Homeomorfism

Topologiska rum

Ett av de mest grundläggande strukturella begreppen inom topologin är att förvandla en mängd X till ett topologiskt rum genom att specificera en samling av delmängder T av X. En sådan samling måste uppfylla tre axiom: (1) själva mängden X och den tomma mängden ingår i T, (2) skärningspunkten mellan varje ändligt antal mängder i T ingår i T, och (3) föreningen av varje samling mängder i T ingår i T. Mängderna i T kallas öppna mängder och T kallas en topologi på X. Till exempel blir den reella tallinjen ett topologiskt rum när dess topologi specificeras som samlingen av alla möjliga föreningar av öppna intervall – till exempel (-5, 2), (1/2, π), (0, kvadratrot av√2), ….. (En analog process ger en topologi på ett metriskt rum.) Andra exempel på topologier på mängder förekommer enbart i termer av mängdteori. Till exempel kallas samlingen av alla delmängder av en mängd X för den diskreta topologin på X, och samlingen som endast består av den tomma mängden och X självt utgör den indiskreta, eller triviala, topologin på X. Ett givet topologiskt rum ger upphov till andra besläktade topologiska rum. En delmängd A av ett topologiskt rum X ärver till exempel en topologi, den så kallade relativa topologin, från X när de öppna mängderna i A anses vara skärningspunkterna mellan A och de öppna mängderna i X. Den enorma mångfalden av topologiska rum ger en rik källa till exempel för att motivera generella satser, liksom motexempel för att visa på falska antaganden. Dessutom gör generaliseringen av axiomen för topologiska rum det möjligt för matematiker att betrakta många typer av matematiska strukturer, t.ex. samlingar av funktioner i analysen, som topologiska rum och därmed förklara tillhörande fenomen på nya sätt.

Ett topologiskt rum kan också definieras genom en alternativ uppsättning axiom som inbegriper slutna uppsättningar, som är komplement till öppna uppsättningar. I tidiga överväganden av topologiska idéer, särskilt för objekt i n-dimensionella euklidiska rum, hade slutna mängder uppstått naturligt i undersökningen av konvergens av oändliga sekvenser (se oändliga serier). Det är ofta lämpligt eller användbart att anta extra axiom för en topologi för att fastställa resultat som gäller för en betydande klass av topologiska rum men inte för alla topologiska rum. Ett sådant axiom kräver att två skilda punkter ska tillhöra disjunkta öppna mängder. Ett topologiskt rum som uppfyller detta axiom har kommit att kallas ett Hausdorff-rum.