Differentialekvationer – Egenvärden och egenfunktioner
Visa mobilmeddelande Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
Avsnitt 8-2 : Egenvärden och egenfunktioner
Som vi gjorde i det föregående avsnittet måste vi återigen notera att vi bara kommer att ge en kort titt på ämnet egenvärden och egenfunktioner för gränsvärdesproblem. Det finns en hel del idéer som vi inte kommer att titta på här. Avsikten med det här avsnittet är helt enkelt att ge dig en uppfattning om ämnet och att göra tillräckligt med arbete för att vi ska kunna lösa några grundläggande partiella differentialekvationer i nästa kapitel.
Nu, innan vi börjar prata om själva ämnet för det här avsnittet ska vi påminna om ett ämne från linjär algebra som vi kortfattat diskuterat tidigare i de här anteckningarna. För en given kvadratisk matris, \(A\), om vi kunde hitta värden på \(\lambda \) för vilka vi kunde hitta icke-noll-lösningar, dvs. \(\vec x \ne \vec 0\), till,
\
då kallade vi \(\lambda \) för ett egenvärde av \(A\) och \(\vec x\) var dess motsvarande egenvektor.
Det är viktigt att komma ihåg här att för att \(\lambda \) ska vara ett egenvärde måste vi kunna hitta icke-noll-lösningar till ekvationen.
Så, vad har detta att göra med gränsvärdesproblem? Jo, gå tillbaka till föregående avsnitt och ta en titt på exempel 7 och exempel 8. I dessa två exempel löste vi homogena (och det är viktigt!) BVP i formen,
\
I exempel 7 hade vi \(\lambda = 4\) och vi hittade icke-triviala (dvs. icke-noll) lösningar till BVP:et. I exempel 8 använde vi \(\lambda = 3\) och den enda lösningen var den triviala lösningen (dvs. \(y\left( t \right) = 0\)). Så detta homogena BVP (kom ihåg att detta också innebär att randvillkoren är noll) verkar uppvisa ett liknande beteende som beteendet i matrisekvationen ovan. Det finns värden på \(\lambda \) som ger icke-triviala lösningar på denna BVP och värden på \(\lambda \) som endast tillåter den triviala lösningen.
För de värden på \(\lambda \) som ger icke-triviala lösningar kallar vi \(\lambda \) för ett egenvärde för BVP och de icke-triviala lösningarna kallas för egenfunktioner för BVP som motsvarar det givna egenvärdet.
Vi vet nu att för den homogena BVP som ges i \(\eqref{eq:eq1}\) är \(\lambda = 4\) ett egenvärde (med egenfunktioner \(y\left( x \right) = {c_2}\sin \left( {2x} \right)\))) och att \(\lambda = 3\) inte är ett egenvärde.
Tidigare ska vi försöka avgöra om det finns några andra egenvärden för \(\eqref{eq:eq1}\), men innan vi gör det ska vi kort kommentera varför det är så viktigt att BVP:n är homogen i den här diskussionen. I exempel 2 och exempel 3 i föregående avsnitt löste vi den homogena differentialekvationen
\
med två olika icke-homogena randvillkor i formen,
\
I dessa två exempel såg vi att vi genom att helt enkelt ändra värdet på \(a\) och/eller \(b\) kunde få antingen icke-triviala lösningar eller tvinga fram ingen lösning alls. I diskussionen om egenvärden/eigenfunktioner måste det finnas lösningar och det enda sättet att säkerställa detta beteende är att kräva att randvillkoren också är homogena. Med andra ord måste BVP:n vara homogen.
Det finns ett sista ämne som vi måste diskutera innan vi går in på ämnet egenvärden och egenfunktioner och detta är mer av en notationsfråga som kommer att hjälpa oss med en del av det arbete som vi kommer att behöva göra.
Vi antar att vi har en differentialekvation av andra ordningen och att dess karakteristiska polynom har två reella, distinkta rötter och att de är av formen
\
Då vet vi att lösningen är,
\
Men även om det inte är något fel med denna lösning så låt oss göra en liten omskrivning av detta. Vi börjar med att dela upp termerna på följande sätt,
\
Nu adderar/subtraherar vi följande termer (observera att vi ”blandar” \({c_i}\) och \( \pm \,\alpha \) i de nya termerna) för att få,
\
Nästan, flytta om termerna lite,
\
Slutligt, kvantiteterna inom parentes faktor och vi flyttar även bråkets placering. Genom att göra detta, samt byta namn på de nya konstanterna får vi,
\
Alt detta arbete verkar förmodligen väldigt mystiskt och onödigt. Det fanns dock verkligen en anledning till det. Faktum är att du kanske redan har sett orsaken, åtminstone delvis. De två ”nya” funktionerna som vi har i vår lösning är i själva verket två av de hyperboliska funktionerna. I synnerhet,
\
Så ett annat sätt att skriva lösningen till en differentialekvation av andra ordningen vars karakteristiska polynom har två reella, distinkta rötter i formen \({r_1} = \alpha ,\,\,{r_2} = – \,\alpha \) är,
\
Att ha lösningen i den här formen för en del (faktiskt de flesta) av de problem som vi kommer att titta på kommer att göra vårt liv mycket lättare. De hyperboliska funktionerna har några mycket trevliga egenskaper som vi kan (och kommer att) dra nytta av.
För det första, eftersom vi kommer att behöva dem senare, är derivatorerna,
\
Nästan ska vi ta en snabb titt på graferna för dessa funktioner.
Bemärk att \(\cosh \left( 0 \right) = 1\) och \(\sinh \left( 0 \right) = 0\). Eftersom vi ofta kommer att arbeta med randvillkor vid \(x = 0\) kommer dessa att vara användbara utvärderingar.
Nästa, och kanske viktigare, låt oss notera att \(\cosh \left( x \right) > 0\) för alla \(x\) och så att den hyperboliska cosinus aldrig blir noll. På samma sätt kan vi se att \(\(\sinh \left( x \right) = 0\) endast om \(x = 0\). Vi kommer att använda båda dessa fakta i en del av vårt arbete så vi bör inte glömma dem.
Okej, nu när vi har fått allt detta ur vägen så låt oss arbeta med ett exempel för att se hur vi går till väga för att hitta egenvärden/eigenfunktioner för en BVP.
Vi började det här avsnittet med att titta på detta BVP och vi vet redan ett egenvärde (\(\(\lambda = 4\)) och vi vet ett värde för \(\lambda \) som inte är ett egenvärde (\(\(\lambda = 3\)). När vi går igenom arbetet här måste vi komma ihåg att vi får ett egenvärde för ett visst värde på \(\lambda \) om vi får icke-triviala lösningar på BVP för det specifika värdet på \(\lambda \).
För att veta att vi har funnit alla egenvärden kan vi inte bara börja prova slumpmässigt med värden på \(\lambda \) för att se om vi får icke-triviala lösningar eller inte. Som tur är finns det ett sätt att göra detta som inte är så farligt och som ger oss alla egenvärden/eigenfunktioner. Vi kommer dock att behöva göra en del fallbeskrivningar. De tre fall som vi kommer att behöva titta på är : \(\lambda > 0\), \(\lambda = 0\) och \(\lambda < 0\). Vart och ett av dessa fall ger en specifik form av lösningen till BVP som vi sedan kan tillämpa randvillkoren på för att se om vi får icke-triviala lösningar eller inte. Så låt oss börja med fallen.
\(\underline {\lambda > 0} \)
I detta fall är det karakteristiska polynom vi får från differentialekvationen,
\
I detta fall, eftersom vi vet att \(\lambda > 0\) är dessa rötter komplexa och vi kan istället skriva dem som,
\
Den allmänna lösningen till differentialekvationen är då,
\
Användning av det första randvillkoret ger oss,
\
Om vi tar hänsyn till detta och tillämpar det andra randvillkoret får vi,
\
Detta innebär att vi måste ha något av följande,
\
Han minns dock att vi vill ha icke-triviala lösningar och om vi har den första möjligheten kommer vi att få den triviala lösningen för alla värden på \(\lambda > 0\). Låt oss därför anta att \({c_2} \ne 0\). Detta innebär att vi har,
\
Med andra ord, genom att utnyttja det faktum att vi vet var sinus är noll kan vi komma fram till den andra ekvationen. Observera också att eftersom vi antar att \(\lambda > 0\) vet vi att \(2\pi \sqrt \lambda > 0\)och därför kan \(n\) bara vara ett positivt heltal i det här fallet.
Nu behöver vi bara lösa det här för \(\lambda \) så har vi alla positiva egenvärden för det här BVP:et.
De positiva egenvärdena är då,
\
och de egenfunktioner som motsvarar dessa egenvärden är,
\
Bemärk att vi har satt en \(n\) på egenvärdena och egenfunktionerna för att beteckna det faktum att det finns en för varje givet värde på \(n\). Observera också att vi har strukit \({c_2}\) på egenfunktionerna. För egenfunktioner är vi bara intresserade av själva funktionen och inte av konstanten framför den och därför släpper vi i allmänhet den.
Låt oss nu gå över till det andra fallet.
\(\underline {\lambda = 0} \)
I detta fall blir BVP,
\
och genom att integrera differentialekvationen ett par gånger får vi den allmänna lösningen,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Användning av det andra randvillkoret samt resultaten av det första randvillkoret ger,
\
Här, till skillnad från det första fallet, har vi inget val om hur vi ska göra detta till noll. Detta blir bara noll om \({c_2} = 0\).
För denna BVP (och det är viktigt), om vi har \(\lambda = 0\) är den enda lösningen den triviala lösningen och därför kan \(\lambda = 0\) inte vara ett egenvärde för denna BVP.
Nu ska vi titta på det sista fallet.
\(\underline {\lambda < 0} \)
I detta fall är den karakteristiska ekvationen och dess rötter desamma som i det första fallet. Så vi vet att,
\
Men eftersom vi antar \(\lambda < 0\) här är detta nu två reella distinkta rötter och med hjälp av vårt arbete ovan för dessa typer av reella, distinkta rötter vet vi att den generella lösningen blir,
\
Observera att vi skulle ha kunnat använda den exponentiella formen av lösningen här, men vårt arbete kommer att bli betydligt enklare om vi använder den hyperboliska formen av lösningen här.
Nu ger det första randvillkoret,
\
Att tillämpa det andra randvillkoret ger,
\
Vidare vi antar \(\lambda < 0\) vet vi att \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) och därför vet vi också att \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { – \lambda } } \right) \ne 0\). Därför måste vi, precis som i det andra fallet, ha \({c_2} = 0\).
Så, för denna BVP (återigen är det viktigt), om vi har \(\lambda < 0\) får vi bara den triviala lösningen och därför finns det inga negativa egenvärden.
Sammanfattningsvis får vi alltså följande egenvärden/eigenfunktioner för denna BVP.
\
Vi tar en titt på ett annat exempel med något annorlunda randvillkor.
Här ska vi arbeta med derivativa randvillkor. Arbetet är dock i stort sett identiskt med det föregående exemplet så vi kommer inte att lägga in lika mycket detaljer här. Vi kommer att behöva gå igenom alla tre fallen precis som i det föregående exemplet så låt oss börja med det.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Den allmänna lösningen till differentialekvationen är identisk med föregående exempel och vi har alltså,
\
Ansättande av det första randvillkoret ger oss,
\
Håll dig i minnet att vi antar att \(\lambda > 0\) här och så kommer detta bara att vara noll om \({c_2} = 0\). Det andra randvillkoret ger oss,
\
Visst att vi inte vill ha triviala lösningar och att \(\lambda > 0\) så vi kommer bara att få icke-triviala lösningar om vi kräver att,
\
Lösning för \(\lambda \) och vi ser att vi får exakt samma positiva egenvärden för denna BVP som vi fick i det föregående exemplet.
\
De egenfunktioner som motsvarar dessa egenvärden är dock,
\
Så, för denna BVP får vi cosinus för egenfunktioner som motsvarar positiva egenvärden.
Nu det andra fallet.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Den allmänna lösningen är,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Användning av detta den allmänna lösningen är då,
\
och notera att detta trivialt uppfyller det andra randvillkoret,
\
Därmed är \(\lambda = 0\), till skillnad från det första exemplet, ett egenvärde för detta BVP och egenfunktionerna som motsvarar detta egenvärde är,
\
Och notera att vi har slopat den godtyckliga konstanten för egenfunktionerna.
Slutligt ska vi ta hand om det tredje fallet.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Den allmänna lösningen här är,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Användning av det andra randvillkoret ger,
\
Som i det föregående exemplet vet vi återigen att \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) och därmed \(\sinh \left( { {2\pi \sqrt { – \lambda } } } \right) \ne 0\). Därför måste vi ha \({c_1} = 0\).
Så, för denna BVP har vi återigen inga negativa egenvärden.
Sammanfattningsvis får vi följande egenvärden/eigenfunktioner för denna BVP.
\
Bemärk också att vi faktiskt kan kombinera dessa om vi tillåter att listan över \(n\)’s för den första börjar vid noll i stället för en. Detta kommer ofta inte att hända, men när det gör det kommer vi att dra nytta av det. Så den ”officiella” listan över egenvärden/eigenfunktioner för denna BVP är,
\
Så, i de två föregående exemplen såg vi att vi i allmänhet måste överväga olika fall för \(\lambda \) eftersom olika värden ofta kommer att leda till olika allmänna lösningar. Bli inte alltför låst till de fall som vi gjorde här. Vi kommer oftast att lösa just denna differentialekvation och därför är det frestande att anta att det alltid är dessa fall som vi kommer att titta på, men det finns BVP:er som kräver andra fall.
Som vi såg i de två exemplen kan det också hända att ett eller flera av fallen inte ger några egenvärden. Detta kommer ofta att hända, men återigen bör vi inte läsa in något i det faktum att vi inte fick negativa egenvärden för någon av dessa två BVP:er. Det finns BVP:er som kommer att ha negativa egenvärden.
Låt oss ta en titt på ett annat exempel med en mycket annorlunda uppsättning randvillkor. Detta är inte de traditionella randvillkor som vi har tittat på hittills, men vi kommer i nästa kapitel att se hur dessa kan uppstå från vissa fysiska problem.
I det här exemplet ska vi faktiskt inte ange lösningen eller dess derivata vid gränserna. I stället anger vi helt enkelt att lösningen måste vara densamma vid de två gränserna och att derivatan av lösningen också måste vara densamma vid de två gränserna. Dessutom kommer den här typen av randvillkor vanligtvis att vara på ett intervall av formen istället för som vi har arbetat med hittills.
Som nämnts ovan uppstår den här typen av randvillkor mycket naturligt i vissa fysikaliska problem och vi kommer att se det i nästa kapitel.
Som i de två föregående exemplen har vi fortfarande de vanliga tre fallen att titta på.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Den allmänna lösningen för detta fall är,
\
Ansätt det första randvillkoret och använd det faktum att cosinus är en jämn funktion (dvs.\(\cos \left( { – x} \right) = \cos \left( x \right)\)) och att sinus är en udda funktion (dvs \(\sin \left( { – x} \right) = – \sin \left( x \right)\))). ger oss,
\
Den här gången, till skillnad från de två föregående exemplen, säger det här oss egentligen ingenting. Vi skulle kunna ha \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) men det är också helt möjligt, vid denna punkt i problemet i alla fall, för oss att ha \({c_2} = 0\) också.
Så, låt oss gå vidare och tillämpa det andra randvillkoret och se om vi får ut något av det.
\
Så, vi får något som är mycket likt det vi fick efter att ha tillämpat det första randvillkoret. Eftersom vi antar att \(\lambda > 0\) säger detta oss att antingen \(\sin \vänster( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) eller \({c_1} = 0\).
Notera dock att om \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) \ne 0\) så måste vi ha \({c_1} = {c_2} = 0\) och vi får den triviala lösningen. Vi måste därför kräva att \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) och precis som vi har gjort för de två föregående exemplen kan vi nu få fram egenvärdena,
\
Genom att påminna om att \(\lambda > 0\) kan vi se att vi måste börja listan över möjliga \(n\)’s med en i stället för noll.
Så, vi känner nu till egenvärdena för detta fall, men hur är det med egenfunktionerna. Lösningen för ett givet egenvärde är,
\
och vi har ingen anledning att tro att någon av de två konstanterna är noll eller icke-noll för den delen. I fall som dessa får vi två uppsättningar egenfunktioner, en som motsvarar varje konstant. De två uppsättningarna av egenfunktioner för detta fall är,
\
Nu det andra fallet.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Den allmänna lösningen är,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Användning av detta den allmänna lösningen är då,
\
och notera att detta trivialt kommer att uppfylla det andra randvillkoret precis som vi såg i det andra exemplet ovan. Därför har vi återigen \(\lambda = 0\) som ett egenvärde för detta BVP och egenfunktionerna som motsvarar detta egenvärde är,
\
Slutligt ska vi ta hand om det tredje fallet.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Den allmänna lösningen här är,
\
Användning av det första randvillkoret och användning av det faktum att hyperbolisk cosinus är jämn och hyperbolisk sinus är udda ger,
\
Nu antar vi i detta fall att \(\lambda < 0\) och därför vet vi att \(\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) vilket i sin tur säger oss att \(\sinh \left( {\pi \sqrt { – \lambda } } } \right) \ne 0\). Vi måste därför ha \({c_2} = 0\).
Låt oss nu tillämpa det andra randvillkoret för att få,
\
Med vårt antagande om \(\lambda \) har vi återigen inget annat val här än att ha \({c_1} = 0\).
Därmed är den enda lösningen i detta fall den triviala lösningen, och för denna BVP har vi återigen inga negativa egenvärden.
Sammanfattningsvis får vi alltså följande egenvärden/eigenfunktioner för denna BVP.
\
Bemärk att vi har erkänt att vi för \(\lambda > 0\) hade två uppsättningar egenfunktioner genom att räkna upp var och en separat. Vi kan också återigen kombinera de två sista till en uppsättning egenvärden och egenfunktioner. Detta ger följande uppsättning egenvärden och egenfunktioner:
\
Nu har vi återigen ett exempel utan negativa egenvärden. Vi kan inte nog betona att detta är mer en funktion av den differentialekvation vi arbetar med än något annat och det kommer att finnas exempel där vi kan få negativa egenvärden.
Nu har vi hittills bara arbetat med en differentialekvation så låt oss arbeta med ett exempel med en annan differentialekvation bara för att se till att vi inte blir alltför låsta i denna enda differentialekvation.
För att arbeta med det här exemplet ska vi notera att vi fortfarande kommer att arbeta med det stora flertalet av våra exempel med den enda differentialekvation som vi har använt hittills. Vi arbetar med denna andra differentialekvation bara för att se till att vi inte blir alltför låsta till att använda en enda differentialekvation.
Detta är en Euler-differentialekvation och därför vet vi att vi måste hitta rötterna till följande kvadratiska ekvation.
\
Rötterna till denna kvadratiska ekvation är,
\
Nu kommer vi återigen att ha några fall att arbeta med här, men de kommer dock inte att vara desamma som i de tidigare exemplen. Lösningen kommer att bero på om rötterna är reella distinkta, dubbla eller komplexa och dessa fall kommer att bero på tecknet/värdet av \(1 – \lambda \). Så låt oss gå igenom fallen.
\(\underline {1 – \lambda < 0,\,\,\,\lambda > 1} \)
I det här fallet kommer rötterna att vara komplexa och vi måste skriva dem på följande sätt för att skriva ner lösningen.
\
Genom att skriva rötterna på detta sätt vet vi att \(\lambda – 1 > 0\) och så \(\sqrt {\lambda – 1} \) är nu ett reellt tal, vilket vi behöver för att skriva följande lösning,
\
Användning av det första randvillkoret ger oss,
\
Det andra randvillkoret ger oss,
\
För att undvika den triviala lösningen för detta fall kräver vi,
\
Detta är ett mycket mer komplicerat villkor än vad vi har sett hittills, men i övrigt gör vi samma sak. Att lösa \(\lambda \) ger oss följande uppsättning egenvärden för detta fall.
\
Notera att vi måste börja listan över \(n\) vid ett och inte vid noll för att vara säkra på att vi har \(\lambda > 1\) som vi antar för detta fall.
De egenfunktioner som motsvarar dessa egenvärden är,
\
Nu det andra fallet.
\(\underline {1 – \lambda = 0,\,\,\,\,\lambda = 1} \)
I detta fall får vi en dubbelrot av \({r_{\,1,2}} = – 1\) och lösningen är alltså,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Det andra randvillkoret ger,
\
Vi har därför bara den triviala lösningen för detta fall och därför är \(\lambda = 1\) inte ett egenvärde.
Låt oss nu ta hand om det tredje (och sista) fallet.
\(\underline {1 – \lambda > 0,\,\,\,\lambda < 1} \)
Detta fall kommer att ha två reella distinkta rötter och lösningen är,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Med hjälp av detta blir vår lösning,
\
Det andra randvillkoret ger,
\
Nu, eftersom vi vet att \(\lambda \ne 1\) för detta fall är exponenterna för de två termerna i parentesen inte desamma och därför är termen i parentesen inte noll. Detta innebär att vi bara kan ha,
\
och därför har vi i detta fall bara den triviala lösningen och det finns inga egenvärden för vilka \(\lambda < 1\).
De enda egenvärdena för denna BVP kommer då från det första fallet.
Så, vi har nu arbetat med ett exempel där vi använder en annan differentialekvation än den ”standard” som vi har använt oss av hittills. Som vi såg i arbetet var dock den grundläggande processen i stort sett densamma. Vi konstaterade att det fanns ett antal fall (tre här, men det kommer inte alltid att vara tre) som gav olika lösningar. Vi undersökte varje fall för att avgöra om icke-triviala lösningar var möjliga och i så fall hittade vi de egenvärden och egenfunktioner som motsvarar det fallet.
Vi måste arbeta med ett sista exempel i det här avsnittet innan vi lämnar det här avsnittet för några nya ämnen. De fyra exempel som vi har arbetat fram till denna punkt var alla ganska enkla (där enkelt naturligtvis är relativt…), men vi vill inte lämna utan att erkänna att många problem med egenvärden/eigenfunktioner är så enkla.
I många exempel är det inte ens möjligt att få fram en fullständig lista över alla möjliga egenvärden för ett BVP. Ofta är de ekvationer som vi måste lösa för att få fram egenvärdena svåra om inte omöjliga att lösa exakt. Låt oss därför ta en titt på ett sådant exempel för att se vad man kan göra för att åtminstone få en uppfattning om hur egenvärdena ser ut i den här typen av fall.
Randvillkoren för denna BVP skiljer sig ganska mycket från dem som vi har arbetat med hittills. Den grundläggande processen är dock densamma. Låt oss därför börja med det första fallet.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Den allmänna lösningen till differentialekvationen är identisk med de första exemplen och därför har vi,
\
Användning av det första randvillkoret ger oss,
\
Det andra randvillkoret ger oss,
\
Om vi låter \({c_2} = 0\) få den triviala lösningen och för att uppfylla detta randvillkor måste vi i stället kräva att,
\
Denna ekvation har lösningar, men vi måste använda några numeriska tekniker för att få fram dem. För att se vad som händer här kan vi grafera \(\tan \left( {\sqrt \lambda } \right)\) och \( – \sqrt \lambda \) på samma graf. Här är den grafen och notera att den horisontella axeln egentligen är värden på \(\sqrt \lambda \) eftersom det gör det lite lättare att se och relatera till värden som vi är bekanta med.
Så egenvärden för detta fall kommer att uppstå där de två kurvorna skär varandra. Vi har visat de fem första på grafen och återigen är det som visas på grafen egentligen kvadratroten av det faktiska egenvärdet som vi har noterat.
Det intressanta att notera här är att ju längre ut på grafen desto närmare kommer egenvärdena tangentens asymptoter, så vi drar nytta av det och säger att för tillräckligt stora \(n\) kan vi närma oss egenvärdena med de (mycket välkända) platserna för tangentens asymptoter.
Hur stort värdet av \(n\) är innan vi börjar använda approximationen beror på hur stor noggrannhet vi vill ha, men eftersom vi känner till asymptoternas läge och när \(n\) ökar kommer approximationens noggrannhet att öka, så det kommer att vara tillräckligt enkelt att kontrollera en given noggrannhet.
För det här exemplet hittade vi de fem första numeriskt och sedan kommer vi att använda approximationen av de återstående egenvärdena. Här är dessa värden/approximationer.
\
Talet inom parentes efter de första fem är det ungefärliga värdet för asymptoten. Som vi kan se är de lite fel, men när vi kommer till \(n = 5\) är felet i approximationen 0,9862 %. Så mindre än 1 % fel när vi kommer till \(n = 5\) och det blir bara bättre för större värden på \(n\).
Egonfunktionerna för detta fall är,
\
där värdena på \({\lambda _{\\,n}}}\) är givna ovan.
Nu när allt detta arbete är överstökat, låt oss ta en titt på det andra fallet.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Den allmänna lösningen är,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Användning av detta är den allmänna lösningen då,
\
Om man tillämpar det andra randvillkoret på detta får man,
\
För detta fall får vi bara den triviala lösningen och därför är \(\lambda = 0\) inte ett egenvärde. Observera dock att om det andra randvillkoret hade varit \(y’\left( 1 \right) – y\left( 1 \right) = 0\) så skulle \(\lambda = 0\) ha varit ett egenvärde (med egenfunktioner \(y\left( x \right) = x\))) och därför måste vi återigen vara försiktiga med att läsa in för mycket i vårt arbete här.
Finally let’s take care of the third case.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Den allmänna lösningen här är,
\
Användning av det första randvillkoret ger,
\
Användning av detta blir den allmänna lösningen,
\
Om man tillämpar det andra randvillkoret på detta får man,
\
Nu vet vi genom antagandet att \(\lambda < 0\) och därmed \(\(\sqrt { – \lambda } > 0\). Detta säger i sin tur att \(\sinh \left( {\sqrt { – \lambda } } } \right) > 0\) och vi vet att \(\cosh \left( x \right) > 0\) för alla \(x\). Därför
\
och därför måste vi ha \({c_2} = 0\) och återigen i detta tredje fall får vi den triviala lösningen och därför kommer detta BVP inte att ha några negativa egenvärden.
Sammanfattningsvis kommer de enda egenvärdena för denna BVP från antagandet att \(\lambda > 0\) och de ges ovan.
Så, vi har arbetat med flera exempel på egenvärden/eigenfunktioner i detta avsnitt. Innan vi lämnar det här avsnittet måste vi återigen notera att det finns ett stort antal olika problem som vi kan arbeta med här och vi har egentligen bara visat en knapp handfull exempel och gå därför inte från det här avsnittet i tron att vi har visat dig allt.
Helheten med det här avsnittet är att förbereda oss för de typer av problem som vi kommer att få se i nästa kapitel. Dessutom kommer vi i nästa kapitel återigen att begränsa oss till några ganska grundläggande och enkla problem för att illustrera en av de vanligare metoderna för att lösa partiella differentialekvationer.
Leave a Reply