Aryabhata

Statue von Aryabhata auf dem Gelände der IUCAA, Pune.

Āryabhaṭa (Devanāgarī: आर्यभट) (476 – 550 C.E.) war der erste in der Reihe der großen Mathematiker-Astronomen aus dem klassischen Zeitalter der indischen Mathematik und der indischen Astronomie. Seine berühmtesten Werke sind das Aryabhatiya (499) und das Arya-Siddhanta.

Biographie

Aryabhata wurde in der Region zwischen Narmada und Godavari geboren, die als Ashmaka bekannt war und heute mit Maharashtra identifiziert wird, obwohl frühe buddhistische Texte Ashmaka als weiter südlich, dakShiNApath oder den Deccan, beschreiben, während noch andere Texte die Ashmakas als Kämpfer gegen Alexander beschreiben, was sie weiter nördlich ansiedeln würde. Andere Überlieferungen in Indien behaupten, dass er aus Kerala stammte und in den Norden reiste, oder dass er ein Maga-Brahmane aus Gujarat war.

Es ist jedoch ziemlich sicher, dass er irgendwann nach Kusumapura ging, um höhere Studien zu betreiben, und dass er hier eine Zeit lang lebte. Bhāskara I. (629 n. Chr.) identifiziert Kusumapura als Pataliputra (modernes Patna). Kusumapura war später als eines der beiden großen mathematischen Zentren in Indien bekannt (das andere war Ujjain). Er lebte dort in den schwindenden Jahren des Gupta-Reiches, der Zeit, die als das goldene Zeitalter Indiens bekannt ist, als es im Nordosten bereits von den Hunnen angegriffen wurde, während der Herrschaft von Buddhagupta und einigen der kleineren Könige vor Vishnugupta. Pataliputra war zu dieser Zeit die Hauptstadt des Gupta-Reiches und damit das Zentrum eines Kommunikationsnetzes, das die Bevölkerung mit Wissen und Kultur aus der ganzen Welt in Kontakt brachte und die Verbreitung der wissenschaftlichen Fortschritte von Aryabhata erleichterte. Seine Arbeit erreichte schließlich ganz Indien und die islamische Welt.

Sein Vorname „Arya“ ist ein Begriff, der für Respekt verwendet wird, wie z.B. „Sri“, während „Bhata“ ein typischer nordindischer Name ist, den man heute meist in der „Bania“-Gemeinschaft (oder Händler) in Bihar findet.

Werke

Aryabhata ist der Autor mehrerer Abhandlungen über Mathematik und Astronomie, von denen einige verloren sind. Sein Hauptwerk, Aryabhatiya, ein Kompendium der Mathematik und Astronomie, wurde in der indischen mathematischen Literatur ausgiebig zitiert und ist bis in die Neuzeit erhalten geblieben.

Das Arya-siddhanta, ein verschollenes Werk über astronomische Berechnungen, ist durch die Schriften von Aryabhatas Zeitgenossen Varahamihira sowie durch spätere Mathematiker und Kommentatoren wie Brahmagupta und Bhaskara I. bekannt. Dieses Werk scheint auf dem älteren Surya Siddhanta zu beruhen und verwendet die Mitternachts-Tag-Rechnung im Gegensatz zum Sonnenaufgang im Aryabhatiya. Es enthält auch eine Beschreibung mehrerer astronomischer Instrumente, des Gnomons (shanku-yantra), eines Schatteninstruments (chhAyA-yantra), möglicherweise Winkelmessgeräte, halbkreis- und kreisförmig (dhanur-yantra/chakra-yantra), einen zylindrischen Stab yasti-yantra, ein schirmförmiges Gerät namens chhatra-yantra und Wasseruhren von mindestens zwei Typen, bogenförmig und zylindrisch.

Ein dritter Text, der möglicherweise in arabischer Übersetzung überlebt hat, ist das Al ntf oder Al-nanf, das behauptet, eine Übersetzung von Aryabhata zu sein, aber der Sanskrit-Name dieses Werkes ist nicht bekannt. Wahrscheinlich aus dem neunten Jahrhundert stammend, wird es von dem persischen Gelehrten und Chronisten Indiens, Abū Rayhān al-Bīrūnī, erwähnt.

Aryabhatiya

Direkte Einzelheiten über Aryabhatas Werk sind daher nur aus dem Aryabhatiya bekannt. Der Name Aryabhatiya ist späteren Kommentatoren zu verdanken, Aryabhata selbst hat ihm möglicherweise keinen Namen gegeben; sein Schüler Bhaskara I. bezeichnet es als Ashmakatantra oder die Abhandlung aus dem Ashmaka. Gelegentlich wird es auch als Arya-shatas-aShTa bezeichnet, wörtlich Aryabhata’s 108, was der Anzahl der Verse des Textes entspricht. Es ist in dem für die Sutra-Literatur typischen, sehr knappen Stil geschrieben, in dem jede Zeile eine Gedächtnisstütze für ein komplexes System ist. Die Erläuterung der Bedeutung obliegt daher den Kommentatoren. Der gesamte Text besteht aus 108 Versen, plus 13 einleitenden Versen, wobei das Ganze in vier pAdas oder Kapitel unterteilt ist:

1. GitikApAda: (13 Verse) Große Zeiteinheiten – Kalpa, Manvantra, Yuga -, die eine Kosmologie darstellen, die sich von früheren Texten wie dem Vedanga Jyotisha von Lagadha (ca. erstes Jahrhundert v. Chr.) unterscheidet. Es enthält auch die Tabelle der Sinus (jya), die in einem einzigen Vers wiedergegeben wird. Für die Planetenumläufe während eines Mahayugas wird die Zahl von 4,32 Millionen Jahren angegeben.
2. GaNitapAda: (33 Verse) Behandelt die Mensuration (kShetra vyAvahAra), arithmetische und geometrische Progressionen, Gnomon/Schatten (shanku-chhAyA), einfache, quadratische, simultane und unbestimmte Gleichungen (kuTTaka)
3. KAlakriyApAda: (25 Verse) Verschiedene Zeiteinheiten und Methode zur Bestimmung der Positionen der Planeten für einen bestimmten Tag. Berechnungen bezüglich des Schaltmonats (adhikamAsa), kShaya-tithis. Stellt eine Sieben-Tage-Woche vor, mit Namen für die Wochentage.
4. GolapAda: (50 Verse) Geometrische/trigonometrische Aspekte der Himmelskugel, Merkmale der Ekliptik, Himmelsäquator, Knoten, Form der Erde, Ursache von Tag und Nacht, Aufgang der Tierkreiszeichen am Horizont usw.

In einigen Versionen werden außerdem einige am Ende hinzugefügte Kolophone zitiert, in denen die Tugenden des Werkes gepriesen werden usw.

Das Aryabhatiya präsentierte eine Reihe von Neuerungen in der Mathematik und Astronomie in Versform, die für viele Jahrhunderte einflussreich waren. Die extreme Kürze des Textes wurde in den Kommentaren seines Schülers Bhaskara I. (Bhashya, ca. 600) und von Nilakantha Somayaji in seinem Aryabhatiya Bhasya (1465) ausgearbeitet.

Mathematik

Platzwertsystem und Null

Das Platzwertsystem für Zahlen, das erstmals im Bakhshali-Manuskript aus dem dritten Jahrhundert auftaucht, war in seinem Werk eindeutig vorhanden. Er benutzte das Symbol zwar nicht, aber der französische Mathematiker Georges Ifrah argumentiert, dass das Wissen um die Null in Aryabhatas Platzwertsystem als Platzhalter für die Zehnerpotenzen mit Nullkoeffizienten implizit vorhanden war.

Allerdings benutzte Aryabhata nicht die Brahmi-Zahlen. In Fortführung der sanskritischen Tradition aus vedischer Zeit benutzte er Buchstaben des Alphabets, um Zahlen zu bezeichnen und Mengen (wie die Sinustafel) in mnemotechnischer Form auszudrücken.

Pi als irrational

Aryabhata arbeitete an der Näherung für Pi ( π {\displaystyle \pi } ), und erkannte möglicherweise, dass π {\displaystyle \pi } irrational ist. Im zweiten Teil des Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10) schreibt er:

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.

„Addiere vier zu 100, multipliziere mit acht und addiere dann 62.000. Mit dieser Regel kann man sich dem Umfang eines Kreises von 20.000 Durchmesser nähern.“

Mit anderen Worten: π {\displaystyle \pi } = ~ 62832/20000 = 3,1416, korrekt auf fünf Stellen. Der Kommentator Nilakantha Somayaji (Kerala-Schule, 15. Jahrhundert) interpretiert das Wort āsanna (annähernd), das kurz vor dem letzten Wort steht, so, dass es sich nicht nur um einen Näherungswert handelt, sondern dass der Wert inkommensurabel (oder irrational) ist. Wenn dies richtig ist, handelt es sich um eine ziemlich ausgeklügelte Einsicht, denn die Irrationalität von Pi wurde in Europa erst 1761 von Lambert bewiesen.

Nachdem Aryabhatiya ins Arabische übersetzt wurde (ca. 820 n. Chr.), wurde diese Annäherung in Al-Khwarizmi’s Buch über Algebra erwähnt.

Mensur und Trigonometrie

In Ganitapada 6 gibt Aryabhata die Fläche eines Dreiecks an als

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

Das bedeutet übersetzt: Für ein Dreieck ist das Ergebnis einer Senkrechten auf die halbe Seite die Fläche.

Unbestimmte Gleichungen

Ein Problem, das indische Mathematiker seit der Antike sehr interessiert, ist die Suche nach ganzzahligen Lösungen für Gleichungen der Form ax + b = cy, ein Thema, das als diophantische Gleichungen bekannt geworden ist. Hier ein Beispiel aus Bhaskaras Kommentar zu Aryabhatiya:

Finde die Zahl, die 5 als Rest ergibt, wenn sie durch 8 geteilt wird; 4 als Rest, wenn sie durch 9 geteilt wird; und 1 als Rest, wenn sie durch 7 geteilt wird.

Das heißt, finde N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Es stellt sich heraus, dass der kleinste Wert für N 85 ist. Im Allgemeinen können diophantische Gleichungen notorisch schwierig sein. Solche Gleichungen wurden ausführlich in den alten vedischen Texten der Sulba Sutras behandelt, deren älteste Teile möglicherweise auf 800 v. Chr. zurückgehen. Aryabhata’s Methode zur Lösung solcher Probleme wird kuṭṭaka (कूटटक) Methode genannt. Kuttaka bedeutet „pulverisieren“, d. h. in kleine Stücke brechen, und die Methode beinhaltete einen rekursiven Algorithmus zum Schreiben der ursprünglichen Faktoren in Form kleinerer Zahlen. Heute ist dieser Algorithmus, wie er von Bhaskara im Jahr 621 n. Chr. entwickelt wurde, Heute ist dieser Algorithmus, wie er von Bhaskara im Jahr 621 v. Chr. entwickelt wurde, die Standardmethode zur Lösung diophantischer Gleichungen erster Ordnung und wird oft als Aryabhata-Algorithmus bezeichnet.

Die diophantischen Gleichungen sind in der Kryptologie von Interesse, und die RSA-Konferenz 2006 befasste sich mit der Kuttaka-Methode und früheren Arbeiten in den Sulvasutras.

Astronomie

Aryabhata’s System der Astronomie wurde das audAyaka-System genannt (Tage werden vom uday, der Morgendämmerung am lanka, dem Äquator, gerechnet). Einige seiner späteren Schriften zur Astronomie, die offenbar ein zweites Modell (ardha-rAtrikA, Mitternacht) vorschlugen, sind verloren, können aber teilweise aus der Diskussion in Brahmaguptas khanDakhAdyaka rekonstruiert werden. In einigen Texten scheint er die scheinbaren Bewegungen des Himmels der Erdrotation zuzuschreiben.

Bewegungen des Sonnensystems

Aryabhata scheint geglaubt zu haben, dass sich die Erde um ihre Achse dreht. Dies wird in der Aussage deutlich, die sich auf Lanka bezieht und die Bewegung der Sterne als eine relative Bewegung beschreibt, die durch die Rotation der Erde verursacht wird: „Wie ein Mann in einem Boot, das sich vorwärts bewegt, die stationären Objekte als rückwärts bewegend sieht, so werden die stationären Sterne von den Menschen in lankA (d.h. am Äquator) als genau nach Westen bewegend gesehen.“

Der nächste Vers beschreibt die Bewegung der Sterne und Planeten jedoch als reale Bewegungen: „Die Ursache ihres Auf- und Untergangs liegt darin, dass sich der Kreis der Sterngruppen zusammen mit den Planeten, angetrieben durch den Schutzwind, in Lanka ständig nach Westen bewegt.“

Lanka (wörtlich: Sri Lanka) ist hier ein Bezugspunkt auf dem Äquator, der als Äquivalent zum Bezugsmeridian für astronomische Berechnungen genommen wurde.

Aryabhata beschrieb ein geozentrisches Modell des Sonnensystems, in dem Sonne und Mond jeweils von Epizykeln getragen werden, die sich wiederum um die Erde drehen. In diesem Modell, das sich auch im Paitāmahasiddhānta (ca. 425 n. Chr.) findet, werden die Bewegungen der Planeten jeweils von zwei Epizyklen bestimmt, einem kleineren manda (langsamen) Epizyklus und einem größeren śīghra (schnellen) Epizyklus. Die Reihenfolge der Planeten in Bezug auf die Entfernung von der Erde wird wie folgt festgelegt: Mond, Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter, Saturn und die Sterngruppen.

Die Positionen und Perioden der Planeten wurden relativ zu sich gleichförmig bewegenden Punkten berechnet, die sich im Falle von Merkur und Venus mit der gleichen Geschwindigkeit um die Erde bewegen wie die mittlere Sonne und im Falle von Mars, Jupiter und Saturn mit bestimmten Geschwindigkeiten um die Erde bewegen, die die Bewegung jedes Planeten durch den Tierkreis darstellen. Die meisten Astronomiehistoriker sind der Ansicht, dass dieses Modell mit zwei Epizyklen Elemente der vorptolemäischen griechischen Astronomie widerspiegelt. Ein weiteres Element in Aryabhatas Modell, die śīghrocca, die grundlegende Planetenperiode in Bezug auf die Sonne, wird von einigen Historikern als Zeichen für ein zugrunde liegendes heliozentrisches Modell angesehen.

Eclipses

Aryabhata erklärte, dass der Mond und die Planeten durch reflektiertes Sonnenlicht leuchten. Anstelle der vorherrschenden Kosmogonie, in der Finsternisse durch die pseudoplanetaren Knoten Rahu und Ketu verursacht wurden, erklärt er Finsternisse in Form von Schatten, die von der Erde geworfen werden und auf sie fallen. So tritt die Mondfinsternis ein, wenn der Mond in den Erdschatten eintritt (Vers gola.37), und er erörtert ausführlich die Größe und Ausdehnung dieses Erdschattens (Verse gola.38-48), und dann die Berechnung und die Größe des verfinsterten Teils bei Finsternissen. Spätere indische Astronomen verbesserten diese Berechnungen, aber seine Methoden bildeten den Kern. Dieses Berechnungsparadigma war so genau, dass der Wissenschaftler Guillaume le Gentil aus dem 18. Jahrhundert bei einem Besuch in Pondicherry feststellte, dass die indischen Berechnungen der Dauer der Mondfinsternis vom 1765-08-30 um 41 Sekunden zu kurz waren, während seine Karten (Tobias Mayer, 1752) um 68 Sekunden zu lang waren.

Aryabhatas Berechnung des Erdumfangs betrug 24.835 Meilen, was nur 0,2 Prozent unter dem tatsächlichen Wert von 24.902 Meilen lag. Diese Annäherung könnte die Berechnung des griechischen Mathematikers Eratosthenes (ca. 200 v. Chr.) verbessert haben, dessen genaue Berechnung in modernen Einheiten nicht bekannt ist.

Siderische Perioden

In modernen englischen Zeiteinheiten betrachtet, berechnete Aryabhata die siderische Rotation (die Rotation der Erde in Bezug auf die Fixsterne) als 23 Stunden, 56 Minuten und 4,1 Sekunden; der moderne Wert ist 23:56:4,091. In ähnlicher Weise ist sein Wert für die Länge des siderischen Jahres mit 365 Tagen, 6 Stunden, 12 Minuten und 30 Sekunden ein Fehler von 3 Minuten und 20 Sekunden in Bezug auf die Länge eines Jahres. Der Begriff der siderischen Zeit war in den meisten anderen astronomischen Systemen der damaligen Zeit bekannt, aber diese Berechnung war wahrscheinlich die genaueste in dieser Zeit.

Heliozentrismus

Āryabhata behauptet, dass sich die Erde um ihre eigene Achse dreht und einige Elemente seiner planetarischen epizyklischen Modelle mit der gleichen Geschwindigkeit rotieren wie die Bewegung des Planeten um die Sonne. Dies hat einige Interpreten zu der Annahme veranlasst, dass Āryabhata seinen Berechnungen ein heliozentrisches Modell zugrunde gelegt hat, in dem die Planeten die Sonne umkreisen. Eine ausführliche Widerlegung dieser heliozentrischen Interpretation findet sich in einer Rezension, in der B. L. van der Waerden das Buch so beschreibt, dass „jedes Wort von Āryabhatas Beschreibung ein komplettes Missverständnis der indischen Planetentheorie aufzeigt“, obwohl einige zugeben, dass Āryabhatas System auf einem früheren heliozentrischen Modell beruht, dessen er sich nicht bewusst war. Es wurde sogar behauptet, dass er die Bahnen der Planeten als elliptisch ansah, obwohl dafür keine primären Beweise angeführt wurden. Obwohl Aristarchos von Samos (drittes Jahrhundert v. Chr.) und manchmal Heraklides von Pontus (viertes Jahrhundert v. Chr.) gewöhnlich die heliozentrische Theorie zugeschrieben wird, enthält die im alten Indien bekannte Version der griechischen Astronomie, Paulisa Siddhanta (möglicherweise von einem Paulus von Alexandria), keinen Hinweis auf eine heliozentrische Theorie.

Vermächtnis

Aryabhatas Werk war von großem Einfluss in der indischen astronomischen Tradition und beeinflusste durch Übersetzungen mehrere benachbarte Kulturen. Besonders einflussreich war die arabische Übersetzung während des islamischen Goldenen Zeitalters (um 820). Einige seiner Ergebnisse werden von Al-Khwarizmi zitiert, und der arabische Gelehrte Al-Biruni aus dem zehnten Jahrhundert bezieht sich auf ihn, indem er feststellt, dass die Anhänger von Āryabhata glaubten, die Erde drehe sich um ihre Achse.

Seine Definitionen von Sinus sowie Kosinus (kojya), Versinus (ukramajya) und inversem Sinus (otkram jya) beeinflussten die Entstehung der Trigonometrie. Er war auch der erste, der Sinus- und Versinus-Tabellen (1-cosx) in 3,75°-Intervallen von 0° bis 90° mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen spezifizierte.

In der Tat sind die modernen Namen „Sinus“ und „Kosinus“ eine falsche Umschreibung der von Aryabhata eingeführten Worte jya und kojya. Sie wurden im Arabischen als jiba und kojiba transkribiert. Sie wurden dann von Gerard von Cremona bei der Übersetzung eines arabischen Geometrietextes ins Lateinische fehlinterpretiert; er hielt jiba für das arabische Wort jaib, was „Gewandfalte“ bedeutet, L. sinus (um 1150).

Aryabhatas astronomische Berechnungsmethoden waren ebenfalls sehr einflussreich. Zusammen mit den trigonometrischen Tabellen fanden sie in der islamischen Welt weite Verbreitung und wurden zur Berechnung vieler arabischer astronomischer Tabellen (zijes) verwendet. Insbesondere die astronomischen Tabellen im Werk des arabisch-spanischen Wissenschaftlers Al-Zarqali (elftes Jahrhundert) wurden als die Tabellen von Toledo (zwölftes Jahrhundert) ins Lateinische übersetzt und blieben für Jahrhunderte die genaueste in Europa verwendete Ephemeride.

Zitat

In einem Kommentar zum Aryabhatiya (etwa ein Jahrhundert nach dessen Veröffentlichung geschrieben) schrieb Bhaskara I.: „Aryabhata ist der Meister, der, nachdem er die entferntesten Ufer erreicht und die tiefsten Tiefen des Meeres des ultimativen Wissens der Mathematik, Kinematik und Sphärik ausgelotet hatte, die drei Wissenschaften der gelehrten Welt übergab.“

Nach ihm benannt

• Indiens erster Satellit Aryabhata, wurde nach ihm benannt.
• Der Mondkrater Aryabhata ist ihm zu Ehren benannt.
• Der schulübergreifende Aryabhata-Mathematikwettbewerb ist nach ihm benannt.

Notizen

• Cooke, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. New York, NY: Wiley, 1997. ISBN 0471180823
• Clark, Walter Eugene. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: Ein altes indisches Werk über Mathematik und Astronomie. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930. ISBN 978-1425485993
• Dutta, Bibhutibhushan, und Singh Avadhesh Narayan. History of Hindu Mathematics. Bombay: Asia Publishing House, 1962. ISBN 8186050868
• Hari, K. Chandra. „Critical evidence to fix the native place of Āryabhata“. Current Science 93(8) (Oktober 2007): 1177-1186. Abgerufen am 10. April 2012.
• Ifrah, G. A Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. London: Harvill Press, 1998. ISBN 186046324X
• Kak, Subhash C. „Birth and Early Development of Indian Astronomy.“ In Astronomy Across Cultures: The History of Non-Western Astronomy, herausgegeben von Helaine Selin. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0792363639
• Pingree, David. „Astronomy in India.“ In Astronomy Before the Telescope, herausgegeben von C.B.F. Walker, 123-142. London: Published for the Trustees of the British Museum by British Museum Press, 1996. ISBN 0714117463
• Rao, S. Balachandra. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore, IN: Jnana Deep Publications, 1994. ISBN 8173712050
• Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. Neu Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
• Thurston, Hugh. Early Astronomy. New York, NY: Springer-Verlag, 1994. ISBN 038794107X

Alle Links abgerufen am 25. November 2016.

• „Āryabhaṭa I“ Narahari Achar, aus Thomas Hockey et al. (eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, S. 63
• John J. O’Connor und Edmund F. Robertson. Aryabhata im MacTutor-Archiv.
• Aryabhata und Diophantus‘ Sohn, Hindustan Times Storytelling Science column, Nov 2004.