Spațiu Hilbert
Spațiu Hilbert, în matematică, un exemplu de spațiu infinit-dimensional care a avut un impact major în analiză și topologie. Matematicianul german David Hilbert a descris pentru prima dată acest spațiu în lucrările sale asupra ecuațiilor integrale și a seriilor Fourier, care i-au ocupat atenția în perioada 1902-12.
Punctele spațiului Hilbert sunt secvențe infinite (x1, x2, x3, …) de numere reale care sunt însumabile la pătrat, adică pentru care seria infinită x12 + x22 + x32 + … converge la un număr finit. Prin analogie directă cu spațiul euclidian n-dimensional, spațiul Hilbert este un spațiu vectorial care are un produs intern natural, sau produs punct, care oferă o funcție de distanță. Sub această funcție de distanță, el devine un spațiu metric complet și, astfel, este un exemplu a ceea ce matematicienii numesc spațiu cu produs interior complet.
La scurt timp după investigația lui Hilbert, matematicianul austro-german Ernst Fischer și matematicianul maghiar Frigyes Riesz au demonstrat că funcțiile integrabile pătrate (funcții astfel încât integrarea pătratului valorii lor absolute este finită) pot fi, de asemenea, considerate ca „puncte” într-un spațiu cu produs interior complet care este echivalent cu spațiul Hilbert. În acest context, spațiul Hilbert a jucat un rol în dezvoltarea mecanicii cuantice și a continuat să fie un instrument matematic important în matematica aplicată și în fizica matematică.
În analiză, descoperirea spațiului Hilbert a inaugurat analiza funcțională, un nou domeniu în care matematicienii studiază proprietățile unor spații liniare destul de generale. Printre aceste spații se numără spațiile produsului interior complet, care acum sunt numite spații Hilbert, o denumire folosită pentru prima dată în 1929 de matematicianul american de origine maghiară John von Neumann pentru a descrie aceste spații într-un mod axiomatic abstract. Spațiul Hilbert a constituit, de asemenea, o sursă pentru idei bogate în topologie. Ca spațiu metric, spațiul Hilbert poate fi considerat un spațiu topologic liniar infinit-dimensional, iar întrebări importante legate de proprietățile sale topologice au fost ridicate în prima jumătate a secolului XX. Motivați inițial de astfel de proprietăți ale spațiilor Hilbert, cercetătorii au stabilit un nou subdomeniu al topologiei numit topologie infinit dimensională în anii ’60 și ’70.
Leave a Reply