Gyroid

Gyroiden är den enda icke-triviala inbäddade medlemmen av den associerade familjen av Schwarz P- och D-ytor. Dess associationsvinkel i förhållande till D-ytan är ungefär 38,01°. Gyroiden liknar lidinoiden. Gyroiden upptäcktes 1970 av NASA-forskaren Alan Schoen. Han beräknade associationsvinkeln och gav en övertygande demonstration med hjälp av bilder av invecklade plastmodeller, men gav inget bevis på inbäddning. Schoen noterade att gyroiden varken innehåller raka linjer eller plana symmetrier. Karcher gav 1989 en annan, mer samtida behandling av ytan med hjälp av konjugerad ytkonstruktion. År 1996 bevisade Große-Brauckmann och Wohlgemuth att den är inbäddad, och 1997 tillhandahöll Große-Brauckmann CMC-varianter av gyroiden och gjorde ytterligare numeriska undersökningar om volymfraktionerna av de minimala och CMC (konstant medelkrökning) gyroiderna.

Gyroiden delar rymden i två motsatt kongruenta labyrinter av passager. Gyroiden har rymdgrupp I4132 (nr 214). Kanaler löper genom de gyroida labyrinterna i riktningarna (100) och (111). Passagerna kommer ut i 70,5 graders vinkel mot en given kanal när den genomkorsas, och riktningen i vilken de gör det gyrar neråt i kanalen, vilket ger upphov till namnet ”gyroid”. Ett sätt att visualisera ytan är att föreställa sig P-ytans ”kvadratiska katenoider” (som bildas av två kvadrater i parallella plan, med en nästan cirkulär midja); rotation kring kvadraternas kanter genererar P-ytan. I den associerade familjen ”öppnar sig” dessa kvadratiska catenoider (på samma sätt som catenoiden ”öppnar sig” till en helicoid) för att bilda roterande band och slutligen bli Schwarz D-ytan. För ett värde av associate family-parametern ligger de girande banden på exakt de platser som krävs för att få en inbäddad yta.

Gyroiden är den enda kända inbäddade trefaldigt periodiska minimala ytan som har trippla korsningar och inga linjer med reflekterande symmetri, till skillnad från de fem minimala ytor som studerades av Anderson et al. 1990.

Gyroiden hänvisar till den medlem som finns i Schwarz P-ytans associerade familj, men i själva verket finns gyroiden i flera familjer som bevarar ytans olika symmetrier; en mer fullständig diskussion om familjer av dessa minimala ytor finns i triply periodic minimal surfaces.

Som några andra trefaldigt periodiska minimala ytor kan gyroidytan, märkligt nog, trigonometriskt approximeras genom en kort ekvation:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}