Homotopiteori

Rum och kartorRedigera

I homotopiteori och algebraisk topologi betecknar ordet ”rum” ett topologiskt rum. För att undvika patologier arbetar man sällan med godtyckliga rum; i stället kräver man att rummen uppfyller extra begränsningar, t.ex. att de är kompakt genererade, Hausdorff eller ett CW-komplex.

I samma anda som ovan är en ”karta” en kontinuerlig funktion, möjligen med några extra begränsningar.

Ofta arbetar man med ett spetsigt rum — det vill säga ett rum med en ”framstående punkt”, som kallas för en baspunkt. En spetsig karta är då en karta som bevarar baspunkterna, dvs. den skickar domänens baspunkt till kodomänens baspunkt. En fri karta är däremot en karta som inte behöver bevara baspunkter.

HomotopyEdit

Låt mig beteckna enhetsintervallet. En familj av kartor indexerade med I, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\to Y}

kallas en homotopi från h 0 {\displaystyle h_{0}}

till h 1 {\displaystyle h_{1}}}

om h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

är en karta (t.ex. måste det vara en kontinuerlig funktion). När X och Y är spetsiga rum är h t {\displaystyle h_{t}}

krävs för att bevara baspunkterna. En homotopi kan visas vara en ekvivalensrelation. Givet ett spetsigt rum X och ett heltal n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, låt π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

vara homotopiklasserna av baserade kartor S n → X {\displaystyle S^{n}\to X}

från en (spetsig) n-sfär S n {\displaystyle S^{n}}

till X. Det visar sig att π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

är grupper; i synnerhet π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

kallas X:s fundamentala grupp.

Om man föredrar att arbeta med en rymd i stället för en spetsig rymd finns begreppet fundamental groupoid (och högre varianter): per definition är den fundamentala groupoiden för en rymd X den kategori där objekten är punkterna i X och morfismerna är stigar.

Cofibration och fibrationEdit

En karta f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

kallas för en cofibration om givet (1) en karta h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

och (2) en homotopi g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\to Z}

, finns det en homotopi h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}

som förlänger h 0 {\displaystyle h_{0}}

och så att h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. I viss lös mening är det en analog till det definierande diagrammet för en injektiv modul i abstrakt algebra. Det mest grundläggande exemplet är ett CW-par ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; eftersom många endast arbetar med CW-komplex är begreppet cofibration ofta implicit.

En fibration i Serres mening är det dubbla begreppet cofibration: det vill säga en karta p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

är en fibration om givet (1) en karta Z → X {\displaystyle Z\to X}

och (2) en homotopi g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, finns det en homotopi h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

så att h 0 {\displaystyle h_{0}}

är den givna och p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Ett grundläggande exempel är en täckande karta (i själva verket är en fibration en generalisering av en täckande karta). Om E {\displaystyle E}

är en principiell G-bundel, det vill säga ett rum med en fri och transitiv (topologisk) gruppverkan av en (topologisk) grupp, så är projektionskartan p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

är ett exempel på en fibration.

Klassificeringsutrymmen och homotoperationerRedigera

Givet en topologisk grupp G är klassificeringsutrymmet för huvudsakliga G-bundlar (”the” upp till ekvivalens) ett utrymme B G {\displaystyle BG}

så att, för varje rum X, = {\displaystyle =}

{ principal G-bundle on X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\,\mapsto f^{*}EG}

där

• den vänstra sidan är mängden homotopiklasser av kartor X → B G {\displaystyle X\to BG}
  

  ,

• ~ hänvisar till isomorfism av buntar, och
• = ges genom att dra tillbaka det framstående bunten E G {\displaystyle EG}
  

  på B G {\displaystyle BG}

  

  (kallad universell bunt) längs en karta X → B G {\displaystyle X\to BG}

  

  .

Browns representabilitetssats garanterar existensen av klassificerande utrymmen.

Spektrum och generaliserad kohomologiRedigera

Tanken att ett klassificerande rum klassificerar huvudbuntar kan drivas vidare. Till exempel kan man försöka klassificera kohomologiklasser: givet en abelisk grupp A (t.ex. Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

där K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

är Eilenberg-MacLane-rummet. Ovanstående ekvation leder till begreppet generaliserad kohomologiteori; dvs. en kontravariant funktor från kategorin rum till kategorin abeliska grupper som uppfyller de axiom som generaliserar vanlig kohomologiteori. Det visar sig att en sådan funktor kanske inte kan representeras av ett rum, men den kan alltid representeras av en sekvens av (spetsiga) rum med strukturkartor som kallas ett spektrum. Att ge en generaliserad kohomologiteori är med andra ord att ge ett spektrum.

Ett grundläggande exempel på ett spektrum är ett sfärspektrum: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }