Ipoteza continuumului

Ipoteza continuumului, afirmație din teoria seturilor conform căreia ansamblul numerelor reale (continuum) este într-un anumit sens cât se poate de mic. În 1873, matematicianul german Georg Cantor a demonstrat că continuumul este nenumărabil – adică numerele reale sunt un infinit mai mare decât numerele de numărat – un rezultat cheie în inițierea teoriei seturilor ca subiect matematic. Mai mult, Cantor a dezvoltat o modalitate de clasificare a mărimii seturilor infinite în funcție de numărul de elemente ale acestora, sau cardinalitatea lor. (A se vedea teoria seturilor: Cardinalitate și numere transfinite.) În acești termeni, ipoteza continuumului poate fi enunțată după cum urmează: Cardinalitatea continuumului este cel mai mic număr cardinal nenumărabil.

Citește mai mult pe această temă

Teoria seturilor: Cardinalitatea și numerele transfinite

…o conjectură cunoscută sub numele de ipoteza continuumului.

În notația lui Cantor, ipoteza continuumului poate fi enunțată prin ecuația simplă 2ℵ0 = ℵ1, unde ℵ0 este numărul cardinal al unui set infinit numărabil (cum ar fi setul numerelor naturale), iar numerele cardinale ale unor „seturi bine ordonabile” mai mari sunt ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indexate cu numerele ordinale. Se poate demonstra că cardinalitatea continuumului este egală cu 2ℵ0; astfel, ipoteza continuumului exclude existența unui ansamblu de mărime intermediară între numerele naturale și continuum.

O afirmație mai puternică este ipoteza continuumului generalizat (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 pentru fiecare număr ordinal α. Matematicianul polonez Wacław Sierpiński a demonstrat că din GCH se poate deriva axioma alegerii.

Ca și în cazul axiomei alegerii, matematicianul american de origine austriacă Kurt Gödel a demonstrat în 1939 că, dacă celelalte axiome standard Zermelo-Fraenkel (ZF; vezi ) sunt consistente, atunci ele nu infirmă ipoteza continuumului sau chiar GCH. Adică, rezultatul adăugării GCH la celelalte axiome rămâne consecvent. Apoi, în 1963, matematicianul american Paul Cohen a completat tabloul arătând, tot în ipoteza că ZF este coerentă, că ZF nu produce o demonstrație a ipotezei continuumului.

Din moment ce ZF nici nu dovedește, nici nu infirmă ipoteza continuumului, rămâne întrebarea dacă trebuie acceptată ipoteza continuumului pe baza unui concept informal despre ceea ce sunt seturile. Răspunsul general în comunitatea matematică a fost negativ: ipoteza continuumului este o afirmație limitativă într-un context în care nu există niciun motiv cunoscut pentru a impune o limită. În teoria seturilor, operația power-set atribuie fiecărui set de cardinalitate ℵα ansamblul său de toate subansamblele, care are cardinalitatea 2ℵα. Nu pare să existe niciun motiv pentru a impune o limită asupra varietății de subansamble pe care le poate avea un ansamblu infinit.

.