Kontinuumshypotes

Kontinuumshypotes, uttalande inom mängdteorin om att mängden reella tal (kontinuum) på sätt och vis är så liten som den kan vara. År 1873 bevisade den tyske matematikern Georg Cantor att kontinuumet är oräkneligt – det vill säga att de reella talen är en större oändlighet än de räknande talen – ett nyckelresultat för att starta mängdteorin som ett matematiskt ämne. Cantor utvecklade dessutom ett sätt att klassificera storleken på oändliga mängder enligt antalet element, eller kardinaliteten. (Se mängdteori: Kardinalitet och transfinita tal.) I dessa termer kan kontinuumshypotesen formuleras på följande sätt: Det är det minsta oräkneliga kardinaltalet.

Läs mer om detta ämne

Mängdteori: Kontinuumets kardinalitet: Kardinalitet och transfinita tal

…en gissning som kallas kontinuumshypotesen.

I Cantors notation kan kontinuumshypotesen anges med den enkla ekvationen 2ℵ0 = ℵ1, där ℵ0 är kardinalnumret för en oändligt räknbar mängd (t.ex. de naturliga talens mängd), och kardinalnumren för större ”välordningsbara mängder” är ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indexerade av ordinaltalen. Kontinuumets kardinalitet kan visas vara lika med 2ℵ0. Kontinuumshypotesen utesluter således existensen av en mängd av storlek mellan de naturliga talen och kontinuum.

Ett starkare påstående är den generaliserade kontinuumshypotesen (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 för varje ordinaltal α. Den polske matematikern Wacław Sierpiński bevisade att man med GCH kan härleda valfrihetsaxiomet.

Som med valfrihetsaxiomet bevisade den österrikiskfödde amerikanske matematikern Kurt Gödel 1939 att om de andra standardiserade Zermelo-Fraenkel-axiomen (ZF; se tabellen) är konsistenta, så motbevisar de inte kontinuumshypotesen eller ens GCH. Det vill säga, resultatet av att lägga till GCH till de andra axiomen förblir konsekvent. 1963 kompletterade den amerikanske matematikern Paul Cohen bilden genom att visa, återigen under antagandet att ZF är konsistent, att ZF inte ger något bevis för kontinuumshypotesen.

Då ZF varken bevisar eller motbevisar kontinuumshypotesen återstår frågan om man ska acceptera kontinuumshypotesen utifrån ett informellt begrepp om vad mängder är. Det allmänna svaret i det matematiska samfundet har varit negativt: kontinuumshypotesen är ett begränsande påstående i ett sammanhang där det inte finns någon känd anledning att införa en begränsning. Inom mängdteorin tilldelar power-set-operationen varje mängd med kardinaliteten ℵα sin mängd av alla delmängder, som har kardinaliteten 2ℵα. Det verkar inte finnas någon anledning att införa en gräns för hur många delmängder en oändlig mängd kan ha.