Galoisteori

FörhistoriaRedigera

Galois teori har sitt ursprung i studiet av symmetriska funktioner – koefficienterna till ett moniskt polynom är (upp till tecknet) de elementära symmetriska polynomierna i rötterna. Till exempel (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, där 1, a + b och ab är de elementära polynomierna av grad 0, 1 och 2 i två variabler.

Detta formaliserades för första gången av den franske 1500-talsmatematikern François Viète, i Viètes formler, för fallet med positiva reella rötter. Enligt den brittiske 1700-talsmatematikern Charles Hutton förstod den franske 1600-talsmatematikern Albert Girard att uttrycka koefficienterna i ett polynom i termer av rötterna (inte bara för positiva rötter); Hutton skriver:

… den förste som förstod den allmänna doktrinen om bildandet av potensernas koefficienter från summan av rötterna och deras produkter. Han var den förste som upptäckte reglerna för att summera potenserna av rötterna i en ekvation.

I denna anda är diskriminanten en symmetrisk funktion i rötterna som återspeglar rötternas egenskaper – den är noll om och endast om polynomet har en multipel rot, och för kvadratiska och kubiska polynom är den positiv om och endast om alla rötterna är reella och distinkta, och negativ om och endast om det finns ett par distinkta komplexa konjugerade rötter. Se Diskriminant:Rötternas natur för mer information.

Kubiken löstes först delvis av den italienske 15-1600-talsmatematikern Scipione del Ferro, som dock inte publicerade sina resultat; denna metod löste dock endast en typ av kubisk ekvation. Denna lösning återupptäcktes sedan självständigt 1535 av Niccolò Fontana Tartaglia, som delade den med Gerolamo Cardano, men bad honom att inte publicera den. Cardano utvidgade sedan lösningen till många andra fall med hjälp av liknande argument; se mer information på Cardanos metod. Efter upptäckten av del Ferros arbete ansåg han att Tartaglias metod inte längre var hemlig, och därför publicerade han sin lösning i sin Ars Magna från 1545. Hans elev Lodovico Ferrari löste det kvartiska polynomet; hans lösning ingick också i Ars Magna. I denna bok gav Cardano dock ingen ”allmän formel” för lösningen av en kubisk ekvation, eftersom han varken hade komplexa tal till sitt förfogande eller algebraisk notation för att kunna beskriva en allmän kubisk ekvation. Med hjälp av modern notation och komplexa tal fungerar formlerna i denna bok i det allmänna fallet, men Cardano visste inte detta. Det var Rafael Bombelli som lyckades förstå hur man arbetar med komplexa tal för att lösa alla former av kubiska ekvationer.

Ett ytterligare steg var 1770 års skrift Réflexions sur la résolution algébrique des équations av den fransk-italienske matematikern Joseph Louis Lagrange, i hans metod Lagrange resolvents, där han analyserade Cardanos och Ferraris lösning av kubiska och kvartiska ekvationer genom att betrakta dem i termer av permutationer av rötterna, vilket gav ett hjälppolynom av lägre grad, vilket gav en enhetlig förståelse av lösningarna och lade grunden för gruppteori och Galois’ teori. Det är dock av avgörande betydelse att han inte tog hänsyn till komposition av permutationer. Lagranges metod sträckte sig inte till kvinktiska ekvationer eller högre, eftersom resolventen hade högre grad.

Kintiken bevisades nästan inte ha några allmänna lösningar genom radikaler av Paolo Ruffini 1799, vars viktigaste insikt var att använda permutationsgrupper, inte bara en enskild permutation. Hans lösning innehöll en lucka, som Cauchy betraktade som liten, men den rättades inte till förrän den norske matematikern Niels Henrik Abel publicerade ett bevis 1824 och därmed fastställde Abel-Ruffini-satsen.

Men medan Ruffini och Abel fastställde att den allmänna kvinten inte kunde lösas, kan vissa särskilda kvinter lösas, t.ex. x5 – 1 = 0, och det exakta kriteriet genom vilket en given kvinten eller ett högre polynom kunde bestämmas till att vara lösbar eller inte gavs av Évariste Galois, som visade att huruvida ett polynom är lösbart eller inte är likvärdigt med huruvida permutationsgruppen för dess rötter – i moderna termer dess Galoisgrupp – har en viss struktur eller inte – i moderna termer, huruvida det är en lösbar grupp eller inte. Denna grupp var alltid lösbar för polynomier av grad fyra eller lägre, men inte alltid för polynomier av grad fem eller högre, vilket förklarar varför det inte finns någon allmän lösning i högre grader.

Galois’ skrifterRedigera

Ett porträtt av Évariste Galois i åldern ca 15

År 1830 överlämnade Galois (vid 18 års ålder) till vetenskapsakademin i Paris en promemoria om sin teori om löslighet genom radikaler; Galois’ uppsats förkastades slutligen 1831 eftersom den var alltför skissartad och för att den gav ett villkor i form av ekvationens rötter i stället för dess koefficienter. Galois dog sedan i en duell 1832, och hans uppsats, ”Mémoire sur les conditions de résolubilité des equations par radicaux”, förblev opublicerad fram till 1846 då den publicerades av Joseph Liouville tillsammans med några av hans egna förklaringar. Före denna publicering meddelade Liouville Galois resultat till akademin i ett tal som han höll den 4 juli 1843. Enligt Allan Clark ”ersätter Galois karaktärisering dramatiskt Abels och Ruffinis arbete.”

EfterverkningarRedigera

Galois teori var notoriskt svår för hans samtida att förstå, särskilt till den nivå där de kunde utvidga den. I sin kommentar från 1846 missade Liouville till exempel helt och hållet den gruppteoretiska kärnan i Galois’ metod. Joseph Alfred Serret, som deltog i några av Liouvilles föredrag, inkluderade Galois teori i sin 1866 (tredje upplagan) av sin lärobok Cours d’algèbre supérieure. Serrets elev Camille Jordan hade en ännu bättre förståelse som återspeglades i hans bok Traité des substitutions et des équations algébriques från 1870. Utanför Frankrike förblev Galois’ teori mer obskyr under en längre tid. I Storbritannien misslyckades Cayley med att förstå dess djup och populära brittiska läroböcker i algebra nämnde inte ens Galois teori förrän långt efter sekelskiftet 1900. I Tyskland fokuserade Kroneckers skrifter mer på Abels resultat. Dedekind skrev lite om Galois teori, men föreläste om den i Göttingen 1858 och visade en mycket god förståelse. Eugen Nettos böcker från 1880-talet, baserade på Jordans Traité, gjorde Galois teori tillgänglig för en bredare tysk och amerikansk publik, liksom Heinrich Martin Webers lärobok i algebra från 1895.