Homomorfism
Vissa typer av homomorfismer har ett specifikt namn, som också definieras för allmänna morfismer.
IsomorfismRedigera
En isomorfism mellan algebraiska strukturer av samma typ definieras vanligen som en bijektiv homomorfism.:134 :28
I kategoriteoriens mer allmänna sammanhang definieras en isomorfism som en morfism som har en invers som också är en morfism. I det specifika fallet med algebraiska strukturer är de två definitionerna likvärdiga, även om de kan skilja sig åt för icke-algebraiska strukturer, som har en underliggande mängd.
Närmare bestämt, om
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
är en (homo)morfism, har den en invers om det finns en homomorfism
g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
så att
f ∘ g = Id B och g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Om A {\displaystyle A}
och B {\displaystyle B}
har underliggande mängder, och f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
har en invers g {\displaystyle g}
, då är f {\displaystyle f}
är bijektiv. Faktum är att f {\displaystyle f}
är injektiv, eftersom f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
innebär x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}
, och f {\displaystyle f}
är surjektiv, eftersom för varje x {\displaystyle x}
i B {\displaystyle B}
, har man x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, och x {\displaystyle x}
är bilden av ett element i A {\displaystyle A}
.
Omvänt, om f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
är en bijektiv homomorfism mellan algebraiska strukturer, låt g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
vara en sådan karta att g ( y ) {\displaystyle g(y)}
är det unika elementet x {\displaystyle x}
i A {\displaystyle A}
så att f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. Man har f ∘ g = Id B och g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ och }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}
och det återstår bara att visa att g är en homomorfism. Om ∗ {\displaystyle *}
är en binär operation av strukturen, för varje par x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y}
av element i B {\displaystyle B}
, har man g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ∗ B f ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}
och g {\displaystyle g}
är således förenlig med ∗ . {\displaystyle *.}
Eftersom beviset är liknande för varje aritet, visar detta att g {\displaystyle g}
är en homomorfism.
Detta bevis fungerar inte för icke-algebraiska strukturer. Exempelvis för topologiska rum är en morfism en kontinuerlig karta, och inversen av en bijektiv kontinuerlig karta är inte nödvändigtvis kontinuerlig. En isomorfism av topologiska rum, som kallas homeomorfism eller bikontinuerlig karta, är alltså en bijektiv kontinuerlig karta, vars inversa också är kontinuerlig.
EndomorfismRedigera
En endomorfism är en homomorfism vars domän är lika med kodomänen, eller mer allmänt en morfism vars källa är lika med målet.:135
Endomorfismerna till en algebraisk struktur eller till ett objekt i en kategori bildar en monoid under komposition.
Endomorfismerna till ett vektorrum eller till en modul bildar en ring. I fallet med ett vektorrum eller en fri modul av ändlig dimension inducerar valet av en bas en ringisomorfism mellan ringen av endomorfismer och ringen av kvadratiska matriser av samma dimension.
AutomorfismRedigera
En automorfism är en endomorfism som också är en isomorfism.:135
Automorfismerna hos en algebraisk struktur eller hos ett objekt i en kategori bildar en grupp under komposition, som kallas strukturens automorfismgrupp.
Många grupper som har fått ett namn är automorfismgrupper hos någon algebraisk struktur. Till exempel den allmänna linjära gruppen GL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
är automorfismgruppen för ett vektorrum av dimension n {\displaystyle n}
över ett fält k {\displaystyle k}
.
Fältens automorfismgrupper introducerades av Évariste Galois för att studera polynomers rötter och ligger till grund för Galoisteorin.
MonomorfismRedigera
För algebraiska strukturer definieras monomorfismer vanligen som injektiva homomorfismer.:134 :29
I kategoriteorins mer generella sammanhang definieras en monomorfism som en morfism som är vänsterupphävbar. Detta innebär att en (homo-)morfism f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
är en monomorfism om, för varje par g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
av morfismer från varje annat objekt C {\displaystyle C}
till A {\displaystyle A}
, då är f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
innebär att g = h {\displaystyle g=h}
.
Dessa två definitioner av monomorfism är likvärdiga för alla vanliga algebraiska strukturer. Närmare bestämt är de ekvivalenta för fält, för vilka varje homomorfism är en monomorfism, och för sorter av universell algebra, dvs. algebraiska strukturer för vilka operationer och axiom (identiteter) är definierade utan begränsningar (fält är inte en sort, eftersom den multiplikativa inversen är definierad antingen som en unary operation eller som en egenskap hos multiplikationen, vilka i båda fallen är definierade endast för element som är icke-noll).
I synnerhet är de två definitionerna av en monomorfism ekvivalenta för mängder, magmas, halvgrupper, monoider, grupper, ringar, fält, vektorrum och moduler.
En splittrad monomorfism är en homomorfism som har en vänstersvängande omvändning och därmed är den i sig själv en högersvängande omvändning av den andra homomorfismen. Det vill säga, en homomorfism f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
är en delad monomorfism om det finns en homomorfism g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
så att g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
En delad monomorfism är alltid en monomorfism, för båda betydelserna av monomorfism. För mängder och vektorrum är varje monomorfism en delad monomorfism, men denna egenskap gäller inte för de flesta vanliga algebraiska strukturer.
En injektiv homomorfism är vänsterupphävbar: Om f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
har man f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
för varje x {\displaystyle x}
i C {\displaystyle C}
, den gemensamma källan till g {\displaystyle g}
och h {\displaystyle h}
. Om f {\displaystyle f}
är injektiv, så är g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}
, och därmed är g = h {\displaystyle g=h}
. Detta bevis fungerar inte bara för algebraiska strukturer, utan även för alla kategorier vars objekt är mängder och vars pilar är kartor mellan dessa mängder. Till exempel är en injektiv kontinuerlig karta en monomorfism i kategorin topologiska rum.
För att bevisa att, omvänt, en vänsterupphävbar homomorfism är injektiv, är det användbart att betrakta ett fritt objekt på x {\displaystyle x}
. Givet en mängd algebraiska strukturer är ett fritt objekt på x {\displaystyle x}
ett par bestående av en algebraisk struktur L {\displaystyle L}
av denna variation och ett element x {\displaystyle x}
av L {\displaystyle L}
som uppfyller följande universella egenskap: för varje struktur S {\displaystyle S}
av sorten, och varje element s {\displaystyle s}
av S {\displaystyle S}
finns det en unik homomorfism f : L → S {\displaystyle f:L\till S}
så att f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. För mängder är till exempel det fria objektet på x {\displaystyle x}
helt enkelt { x } {\displaystyle \{x\}}
; för semigrupper är det fria objektet på x {\displaystyle x}
{ x , x 2 , … , x n , … } , {{\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
som, i egenskap av semigrupp, är isomorf till den additiva semigruppen för de positiva heltalen; För monoider är det fria objektet på x {\displaystyle x}
{ 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {{\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
som, i egenskap av en monoida, är isomorf till den additiva monoiden av de icke-negativa heltalen; För grupper är det fria objektet på x {\displaystyle x}
den oändliga cykliska gruppen { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } , { {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
som, som en grupp, är isomorf till den additiva gruppen av de hela talen; För ringar är det fria objektet på x {\displaystyle x}
} den polynomiska ringen Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
för vektorrum eller moduler är det fria objektet på x {\displaystyle x}
det vektorrum eller den fria modul som har x {\displaystyle x}
som bas.
Om ett fritt objekt över x {\displaystyle x}
existerar, så är varje vänster upphävbar homomorfism injektiv: låt f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
vara en homomorfism som kan upphävas med vänster, och a {\displaystyle a}
och b {\displaystyle b}
vara två element i A {\displaystyle A}
så att f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Enligt definitionen av det fria objektet F {\displaystyle F}
finns det homomorfismer g {\displaystyle g}
och h {\displaystyle h}
från F {\displaystyle F}
till A {\displaystyle A}
så att g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
och h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}
. Eftersom f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, har man f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
genom unikheten i definitionen av en universell egenskap. Eftersom f {\displaystyle f}
är vänsterupphävbar har man g = h {\displaystyle g=h}
, och därmed a = b {\displaystyle a=b}
. Därför är f {\displaystyle f}
är injektiv.
Existens av ett fritt objekt på x {\displaystyle x}
för en varietet (se även Fria objekt § Existens): För att bygga ett fritt objekt över x {\displaystyle x}
, betrakta mängden W {\displaystyle W}
av de välformade formler som byggs upp av x {\displaystyle x}
och strukturens operationer. Två sådana formler sägs vara likvärdiga om man kan gå från den ena till den andra genom att tillämpa axiomen (strukturens identiteter). Detta definierar en ekvivalensrelation om identiteterna inte är föremål för villkor, dvs. om man arbetar med en variation. Då är variationens operationer väldefinierade på mängden av ekvivalensklasser i W {\displaystyle W}.
för denna relation. Det är enkelt att visa att det resulterande objektet är ett fritt objekt på W {\displaystyle W}
.
EpimorfismRedigera
I algebra definieras epimorfismer ofta som surjektiva homomorfismer.:134:43 Å andra sidan definieras epimorfismer i kategoriteori som högerupphävbara morfismer. Detta innebär att en (homo-)morfism f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
är en epimorfism om, för varje par g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
av morfismer från B {\displaystyle B}
till varje annat objekt C {\displaystyle C}
, likheten g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
innebär att g = h {\displaystyle g=h}
.
En surjektiv homomorfism är alltid högerupphävbar, men det omvända är inte alltid sant för algebraiska strukturer. De två definitionerna av epimorfism är dock likvärdiga för mängder, vektorrum, abeliska grupper, moduler (se nedan för ett bevis) och grupper. Betydelsen av dessa strukturer i all matematik, särskilt i linjär algebra och homologisk algebra, kan förklara förekomsten av två icke likvärdiga definitioner.
Algebraiska strukturer för vilka det finns icke-surjektiva epimorfismer inkluderar semigrupper och ringar. Det mest grundläggande exemplet är inklusionen av heltal i rationella tal, som är en homomorfism av ringar och multiplikativa semigrupper. För båda strukturerna är det en monomorfism och en icke-surjektiv epimorfism, men inte en isomorfism.
En bred generalisering av detta exempel är lokaliseringen av en ring genom en multiplikativ mängd. Varje lokalisering är en ringepimorfism, som i allmänhet inte är surjektiv. Eftersom lokaliseringar är grundläggande i kommutativ algebra och algebraisk geometri kan detta förklara varför man inom dessa områden i allmänhet föredrar definitionen av epimorfismer som högerupphävbara homomorfismer.
En splittrad epimorfism är en homomorfism som har en högerinvers och därmed är den i sig själv en vänsterinvers till denna andra homomorfism. Det vill säga, en homomorfism f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
är en delad epimorfism om det finns en homomorfism g : B → A {\displaystyle g\colon B\to A}
så att f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}
En delad epimorfism är alltid en epimorfism, för båda betydelserna av epimorfism. För mängder och vektorrum är varje epimorfism en delad epimorfism, men denna egenskap gäller inte för de vanligaste algebraiska strukturerna.
Sammanfattningsvis har man
splittrad epimorfism ⟹ epimorfism (surjektiv) ⟹ epimorfism (höger upphävbar) ; {\displaystyle {\text{splittrad epimorfism}}\implies {\text{epimorfism (surjektiv)}}\implies {\text{epimorfism (höger upphävbar)}};}
Den sista implikationen är en ekvivalens för mängder, vektorrum, moduler och abeliska grupper; den första implikationen är en ekvivalens för mängder och vektorrum.
Let f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
vara en homomorfism. Vi vill bevisa att om den inte är surjektiv så är den inte rätt upphävbar.
I fallet med mängder, låt b {\displaystyle b}
vara ett element i B {\displaystyle B}
som inte tillhör f ( A ) {\displaystyle f(A)}
, och definiera g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}
så att g {\displaystyle g}
är identitetsfunktionen och att h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
för varje x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
med undantag för att h ( b ) {\displaystyle h(b)}
är något annat element i B {\displaystyle B}
. Det är uppenbart att f {\displaystyle f}
inte kan annulleras på höger sida, eftersom g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
och g ∘ f = h ∘ f . {\\displaystyle g\circ f=h\circ f.}
För vektorrum, abeliska grupper och moduler bygger beviset på existensen av cokernels och på det faktum att nollkorten är homomorfismer: låt C {\displaystyle C}
vara cokernel av f {\displaystyle f}
, och g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}
vara den kanoniska kartan, så att g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}
. Låt h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}
vara nollkartan. Om f {\displaystyle f}
inte är surjektiv, är C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}
, och därmed g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
(den ena är en nollkarta, medan den andra inte är det). Således är f {\displaystyle f}
är inte annullerbar, eftersom g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
(båda är nollkartan från A {\displaystyle A}
till C {\displaystyle C}
).
Leave a Reply