensurering (kShetra vyAvahAra), aritmetiske og geometriske progressioner, gnomon/skygger (shanku-chhAyA), simple, kvadratiske, simultane og ubestemte ligninger (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 vers) Forskellige tidsenheder og metode til bestemmelse af planeternes positioner for en given dag. Beregninger vedrørende den intercalære måned (adhikamAsa), kShaya-tithis. Præsenterer en syv-dages uge, med navne for ugedagene.
4. GolapAda: (50 vers) Geometriske/trigonometriske aspekter af himmelsfæren, træk ved ekliptika, himmelekvator, knudepunkt, jordens form, årsag til dag og nat, zodiakaltegns opstigning i horisonten osv.

Dertil kommer, at nogle versioner nævner et par kolofoner, der er tilføjet i slutningen, og som roser værkets dyder osv.

Aryabhatiya præsenterede en række nyskabelser inden for matematik og astronomi i versform, som fik indflydelse i mange århundreder. Tekstens ekstreme kortfattethed blev uddybet i kommentarer af hans discipel Bhaskara I (Bhashya, ca. 600) og af Nilakantha Somayaji i hans Aryabhatiya Bhasya (1465).

Matematik

Placeringssystem og nul

Tallets placeringssystem, som først sås i Bakhshali-manuskriptet fra det tredje århundrede, var tydeligt på plads i hans værk. Han brugte bestemt ikke symbolet, men den franske matematiker Georges Ifrah hævder, at kendskabet til nul var implicit i Aryabhatas pladsværdisystem som en pladsholder for ti-pulserne med nulkoefficienter.

Derimod brugte Aryabhata ikke brahmi-tallene. I fortsættelse af den sanskritiske tradition fra vedisk tid brugte han bogstaver i alfabetet til at betegne tal og udtrykte mængder (såsom sinustabellen) i en mnemoteknisk form.

Pi som irrationel

Aryabhata arbejdede på tilnærmelsen til Pi ( π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }), og kan have indset, at π {\displaystyle \pi }{\displaystyle \pi } er irrationel. I den anden del af Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10) skriver han:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

“Læg fire til 100, multiplicer med otte og læg derefter 62.000 til. Ved hjælp af denne regel kan man nærme sig omkredsen af en cirkel med en diameter på 20.000.”

Med andre ord, π {\displaystyle \pi } = ~ 62832/20000 = 3,1416, korrekt med fem cifre. Kommentatoren Nilakantha Somayaji (Kerala-skolen, 15. århundrede) fortolker ordet āsanna (nærmer sig), der står lige før det sidste ord, som om det ikke kun er en tilnærmelse, men også at værdien er inkommensurabel (eller irrationel). Hvis dette er korrekt, er det en ganske sofistikeret indsigt, for pi’s irrationalitet blev først bevist i Europa i 1761, af Lambert.

Efter at Aryabhatiya blev oversat til arabisk (ca. 820 e.Kr.), blev denne tilnærmelse nævnt i Al-Khwarizmis bog om algebra.

Mensurering og trigonometri

I Ganitapada 6 giver Aryabhata arealet af en trekant som

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Det kan oversættes til: For en trekant er resultatet af en vinkelret med halvsiden arealet.

Ubestemte ligninger

Et problem af stor interesse for indiske matematikere siden oldtiden har været at finde heltalsløsninger til ligninger, der har formen ax + b = cy, et emne, der er blevet kendt som diophantinske ligninger. Her er et eksempel fra Bhaskaras kommentar til Aryabhatiya:

Find det tal, der giver 5 som rest, når det divideres med 8; 4 som rest, når det divideres med 9; og 1 som rest, når det divideres med 7.

Det vil sige, find N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Det viser sig, at den mindste værdi for N er 85. Generelt kan diofantinske ligninger være notorisk vanskelige. Sådanne ligninger blev behandlet udførligt i den gamle vediske tekst Sulba Sutras, hvis ældste dele kan dateres tilbage til 800 f.Kr. Aryabhatas metode til løsning af sådanne problemer, kaldet kuṭṭaka (कूटटटक)-metoden. Kuttaka betyder “pulverisering”, dvs. at bryde i små stykker, og metoden involverede en rekursiv algoritme til at skrive de oprindelige faktorer i form af mindre tal. I dag er denne algoritme,som uddybet af Bhaskara i 621 e.Kr, er standardmetoden til løsning af første ordens diophantinske ligninger, og den kaldes ofte Aryabhata-algoritmen.

De diophantinske ligninger er af interesse inden for kryptologi, og på RSA-konferencen i 2006 blev der fokuseret på kuttaka-metoden og tidligere arbejde i Sulvasutraerne.

Astronomi

Aryabhatas system for astronomi blev kaldt audAyaka-systemet (dage regnes fra uday, daggry ved lanka, ækvator). Nogle af hans senere skrifter om astronomi, som tilsyneladende foreslog en anden model (ardha-rAtrikA, midnat), er gået tabt, men kan delvist rekonstrueres ud fra diskussionen i Brahmagupta’s khanDakhAdyaka. I nogle tekster synes han at tilskrive himlens tilsyneladende bevægelser til jordens rotation.

Bevægelser i solsystemet

Aryabhata synes at have troet, at jorden roterer om sin akse. Dette fremgår tydeligt af udsagnet, der henviser til Lanka, og som beskriver stjernernes bevægelse som en relativ bevægelse forårsaget af jordens rotation: “Ligesom en mand i en båd, der bevæger sig fremad, ser de stationære genstande som bevægende sig bagud, på samme måde ses de stationære stjerner af folk i lankA (dvs. på ækvator) som bevægende præcis mod vest.”

Men i det næste vers beskrives stjernernes og planeternes bevægelse som reelle bevægelser: “Årsagen til deres op- og nedgang skyldes, at cirklen af asterismer sammen med planeterne, drevet af beskyttende vind, konstant bevæger sig vestpå ved Lanka.”

Lanka (bogstaveligt talt Sri Lanka) er her et referencepunkt på ækvator, der blev taget som det tilsvarende til referencemeridianen for astronomiske beregninger.”

Aryabhata beskrev en geocentrisk model af solsystemet, hvor Solen og Månen hver især bæres af epicyklusser, der igen drejer rundt om Jorden. I denne model, som også findes i Paitāmahasiddhānta (ca. 425 e.Kr.), er planeternes bevægelser hver især styret af to epicyklusser, en mindre manda (langsom) epicykel og en større śīghra (hurtig) epicykel. Planeternes rækkefølge i forhold til afstanden fra jorden er taget som følger: Månen, Merkur, Venus, Solen, Mars, Jupiter, Saturn og asterismerne.

Planeternes positioner og perioder blev beregnet i forhold til ensartet bevægelige punkter, som for Merkurs og Venus’ vedkommende bevæger sig rundt om Jorden med samme hastighed som den gennemsnitlige Sol og for Mars, Jupiter og Saturns vedkommende bevæger sig rundt om Jorden med bestemte hastigheder, der repræsenterer hver planets bevægelse gennem dyrekredsen. De fleste astronomihistorikere mener, at denne model med to epicyklusser afspejler elementer fra den græske astronomi fra før ptolemæisk tid. Et andet element i Aryabhatas model, śīghrocca, den grundlæggende planetperiode i forhold til Solen, ses af nogle historikere som et tegn på en underliggende heliocentrisk model.

Eklip

Aryabhata udtalte, at Månen og planeterne skinner ved reflekteret sollys. I stedet for den fremherskende kosmogoni, hvor formørkelser blev forårsaget af de pseudoplanetariske knudepunkter Rahu og Ketu, forklarer han formørkelser i form af skygger, der kastes af og falder på jorden. Således opstår måneformørkelsen, når månen træder ind i jordens skygge (vers gola.37), og diskuterer udførligt størrelsen og omfanget af denne jordskygge (vers gola.38-48), og derefter beregningen, og størrelsen af den formørkede del under formørkelser. Senere indiske astronomer forbedrede disse beregninger, men hans metoder udgjorde kernen. Dette beregningsparadigme var så nøjagtigt, at videnskabsmanden Guillaume le Gentil fra det 18. århundrede under et besøg i Pondicherry fandt, at de indiske beregninger af varigheden af måneformørkelsen 1765-08-30 var korte med 41 sekunder, mens hans diagrammer (Tobias Mayer, 1752) var lange med 68 sekunder.

Aryabhatas beregning af Jordens omkreds var 24.835 miles, hvilket kun var 0,2 procent mindre end den faktiske værdi på 24.902 miles. Denne tilnærmelse kan have forbedret den græske matematiker Eratosthenes’ (ca. 200 f.Kr.) beregning, hvis nøjagtige beregning ikke kendes i moderne enheder.

Siderealperioder

Med hensyn til moderne engelske tidsenheder beregnede Aryabhata den sidereale rotation (jordens rotation i forhold til de faste stjerner) som 23 timer 56 minutter og 4,1 sekunder; den moderne værdi er 23:56:4,091. På samme måde er hans værdi for længden af det sideriske år på 365 dage, 6 timer og 12 minutter og 30 sekunder en fejl på 3 minutter og 20 sekunder i forhold til længden af et år. Begrebet om siderisk tid var kendt i de fleste andre astronomiske systemer på den tid, men denne beregning var sandsynligvis den mest præcise i perioden.

Heliocentrisme

Āryabhata hævder, at Jorden drejer om sin egen akse, og nogle elementer i hans planetariske epicykliske modeller roterer med samme hastighed som planetens bevægelse omkring Solen. Dette har for nogle fortolkere antydet, at Āryabhata’s beregninger var baseret på en underliggende heliocentrisk model, hvor planeterne kredser om Solen. En detaljeret tilbagevisning af denne heliocentriske fortolkning findes i en anmeldelse, der beskriver B. L. van der Waerdens bog som “viser en fuldstændig misforståelse af indisk planetteori, der er blankt modsagt af hvert eneste ord i Āryabhatas beskrivelse”, selv om nogle indrømmer, at Āryabhatas system stammer fra en tidligere heliocentrisk model, som han ikke var klar over. Det er endda blevet hævdet, at han anså planeternes baner for at være elliptiske, selv om der ikke er blevet citeret nogen primære beviser for dette. Selv om Aristarchos af Samos (tredje århundrede f.Kr.) og undertiden Heraklides af Pontus (fjerde århundrede f.Kr.) normalt krediteres for at kende den heliocentriske teori, indeholder den version af græsk astronomi, der er kendt i det gamle Indien, Paulisa Siddhanta (muligvis af en Paulus af Alexandria), ingen henvisning til en heliocentrisk teori.

Legacy

Aryabhatas værk havde stor indflydelse på den indiske astronomiske tradition og påvirkede flere nabokulturer gennem oversættelser. Den arabiske oversættelse under den islamiske guldalder (ca. 820), var særligt indflydelsesrig. Nogle af hans resultater citeres af Al-Khwarizmi, og han omtales af den arabiske lærde Al-Biruni fra det 10. århundrede, som anfører, at Āryabhatas tilhængere mente, at Jorden roterer om sin akse.

Hans definitioner af sinus samt cosinus (kojya), versinus (ukramajya),og omvendt sinus (otkram jya), havde indflydelse på trigonometriens fødsel. Han var også den første til at specificere sinus og versinus (1-cosx) tabeller, i 3,75° intervaller fra 0° til 90° med en nøjagtighed på 4 decimaler.

Faktisk er de moderne navne “sinus” og “cosinus,” en fejltransskription af ordene jya og kojya som indført af Aryabhata. De blev transskriberet som jiba og kojiba på arabisk. De blev derefter fejlfortolket af Gerard af Cremona, da han oversatte en arabisk geometritekst til latin; han tog jiba for at være det arabiske ord jaib, som betyder “fold i et klæde”, L. sinus (ca. 1150).

Aryabhatas astronomiske beregningsmetoder havde også stor indflydelse. Sammen med de trigonometriske tabeller kom de til at blive udbredt i den islamiske verden, og de blev brugt til at beregne mange arabiske astronomiske tabeller (zijes). Især de astronomiske tabeller i den arabiske spanske videnskabsmand Al-Zarqalis værk (11. århundrede) blev oversat til latin som Toledo-tabellerne (12. århundrede) og forblev i århundreder den mest nøjagtige ephemeride, der blev brugt i Europa.

Kalendariske beregninger udarbejdet af Aryabhata og tilhængere har været i kontinuerlig brug i Indien til det praktiske formål at fastsætte Panchanga, eller hindukalenderen, Disse blev også overført til den islamiske verden og dannede grundlag for Jalali-kalenderen, der blev indført i 1073 af en gruppe astronomer, herunder Omar Khayyam, og hvis versioner (ændret i 1925) er de nationale kalendere, der anvendes i Iran og Afghanistan i dag. Jalali-kalenderen fastsætter sine datoer på grundlag af den faktiske solpassage, som i Aryabhata-kalenderen (og tidligere Siddhanta-kalendere). Denne type kalender kræver en efemeris til at beregne datoerne, og selv om datoerne var vanskelige at beregne, var årstidsfejlene mindre i Jalali-kalenderen end i den gregorianske kalender.

Citat

Som kommentar til Aryabhatiya (skrevet omkring et århundrede efter dens udgivelse) skrev Bhaskara I: “Aryabhata er den mester, der efter at have nået de fjerneste kyster og udforsket de inderste dybder af havet af ultimativ viden om matematik, kinematik og sfærik, overdrog de tre videnskaber til den lærde verden.”

Navnet til hans ære

• Indien’s første satellit Aryabhata, blev opkaldt efter ham.
• Månekrateret Aryabhata er opkaldt til hans ære.
• Matematikkonkurrencen mellem skolerne Aryabhata er opkaldt efter ham.

Noter

• Cooke, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, og Singh Avadhesh Narayan. History of Hindu Mathematics. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 818605050868
• Hari, K. Chandra. “Critical evidence to fix the native place of Āryabhata”. Current Science 93(8) (oktober 2007): 1177-1186. Hentet den 10. april 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers (En universel historie om tal): Fra forhistorien til computerens opfindelse. London: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324324X
• Kak, Subhash C. “Birth and Early Development of Indian Astronomy.” In Astronomy Across Cultures: The History of Non-Western Astronomy, redigeret af Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 079236363639
• Pingree, David. “Astronomi i Indien.” I Astronomy Before the Telescope, redigeret af C.B.F. Walker, 123-142. London: Udgivet for Trustees of the British Museum af British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Early Astronomy. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Alle links hentet den 25. november 2016.

• “Āryabhaṭa I” Narahari Achar, fra Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, s. 63
• John J. O’Connor og Edmund F. Robertson. Aryabhata på MacTutor-arkivet.
• Aryabhata og Diophantus’ søn, Hindustan Times Storytelling Science-kolonne, nov. 2004.