Hilbertrymd

Hilbertrymd, inom matematiken, ett exempel på en oändligt dimensionell rymd som hade stor betydelse för analys och topologi. Den tyske matematikern David Hilbert beskrev först detta rum i sitt arbete med integralekvationer och Fourierserier, som upptog hans uppmärksamhet under perioden 1902-12.

Läs mer om detta ämne

topologi: Topologins historia

… de topologiska egenskaperna hos oändligt-dimensionella Hilbert-rum. Dessa ansträngningar förebådade ett nytt område inom topologin som nu…

Punkterna i Hilbert-rummet är oändliga sekvenser (x1, x2, x3, …) av reella tal som är kvadratsummatiserbara, det vill säga för vilka de oändliga serierna x12 + x22 + x32 + … konvergerar till något ändligt tal. I direkt analogi med det n-dimensionella euklidiska rummet är Hilbert-rummet ett vektorrum som har en naturlig inre produkt, eller punktprodukt, som ger en avståndsfunktion. Under denna distansfunktion blir det ett fullständigt metriskt rum och är därmed ett exempel på vad matematiker kallar ett fullständigt inre produktrum.

Snart efter Hilberts undersökning bevisade den österrikisk-tyska matematikern Ernst Fischer och den ungerska matematikern Frigyes Riesz att kvadratiska integrerbara funktioner (funktioner som gör att integrationen av kvadraten på deras absoluta värde är ändlig) också kan betraktas som ”punkter” i ett fullständigt inre produktrum som är likvärdigt med Hilbert-rummet. I detta sammanhang spelade Hilbert-rummet en roll i utvecklingen av kvantmekaniken, och det har fortsatt att vara ett viktigt matematiskt verktyg inom tillämpad matematik och matematisk fysik.

I analysen inledde upptäckten av Hilbert-rummet den funktionella analysen, ett nytt område där matematiker studerar egenskaperna hos ganska allmänna linjära rum. Bland dessa utrymmen finns de kompletta inre produktutrymmena, som nu kallas Hilbertutrymmen, en beteckning som först användes 1929 av den ungersk-amerikanske matematikern John von Neumann för att beskriva dessa utrymmen på ett abstrakt axiomatiskt sätt. Hilbertrymden har också utgjort en källa till rika idéer inom topologin. Som ett metriskt rum kan Hilbert-rummet betraktas som ett oändligt dimensionellt linjärt topologiskt rum, och viktiga frågor om dess topologiska egenskaper togs upp under första hälften av 1900-talet. Motiverade ursprungligen av sådana egenskaper hos Hilbert-rummen etablerade forskare ett nytt delområde inom topologin som kallas oändligt dimensionell topologi på 1960- och 70-talen.