Differentialgeometri

Differentialgeometri, gren av matematiken som studerar geometrin hos kurvor, ytor och manifest (de högre dimensionella motsvarigheterna till ytor). Disciplinen har sitt namn från användningen av idéer och tekniker från differentialräkning, även om det moderna ämnet ofta använder algebraiska och rent geometriska tekniker i stället. Även om grundläggande definitioner, notationer och analytiska beskrivningar varierar mycket, är följande geometriska frågor dominerande: Hur mäter man krökningen av en kurva inom en yta (intrinsik) jämfört med inom det omgivande rummet (extrinsik)? Hur kan krökningen av en yta mätas? Vad är den kortaste vägen inom en yta mellan två punkter på ytan? Hur är den kortaste vägen på en yta relaterad till begreppet rät linje?

Britannica Quiz

All About Math Quiz

Din algebra lärare hade rätt. Du kommer att använda matematik efter examen – för det här testet! Se vad du kommer ihåg från skolan och lär dig kanske några nya fakta under tiden.

Och även om kurvor hade studerats sedan antiken, öppnade upptäckten av kalkyl på 1600-talet upp för studier av mer komplicerade plana kurvor – till exempel de kurvor som den franske matematikern René Descartes (1596-1650) tog fram med sin ”kompass” (se Geometrins historia: Kartesisk geometri). I synnerhet ledde integralkalkylen till allmänna lösningar på de gamla problemen med att hitta båglängden av plana kurvor och arean av plana figurer. Detta öppnade i sin tur upp för undersökningen av kurvor och ytor i rymden – en undersökning som var starten på differentialgeometrin.

Några av differentialgeometrins grundläggande idéer kan illustreras av strake, en spiralformad remsa som ofta utformas av ingenjörer för att ge strukturellt stöd till stora metallcylindrar, som t.ex. skorstenar. Ett band kan bildas genom att skära en ringformad remsa (området mellan två koncentriska cirklar) från en platt stålplåt och sedan böja den till en spiral som spiralformar sig runt cylindern, vilket illustreras i figuren. Hur stor bör radien r för ringbandet vara för att få bästa möjliga passform? Differentialgeometri ger lösningen på detta problem genom att definiera ett exakt mått för krökningen av en kurva; sedan kan r justeras tills krökningen av ringens insida stämmer överens med spiralens krökning.

En viktig fråga kvarstår: Kan den ringformade remsan böjas utan att sträckas, så att den bildar ett band runt cylindern? I synnerhet innebär detta att avstånden som mäts längs ytan (intrinsik) är oförändrade. Två ytor sägs vara isometriska om den ena kan böjas (eller omvandlas) till den andra utan att de inneboende avstånden ändras. (Eftersom ett pappersark till exempel kan rullas ihop till ett rör utan att sträcka sig, är arket och röret ”lokalt” isometriska – endast lokalt eftersom nya, och eventuellt kortare, sträckor skapas genom att man förbinder de två papperskanterna). Den andra frågan blir således: Är den ringformade remsan och stråket isometriska? För att besvara denna och liknande frågor utvecklade differentialgeometrin begreppet krökning av en yta.