Teoria lui Galois

PreistorieEdit

Teoria lui Galois își are originea în studiul funcțiilor simetrice – coeficienții unui polinom monic sunt (până la semn) polinoamele simetrice elementare în rădăcini. De exemplu, (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, unde 1, a + b și ab sunt polinoamele elementare de gradul 0, 1 și 2 în două variabile.

Acest lucru a fost formalizat pentru prima dată de matematicianul francez din secolul al XVI-lea François Viète, în formulele lui Viète, pentru cazul rădăcinilor reale pozitive. În opinia matematicianului britanic din secolul al XVIII-lea Charles Hutton, exprimarea coeficienților unui polinom în termenii rădăcinilor (nu numai pentru rădăcinile pozitive) a fost înțeleasă pentru prima dată de matematicianul francez din secolul al XVII-lea Albert Girard; Hutton scrie:

… prima persoană care a înțeles doctrina generală de formare a coeficienților puterilor din suma rădăcinilor și a produselor lor. El a fost primul care a descoperit regulile de însumare a puterilor rădăcinilor oricărei ecuații.

În această ordine de idei, discriminantul este o funcție simetrică în rădăcini care reflectă proprietăți ale rădăcinilor – este zero dacă și numai dacă polinomul are o rădăcină multiplă, iar pentru polinoamele pătratice și cubice este pozitiv dacă și numai dacă toate rădăcinile sunt reale și distincte, și negativ dacă și numai dacă există o pereche de rădăcini complexe conjugate distincte. A se vedea Discriminant:Natura rădăcinilor pentru detalii.

Cubica a fost rezolvată parțial pentru prima dată de matematicianul italian din secolul al XV-lea-XVI-lea Scipione del Ferro, care însă nu și-a publicat rezultatele; această metodă, însă, a rezolvat doar un singur tip de ecuație cubică. Această soluție a fost apoi redescoperită în mod independent în 1535 de Niccolò Fontana Tartaglia, care a împărtășit-o lui Gerolamo Cardano, cerându-i acestuia să nu o publice. Cardano a extins apoi soluția la numeroase alte cazuri, folosind argumente similare; a se vedea mai multe detalii la Metoda lui Cardano. După descoperirea lucrării lui del Ferro, acesta a considerat că metoda lui Tartaglia nu mai era secretă și, astfel, și-a publicat soluția în lucrarea sa Ars Magna din 1545. Studentul său Lodovico Ferrari a rezolvat polinomul quartic; soluția sa a fost, de asemenea, inclusă în Ars Magna. Cu toate acestea, în această carte, Cardano nu a furnizat o „formulă generală” pentru soluția unei ecuații cubice, deoarece nu avea la dispoziție nici numerele complexe, nici notația algebrică pentru a putea descrie o ecuație cubică generală. Cu avantajul notațiilor moderne și al numerelor complexe, formulele din această carte funcționează în cazul general, dar Cardano nu știa acest lucru. Rafael Bombelli a fost cel care a reușit să înțeleagă cum să lucreze cu numere complexe pentru a rezolva toate formele de ecuație cubică.

Un alt pas a fost lucrarea din 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations a matematicianului franco-italian Joseph Louis Lagrange, în metoda sa de rezolvări Lagrange, în care a analizat soluția lui Cardano și a lui Ferrari a ecuațiilor cubice și quartice considerându-le în termeni de permutări ale rădăcinilor, ceea ce a dus la obținerea unui polinom auxiliar de grad inferior, oferind o înțelegere unificată a soluțiilor și punând bazele teoriei grupurilor și a teoriei lui Galois. Totuși, în mod esențial, el nu a luat în considerare compoziția permutărilor. Metoda lui Lagrange nu s-a extins la ecuațiile quintice sau mai mari, deoarece rezolventul avea un grad mai mare.

Cintica a fost aproape dovedită că nu are soluții generale prin radicali de către Paolo Ruffini în 1799, a cărui idee cheie a fost să folosească grupuri de permutări, nu doar o singură permutare. Soluția sa conținea o lacună, pe care Cauchy a considerat-o minoră, deși aceasta nu a fost remediată până la lucrările matematicianului norvegian Niels Henrik Abel, care a publicat o demonstrație în 1824, stabilind astfel teorema Abel-Ruffini.

În timp ce Ruffini și Abel au stabilit că quintica generală nu poate fi rezolvată, unele quintice particulare pot fi rezolvate, cum ar fi x5 – 1 = 0, iar criteriul precis prin care se poate determina dacă o anumită quintică sau un polinom superior poate fi rezolvată sau nu a fost dat de Évariste Galois, care a arătat că faptul că un polinom este sau nu rezolvabil este echivalent cu faptul că grupul de permutări al rădăcinilor sale – în termeni moderni, grupul Galois – are sau nu o anumită structură – în termeni moderni, dacă este sau nu un grup rezolvabil. Acest grup era întotdeauna rezolvabil pentru polinoamele de gradul patru sau mai puțin, dar nu întotdeauna pentru polinoamele de gradul cinci sau mai mare, ceea ce explică de ce nu există o soluție generală pentru gradele superioare.

Scrierile lui GaloisEdit

Un portret al lui Évariste Galois în vârstă de aproximativ 15 ani

În 1830, Galois (la vârsta de 18 ani) a prezentat Academiei de Științe din Paris un memoriu despre teoria sa privind rezolvabilitatea prin radicali; Lucrarea lui Galois a fost în cele din urmă respinsă în 1831 ca fiind prea sumară și pentru că dădea o condiție în termeni de rădăcini ale ecuației în loc de coeficienți. Galois a murit apoi într-un duel în 1832, iar lucrarea sa, „Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”, a rămas nepublicată până în 1846, când a fost publicată de Joseph Liouville, însoțită de unele dintre explicațiile sale. Înainte de această publicare, Liouville a anunțat rezultatul lui Galois Academiei într-un discurs ținut la 4 iulie 1843. Potrivit lui Allan Clark, caracterizarea lui Galois „înlocuiește în mod dramatic lucrarea lui Abel și Ruffini.”

PostmathEdit

Teoria lui Galois a fost, în mod notoriu, dificil de înțeles pentru contemporanii săi, mai ales până la nivelul la care puteau să o dezvolte. De exemplu, în comentariul său din 1846, Liouville a ratat complet nucleul teoretic de grup al metodei lui Galois. Joseph Alfred Serret, care a asistat la unele dintre discuțiile lui Liouville, a inclus teoria lui Galois în 1866 (ediția a treia) a manualului său Cours d’algèbre supérieure. Elevul lui Serret, Camille Jordan, a avut o înțelegere și mai bună, reflectată în cartea sa din 1870, Traité des substitutions et des équations algébriques. În afara Franței, teoria lui Galois a rămas mai obscură pentru o perioadă mai lungă de timp. În Marea Britanie, Cayley nu a reușit să îi înțeleagă profunzimea, iar manualele populare de algebră britanice nici măcar nu au menționat teoria lui Galois până mult după începutul secolului. În Germania, scrierile lui Kronecker s-au axat mai mult pe rezultatul lui Abel. Dedekind a scris puțin despre teoria lui Galois, dar a ținut o prelegere despre aceasta la Göttingen în 1858, dând dovadă de o foarte bună înțelegere. Cărțile lui Eugen Netto din anii 1880, bazate pe Traité de Jordan, au făcut ca teoria lui Galois să fie accesibilă unui public german și american mai larg, la fel ca și manualul de algebră al lui Heinrich Martin Weber din 1895.

.