Articles /

Barycentriska koordinater

I slutet av diskussionen om Cevas sats kom vi fram till slutsatsen att det för varje punkt K inom ΔABC finns tre massor wA, wB och wC som, om de placeras vid motsvarande hörn i triangeln, har en tyngdpunkt som sammanfaller med punkten K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definierade (1827) wA, wB och wC som K:s barycentriska koordinater. (Det är möjligt att generalisera och överväga även negativa massor för punkter utanför triangeln. Detta är inte nödvändigt för mina syften). Som de definieras är de barycentriska koordinaterna inte unika. Massorna kwA, kwB och kwC har exakt samma barycentrum för varje k > 0. De barycentriska koordinaterna är således en form av allmänna homogena koordinater som används inom många grenar av matematiken (och även datorgrafik). Med ett ytterligare villkor

(*) wA + wB + wC = 1

definieras de barycentriska koordinaterna entydigt för varje punkt i triangeln. (Barycentriska koordinater som uppfyller (*) kallas arealkoordinater eftersom, om man antar att arean av ΔABC är 1, vikterna w är lika med areorna av trianglarna KBC, KAC och KAB). Eftersom tyngdpunkten för två punkter ligger på det anslutande segmentet är wA = 0 för punkter på BC, wB = 0 för punkter på AC och wC = 0 på AB. Vertikaler A,B,C har koordinaterna (1,0,0), (0,1,0) respektive (0,0,1).

Det vanliga sättet att definiera barycentrum för tre punkter med givna massor (låt oss kalla sådana punkter för material) är att först placera summan av massorna för två punkter i deras barycentrum. Upprepa nu samma (1-dimensionella) operation genom att para ihop den nya och den tredje återstående punkten. (Argumentet är formaliserat inom den affina geometrin. Jag föredrar att hålla diskussionen intuitiv). Om man utgår från (*) kommer summan wB + wC att vara oförändrad om wA hålls fast. Av detta följer att för två möjliga positioner D och D’ av barycentrumet för B och C har vi DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Därför är KK’ parallell med BC. Med andra ord beskriver ekvationen wA = const de linjer som är parallella med BC. Som vi redan har noterat är BC:s ekvation wA = 0. Ett liknande förhållande finns mellan wB och AC och wC och AB.

Om Mb och Mc är mittpunkterna för AC respektive AB är ekvationen för MbMc wA = 1/2. På samma sätt är MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} och MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Låt oss ta en titt på diagrammet till höger. I den blå triangeln är alla tre koordinaterna mindre än 1/2. Därför är den första siffran i deras binära representation noll. I de röda trianglarna är två koordinater mindre än 1/4 medan den tredje ligger mellan 1/2 och 3/4. Därför har alla tre koordinaterna i de röda trianglarna sin andra binära siffra noll. Detta leder till trema borttagningsförfarandet för att konstruera Sierpinski-packningen och ger en ledtråd till dess Beskrivning i de barycentriska koordinaterna.

Barycentriska koordinater uppstår naturligt när variabla storheter har en konstant summa. Treglasproblemet, där vi häller vatten från ett glas till ett annat under det orealistiska antagandet att ingen droppe vatten kommer att spillas under processen, är ett framträdande exempel. Problemet illustrerar vackert begreppet barycentriska koordinater.

Barycentrum och barycentriska koordinater

  1. 3D-kvadrilateral – ett kistproblem
  2. Barycentriska koordinater
  3. Barycentriska koordinater: Ett verktyg
  4. Barycentriska koordinater och geometrisk sannolikhet
    • Pinne som bryts i tre delar (trilinjära koordinater)
    • Pinne som bryts i tre delar (kartesiska koordinater)
  5. Cevas sats
  6. Determinanter, area, och barycentriska koordinater
  7. Maxwells sats via tyngdpunkten
  8. Bimedianer i en fyrhörning
  9. Simultan generalisering av Cevas och Menelaos’ satser
    • Cevas och Menelaos’ satser, en illustrerad generalisering
  10. Pussel med tre glas
  11. Van Obel-satsen och barycentriska koordinater
  12. 1961 IMO, problem 4. En övning i barycentriska koordinater
  13. Centrum i polygon
  14. Tyngdpunkt och rörelse av materiella punkter
  15. Isotomisk reciprocitet
  16. En affin Barycentrums egenskap
  17. Problem med direkt likhet
  18. Cirklar i barycentriska koordinater
  19. Barycentrum för en cevianisk triangel
  20. Samverkande längder i en cirkel, lika lutande

|Kontakt||Framsidan||Innehåll||Geometri|

Leave a Reply