Gaussisk yta

Se även:
Exempel på giltiga (vänster) och ogiltiga (höger) gaussiska ytor. Till vänster: Några giltiga gaussiska ytor är bland annat ytan på en sfär, ytan på en torus och ytan på en kub. De är slutna ytor som helt omsluter en 3D-volym. Till höger: Några ytor som INTE kan användas som gaussiska ytor, t.ex. skivytan, kvadratytan eller halvklotytan. De omsluter inte helt och hållet en 3D-volym och har gränser (röda). Observera att oändliga plan kan approximera gaussiska ytor.

De flesta beräkningar som använder gaussiska ytor börjar med att implementera Gauss lag (för elektricitet):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

{\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

{\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

Därmed är Qenc den elektriska laddning som omsluts av den gaussiska ytan.

Det här är Gauss’ lag, som kombinerar både divergenssatsen och Coulombs lag.

Sfärisk ytaRedigera

En sfärisk gaussisk yta används när man ska hitta det elektriska fältet eller flödet som produceras av något av följande:

  • en punktladdning
  • ett jämnt fördelat sfäriskt laddningsskal
  • någon annan laddningsfördelning med sfärisk symmetri

Den sfäriska gaussiska ytan väljs så att den är koncentrisk med laddningsfördelningen.

Som exempel kan vi betrakta ett laddat sfäriskt skal S av försumbar tjocklek, med en jämnt fördelad laddning Q och radie R. Vi kan använda Gauss lag för att hitta storleken på det resulterande elektriska fältet E på ett avstånd r från det laddade skalets centrum. Det är omedelbart uppenbart att för en sfärisk gaussisk yta med radien r < R är den inneslutna laddningen noll: följaktligen är nettoflödet noll och storleken på det elektriska fältet på den gaussiska ytan är också noll (genom att låta QA = 0 i Gauss lag, där QA är den laddning som innesluts av den gaussiska ytan).

Med samma exempel, där man använder en större gaussisk yta utanför skalet där r > R, kommer Gauss lag att producera ett elektriskt fält som inte är noll. Detta bestäms på följande sätt.

Flödet ut ur den sfäriska ytan S är:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

\Phi_E = \,\!
\oiint

∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S\,\!}

\scriptstyle \partial S\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}

 \mathbf{E}\cdot d \mathbf{A} = \int\!\!\!\!\!\int_c E dA\cos 0^\circ = E \int\!\!\!\!\!\int_S dA \,\!

Området för en sfär med radie r är

∫ ∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}}

 \int\!\!\!\!\!\int_S dA = 4 \pi r^2

vilket innebär

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

\Phi_E = E 4\pi r^2

Med Gauss lag är flödet också

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}}{\varepsilon _{0}}}}

\Phi_E =\frac{Q_A}{\varepsilon_0}

sluttligen ger ekvationen av uttrycket för ΦE storleken på E-fältet vid positionen r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{Q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}.

Detta icke-triviala resultat visar att varje sfärisk fördelning av laddning fungerar som en punktladdning när den observeras från utsidan av laddningsfördelningen; detta är i själva verket en bekräftelse av Coulombs lag. Och, som sagt, alla yttre laddningar räknas inte.

Cylindrisk ytaRedigera

En cylindrisk gaussisk yta används för att hitta det elektriska fältet eller flödet som produceras av något av följande:

  • en oändligt lång linje med enhetlig laddning
  • ett oändligt plan med enhetlig laddning
  • en oändligt lång cylinder med enhetlig laddning

Ett exempel på ”fält nära en oändlig linjeladdning” ges nedan;

Det är en punkt P som befinner sig på avståndet r från en oändlig linjeladdning med en laddningstäthet (laddning per längdenhet) λ. Tänk dig en sluten yta i form av en cylinder vars rotationsaxel är linjeladdningen. Om h är cylinderns längd är den laddning som är innesluten i cylindern

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

 q = \lambda h

,

där q är den laddning som är innesluten i den gaussiska ytan. Det finns tre ytor a, b och c enligt figuren. Den differentiella vektorarean är dA, på varje yta a, b och c.

En sluten yta i form av en cylinder som har linjeladdning i centrum och som visar differentiella areor dA för alla tre ytorna.

Flödesflödet som passerar består av de tre bidragen:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

 \Phi_E = \,\!
\oiint

A {\displaystyle \scriptstyle A\,\!}

\scriptstyle A\,\!

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int\!\!\!\!\!\int_a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\!\int_b\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\!\!\int_c\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}

För ytorna a och b kommer E och dA att vara vinkelräta.För ytan c kommer E och dA att vara parallella, vilket visas i figuren.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}}

 \begin{align}} \Phi_E = \int\!\!\!\!\!\!\int_a E dA\cos 90^\circ + \int\!\!\!\!\!\int_b E d A \cos 90^\circ + \int\!\!\!\!\int_c E d A\cos 0^\circ \\ = E \int\!\!\!\!\!\int_c dA\\\\end{align}

Cylinderns yta är

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \int \!\!\!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}

 \int\!\!\!\!\!\int_c dA = 2 \pi r h

vilket innebär

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

 \Phi_E = E 2 \pi r h

Med Gauss lag

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

 \Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0}

Ekvation för ΦE ger

E 2 π r h = λ h ε ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}

 E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r}

Gaussisk pillboxEdit

Denna yta används oftast för att bestämma det elektriska fältet som beror på ett oändligt laddningsskikt med enhetlig laddningstäthet, eller en laddningsplatta med viss ändlig tjocklek. Pillboxen har en cylindrisk form och kan betraktas som bestående av tre komponenter: skivan i cylinderns ena ände med ytan πR², skivan i den andra änden med samma yta och cylinderns sida. Summan av det elektriska flödet genom varje komponent av ytan är proportionell mot den inneslutna laddningen i pillerlådan, enligt Gauss lag. Eftersom fältet nära arket kan approximeras som konstant, är pillboxen orienterad på ett sådant sätt att fältlinjerna tränger igenom skivorna vid fältets ändar i en vinkelrät vinkel och cylinderns sida är parallell med fältlinjerna.

Leave a Reply