Suprafață gaussiană
Majoritatea calculelor care utilizează suprafețe gaussiene încep prin implementarea legii lui Gauss (pentru electricitate):
Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}
S {\displaystyle \scriptstyle S\!}
E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}
Deci Qenc este sarcina electrică cuprinsă de suprafața gaussiană.
Aceasta este legea lui Gauss, care combină atât teorema divergenței cât și legea lui Coulomb.
Suprafață sfericăEdit
O suprafață gaussiană sferică se utilizează atunci când se găsește câmpul electric sau fluxul produs de oricare dintre următoarele:
- o sarcină punctiformă
- un înveliș sferic uniform distribuit de sarcină
- orice altă distribuție de sarcină cu simetrie sferică
Suprafața Gaussiană sferică se alege astfel încât să fie concentrică cu distribuția de sarcină.
Ca exemplu, să considerăm un înveliș sferic încărcat S de grosime neglijabilă, cu o sarcină uniform distribuită Q și raza R. Putem folosi legea lui Gauss pentru a găsi mărimea câmpului electric rezultat E la o distanță r de centrul învelișului încărcat. Este imediat evident că pentru o suprafață gaussiană sferică de rază r < R sarcina închisă este zero: prin urmare, fluxul net este zero și magnitudinea câmpului electric pe suprafața gaussiană este, de asemenea, 0 (lăsând QA = 0 în legea lui Gauss, unde QA este sarcina închisă de suprafața gaussiană).
Cu același exemplu, folosind o suprafață gaussiană mai mare în afara învelișului, unde r > R, legea lui Gauss va produce un câmp electric diferit de zero. Acesta se determină după cum urmează.
Fluxul în afara suprafeței sferice S este:
Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}
∂ S {\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \partial S\,\!}
E ⋅ d A = ∫ ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\int \!\!\!\!\!\!\int _{S}dA\,\!}
Aria suprafeței sferei de rază r este
∫ ∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}}
ceea ce implică
Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}
Prin legea lui Gauss, fluxul este de asemenea
Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}
în cele din urmă, egalând expresia pentru ΦE se obține mărimea câmpului E în poziția r:
E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}.
Acest rezultat non-trivial arată că orice distribuție sferică de sarcină se comportă ca o sarcină punctiformă atunci când este observată din exteriorul distribuției de sarcină; aceasta este, de fapt, o verificare a legii lui Coulomb. Și, după cum s-a menționat, orice sarcină exterioară nu contează.
Suprafață cilindricăEdit
Se utilizează o suprafață cilindrică gaussiană atunci când se găsește câmpul electric sau fluxul produs de oricare dintre următoarele:
- o linie infinit de lungă de sarcină uniformă
- un plan infinit de sarcină uniformă
- un cilindru infinit de lung de sarcină uniformă
Ca exemplu „câmpul în apropierea unei sarcini liniare infinite” este dat mai jos;
Considerăm un punct P la o distanță r de o sarcină liniară infinită având densitatea de sarcină (sarcină pe unitatea de lungime) λ. Imaginați-vă o suprafață închisă în formă de cilindru a cărei axă de rotație este sarcina liniară. Dacă h este lungimea cilindrului, atunci sarcina închisă în cilindru este
q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}.
,
unde q este sarcina închisă în suprafața gaussiană. Există trei suprafețe a, b și c, așa cum se arată în figură. Aria vectorului diferențial este dA, pe fiecare suprafață a, b și c.
Fluxul care trece constă din cele trei contribuții:
Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}
A {\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle A\,\!}
E ⋅ d A = ∫ ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }
Pentru suprafețele a și b, E și dA vor fi perpendiculare.Pentru suprafața c, E și dA vor fi paralele, așa cum se arată în figură.
Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}}
Suprafața cilindrului este
∫ ∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}
ceea ce implică
Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}
Pe legea lui Gauss
Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}
echivalând pentru ΦE rezultă
E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε ε 0 r {\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}r}}}}
Gaussian pillboxEdit
Această suprafață este cel mai adesea utilizată pentru a determina câmpul electric datorat unei foi infinite de sarcină cu densitate de sarcină uniformă, sau unei plăci de sarcină cu o anumită grosime finită. Pillboxul are o formă cilindrică și poate fi considerat ca fiind format din trei componente: discul de la un capăt al cilindrului cu aria πR², discul de la celălalt capăt cu aria egală și latura cilindrului. Suma fluxului electric prin fiecare componentă a suprafeței este proporțională cu sarcina închisă a pilonierului, așa cum dictează legea lui Gauss. Deoarece câmpul din apropierea foii poate fi aproximat ca fiind constant, pastila este orientată astfel încât liniile de câmp să pătrundă în discurile de la capetele câmpului la un unghi perpendicular, iar părțile laterale ale cilindrului să fie paralele cu liniile de câmp.
.
Leave a Reply