Teoria homotopiei

Spații și hărțiEdit

În teoria homotopiei și în topologia algebrică, cuvântul „spațiu” desemnează un spațiu topologic. Pentru a evita patologiile, se lucrează rareori cu spații arbitrare; în schimb, se cere ca spațiile să îndeplinească constrângeri suplimentare, cum ar fi să fie generate compact, sau Hausdorff, sau un complex CW.

În aceeași ordine de idei ca mai sus, o „hartă” este o funcție continuă, eventual cu unele constrângeri suplimentare.

De multe ori, se lucrează cu un spațiu punctat – adică un spațiu cu un „punct distins”, numit punct de bază. O hartă punctiformă este atunci o hartă care conservă punctele de bază; adică trimite punctul de bază al domeniului în cel al codominiului. În schimb, o hartă liberă este o hartă care nu trebuie să păstreze punctele de bază.

HomotopieEdit

Să notăm cu I intervalul unitar. O familie de hărți indexate de I, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\to Y}

se numește o homotopie din h 0 {\displaystyle h_{0}}

la h 1 {\displaystyle h_{1}}.

dacă h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

este o hartă (de exemplu, trebuie să fie o funcție continuă). Atunci când X, Y sunt spații punctiforme, h t {\displaystyle h_{t}}

sunt necesare pentru a păstra punctele de bază. Se poate demonstra că o homotopie este o relație de echivalență. Dat fiind un spațiu punctat X și un număr întreg n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, fie π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

să fie clasele de homotopie ale hărților bazate S n → X {\displaystyle S^{n}\to X}

dintr-o n-sferă (ascuțită) S n {\displaystyle S^{n}}

la X. După cum se pare, π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)}

sunt grupuri; în particular, π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

se numește grupul fundamental al lui X.

Dacă se preferă să se lucreze cu un spațiu în loc de un spațiu punctat, există noțiunea de groupoid fundamental (și variantele superioare): prin definiție, groupoidul fundamental al unui spațiu X este categoria în care obiectele sunt punctele lui X, iar morfismele sunt drumuri.

Cofibrație și fibrațieEdit

O hartă f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

se numește cofibrație dacă dată (1) o hartă h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

și (2) o homotopie g t : A → Z {\displaystyle g_{t}:A\to Z}

, există o homotopie h t : X → Z {\displaystyle h_{t}:X\to Z}.

care extinde h 0 {\displaystyle h_{0}}.

și astfel încât h t ∘ f = g t {\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}

. Într-un sens oarecare, este un analog al diagramei definitorii a unui modul injectiv din algebra abstractă. Cel mai simplu exemplu este o pereche CW ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}.

; deoarece mulți lucrează numai cu complexe CW, noțiunea de cofibrație este adesea implicită.

O fibrație în sensul lui Serre este noțiunea dublă a unei cofibrații: adică o hartă p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

este o fibrație dacă, dată fiind (1) o hartă Z → X {\displaystyle Z\to X}

și (2) o homotopie g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\to B}

, există o homotopie h t : Z → X {\displaystyle h_{t}:Z\to X}

astfel încât h 0 {\displaystyle h_{0}}

este cea dată și p ∘ h t = g t {\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}

. Un exemplu de bază este o hartă de acoperire (de fapt, o fibrație este o generalizare a unei hărți de acoperire). Dacă E {\displaystyle E}

este un G-bundle principal, adică un spațiu cu o acțiune de grup (topologică) liberă și tranzitivă a unui grup (topologic), atunci harta de proiecție p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

este un exemplu de fibrație.

Spații de clasificare și operații de homotopieModificare

Dat fiind un grup topologic G, spațiul de clasificare pentru principalele legături G („the” până la echivalență) este un spațiu B G {\displaystyle BG}.

astfel încât, pentru fiecare spațiu X, = {\displaystyle =}

{ principal G-bundle on X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\,\,\,\mapsto f^{*}EG}

unde

• latura stângă este ansamblul claselor de homotopie ale hărților X → B G {\displaystyle X\to BG}
  

  ,

• ~ se referă la izomorfismul pachetelor, iar
• = este dat de tragerea înapoi a pachetului distins E G {\displaystyle EG}
  

  pe B G {\displaystyle BG}.

  

  (numit pachet universal) de-a lungul unei hărți X → B G {\displaystyle X\to BG}

  

  .

Teorema de reprezentabilitate a lui Brown garantează existența spațiilor de clasificare.

Spectrul și cohomologia generalizatăEdit

Ideea că un spațiu clasificator clasifică pachete principale poate fi împinsă mai departe. De exemplu, se poate încerca clasificarea claselor de cohomologie: dat fiind un grup abelian A (cum ar fi Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

unde K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

este spațiul Eilenberg-MacLane. Ecuația de mai sus conduce la noțiunea de teorie a coomologiei generalizate; adică un functor contravariant din categoria spațiilor în categoria grupurilor abeliene care satisface axiomele care generalizează teoria coomologiei obișnuite. După cum s-a dovedit, un astfel de functor poate să nu fie reprezentabil printr-un spațiu, dar poate fi întotdeauna reprezentat printr-o secvență de spații (punctiforme) cu hărți de structură numită spectru. Cu alte cuvinte, a oferi o teorie generalizată a cohomologiei înseamnă a oferi un spectru.

Un exemplu de bază al unui spectru este spectrul sferei: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }