Homomorfism
Câteva tipuri de homomorfisme au un nume specific, care este definit și pentru morfismele generale.
IsomorfismEdit
Un izomorfism între structuri algebrice de același tip este definit în mod obișnuit ca un homomorfism bijectiv.:134 :28
În contextul mai general al teoriei categoriilor, un izomorfism este definit ca un morfism care are un invers care este de asemenea un morfism. În cazul specific al structurilor algebrice, cele două definiții sunt echivalente, deși ele pot fi diferite pentru structurile nealgebrice, care au un ansamblu subiacent.
Mai precis, dacă
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
este un (homo)morfism, acesta are un invers dacă există un homomorfism
g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
astfel încât
f ∘ g = Id B și g ∘ f = Id A . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{și}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Dacă A {\displaystyle A}
și B {\displaystyle B}
au seturi subiacente, iar f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
are un invers g {\displaystyle g}
, atunci f {\displaystyle f}
este bijectivă. De fapt, f {\displaystyle f}
este injectivă, deoarece f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
implică x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}.
, iar f {\displaystyle f}
este surjectivă, deoarece, pentru orice x {\displaystyle x}
în B {\displaystyle B}
, se are x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, iar x {\displaystyle x}
este imaginea unui element din A {\displaystyle A}
.
În mod invers, dacă f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
este un homomorfism bijectiv între structuri algebrice, fie g : B → A {\displaystyle g:B\to A}
să fie harta astfel încât g ( y ) {\displaystyle g(y)}
este singurul element x {\displaystyle x}
din A {\displaystyle A}.
astfel încât f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. Se are f ∘ g = Id B și g ∘ f = Id A , {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ și }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}
și rămâne doar să arătăm că g este un homomorfism. Dacă ∗ {\displaystyle *}
este o operație binară a structurii, pentru fiecare pereche x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y}
de elemente din B {\displaystyle B}
, se are g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ∗ B f ( g ( g ( y ) ) ) = g ( f ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y)),}
și g {\displaystyle g}
este astfel compatibil cu ∗ . {\displaystyle *.}
Cum demonstrația este similară pentru orice aritmetică, aceasta arată că g {\displaystyle g}
este un homomorfism.
Această demonstrație nu funcționează pentru structuri nealgebrice. De exemplu, pentru spațiile topologice, un morfism este o hartă continuă, iar inversul unei hărți continue bijective nu este neapărat continuu. Un izomorfism al spațiilor topologice, numit homeomorfism sau hartă bicontinuă, este astfel o hartă continuă bijectivă, a cărei inversă este de asemenea continuă.
EndomorfismEdit
Un endomorfism este un homomorfism al cărui domeniu este egal cu codominiul sau, mai general, un morfism a cărui sursă este egală cu ținta.:135
Endomorfismele unei structuri algebrice sau ale unui obiect al unei categorii formează un monoid sub compoziție.
Endomorfismele unui spațiu vectorial sau ale unui modul formează un inel. În cazul unui spațiu vectorial sau al unui modul liber de dimensiune finită, alegerea unei baze induce un izomorfism de inel între inelul endomorfismelor și inelul matricelor pătrate de aceeași dimensiune.
AutomorfismEdit
Un automorfism este un endomorfism care este și un izomorfism.:135
Automorfismele unei structuri algebrice sau ale unui obiect al unei categorii formează un grup sub compunere, care se numește grupul de automorfisme al structurii respective.
Multe grupuri care au primit un nume sunt grupuri de automorfisme ale unor structuri algebrice. De exemplu, grupul liniar general GL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
este grupul de automorfism al unui spațiu vectorial de dimensiune n {\displaystyle n}
pe un câmp k {\displaystyle k}
.
Grupurile de automorfisme ale câmpurilor au fost introduse de Évariste Galois pentru a studia rădăcinile polinoamelor și stau la baza teoriei lui Galois.
MonomorfismEdit
Pentru structurile algebrice, monomorfismele sunt definite în mod obișnuit ca homomorfisme injective.:134 :29
În contextul mai general al teoriei categoriilor, un monomorfism este definit ca un morfism care este anulabil la stânga. Aceasta înseamnă că un (homo)morfism f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
este un monomorfism dacă, pentru orice pereche g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
de morfisme din orice alt obiect C {\displaystyle C}
către A {\displaystyle A}
, atunci f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
implică g = h {\displaystyle g=h}
.
Aceste două definiții ale monomorfismului sunt echivalente pentru toate structurile algebrice uzuale. Mai precis, ele sunt echivalente pentru câmpuri, pentru care orice homomorfism este un monomorfism, și pentru varietățile algebrei universale, adică structuri algebrice pentru care operațiile și axiomele (identitățile) sunt definite fără nici o restricție (câmpurile nu sunt o varietate, deoarece inversul multiplicativ este definit fie ca operație unară, fie ca o proprietate a înmulțirii, care sunt, în ambele cazuri, definite numai pentru elemente nenule).
În particular, cele două definiții ale unui monomorfism sunt echivalente pentru seturi, magme, semigrupuri, monoizi, grupuri, inele, câmpuri, spații vectoriale și module.
Un monomorfism divizat este un omomorfism care are un invers stâng și astfel este el însuși un invers drept al acelui alt omomorfism. Adică, un homomorfism f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
este un monomorfism de divizare dacă există un homomorfism g : B → A {\displaystyle g\colon B\la A}
astfel încât g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Un monomorfism divizat este întotdeauna un monomorfism, pentru ambele sensuri ale monomorfismului. Pentru seturi și spații vectoriale, orice monomorfism este un monomorfism divizat, dar această proprietate nu este valabilă pentru majoritatea structurilor algebrice obișnuite.
Un homomorfism injectiv este anulabil la stânga: Dacă f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
se are f ( g ( x ) ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
pentru orice x {\displaystyle x}
în C {\displaystyle C}
, sursa comună a lui g {\displaystyle g}
și h {\displaystyle h}
. Dacă f {\displaystyle f}
este injectivă, atunci g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}.
, și astfel g = h {\displaystyle g=h}
. Această demonstrație funcționează nu numai pentru structurile algebrice, ci și pentru orice categorie ale cărei obiecte sunt seturi, iar săgețile sunt hărți între aceste seturi. De exemplu, o hartă continuă injectivă este un monomorfism în categoria spațiilor topologice.
Pentru a demonstra că, invers, un homomorfism anulabil la stânga este injectiv, este util să considerăm un obiect liber pe x {\displaystyle x}
. Dată fiind o varietate de structuri algebrice, un obiect liber pe x {\displaystyle x}
este o pereche formată dintr-o structură algebrică L {\displaystyle L}
din această varietate și un element x {\displaystyle x}
din L {\displaystyle L}
care satisface următoarea proprietate universală: pentru orice structură S {\displaystyle S}
a varietății, și pentru orice element s {\displaystyle s}
din S {\displaystyle S}
, există un homomorfism unic f : L → S {\displaystyle f:L\to S}
astfel încât f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. De exemplu, pentru seturi, obiectul liber pe x {\displaystyle x}
este pur și simplu { x } {\displaystyle \{x\}}}.
; pentru semigrupuri, obiectul liber pe x {\displaystyle x}
este { x , x 2 , … , x n , … } }. , {\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
care, ca semigrup, este izomorf cu semigrupul aditiv al numerelor întregi pozitive; pentru monoizi, obiectul liber pe x {\displaystyle x}
este { 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
care, ca monoid, este izomorf cu monoidul aditiv al numerelor întregi nenegative; pentru grupuri, obiectul liber pe x {\displaystyle x}
este grupul ciclic infinit { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , … , x n , … } , {\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}
care, ca grup, este izomorf cu grupul aditiv al numerelor întregi; pentru inele, obiectul liber pe x {\displaystyle x}
} este inelul polinomial Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
pentru spații vectoriale sau module, obiectul liber pe x {\displaystyle x}
este spațiul vectorial sau modulul liber care are ca bază x {\displaystyle x}
.
Dacă există un obiect liber peste x {\displaystyle x}
, atunci orice homomorfism anulabil la stânga este injectiv: fie f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
să fie un omomorfism anulabil la stânga, iar a {\displaystyle a}
și b {\displaystyle b}
să fie două elemente din A {\displaystyle A}.
astfel încât f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Prin definiția obiectului liber F {\displaystyle F}
, există homomorfismele g {\displaystyle g}
și h {\displaystyle h}
din F {\displaystyle F}
până la A {\displaystyle A}
astfel încât g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
și h ( x ) = b {\displaystyle h(x)=b}
. Deoarece f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, se are f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
prin unicitatea din definiția unei proprietăți universale. Deoarece f {\displaystyle f}
este anulabilă la stânga, se are g = h {\displaystyle g=h}
, și astfel a = b {\displaystyle a=b}
. Prin urmare, f {\displaystyle f}
este injectivă.
Existența unui obiect liber pe x {\displaystyle x}
pentru o varietate (vezi și Obiect liber § Existență): Pentru construirea unui obiect liber pe x {\displaystyle x}
, se consideră ansamblul W {\displaystyle W}
al formulelor bine formate construite din x {\displaystyle x}
și al operațiilor din structură. Două astfel de formule se spun echivalente dacă se poate trece de la una la cealaltă prin aplicarea axiomelor (identităților structurii). Aceasta definește o relație de echivalență, dacă identitățile nu sunt supuse unor condiții, adică dacă se lucrează cu o varietate. Atunci operațiile varietății sunt bine definite pe ansamblul claselor de echivalență ale lui W {\displaystyle W}.
pentru această relație. Este simplu de demonstrat că obiectul rezultat este un obiect liber pe W {\displaystyle W}.
.
EpimorfismEdit
În algebră, epimorfismele sunt adesea definite ca homomorfisme surjective. 134:43 Pe de altă parte, în teoria categoriilor, epimorfismele sunt definite ca morfisme anulabile la dreapta. Aceasta înseamnă că un (homo)morfism f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
este un epimorfism dacă, pentru orice pereche g {\displaystyle g}
, h {\displaystyle h}
de morfisme din B {\displaystyle B}
către orice alt obiect C {\displaystyle C}
, egalitatea g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
implică g = h {\displaystyle g=h}
.
Un homomorfism surjectiv este întotdeauna anulabil la dreapta, dar inversul nu este întotdeauna adevărat pentru structurile algebrice. Cu toate acestea, cele două definiții ale epimorfismului sunt echivalente pentru seturi, spații vectoriale, grupuri abeliene, module (a se vedea mai jos pentru o demonstrație) și grupuri. Importanța acestor structuri în întreaga matematică, și în special în algebra liniară și în algebra omologică, poate explica coexistența a două definiții neechivalente.
Structurile algebrice pentru care există epimorfisme nesurjective includ semigrupuri și inele. Cel mai elementar exemplu este includerea numerelor întregi în numere raționale, care este un homomorfism de inele și de semigrupuri multiplicative. Pentru ambele structuri este un monomorfism și un epimorfism nesurjectiv, dar nu un izomorfism.
O generalizare largă a acestui exemplu este localizarea unui inel cu un ansamblu multiplicativ. Orice localizare este un epimorfism de inel, care nu este, în general, surjectiv. Deoarece localizările sunt fundamentale în algebra comutativă și în geometria algebrică, acest lucru poate explica de ce în aceste domenii se preferă, în general, definiția epimorfismelor ca homomorfisme anulabile la dreapta.
Un epimorfism divizat este un homomorfism care are un invers la dreapta și astfel este el însuși un invers la stânga al acelui alt homomorfism. Adică, un homomorfism f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
este un epimorfism divizat dacă există un homomorfism g : B → A {\displaystyle g\colon B\la A}
astfel încât f ∘ g = Id B . {\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}
Un epimorfism divizat este întotdeauna un epimorfism, pentru ambele sensuri ale epimorfismului. Pentru seturi și spații vectoriale, orice epimorfism este un epimorfism divizat, dar această proprietate nu este valabilă pentru majoritatea structurilor algebrice obișnuite.
În rezumat, se are
epimorfism divizat ⟹ epimorfism (surjectiv) ⟹ epimorfism (anulabil la dreapta) ; {\displaystyle {\text{epimorfism divizat}}\implică {\text{epimorfism (surjectiv)}}}implică {\text{epimorfism (anulabil la dreapta)}};}
ultima implicație este o echivalență pentru ansambluri, spații vectoriale, module și grupuri abeliene; prima implicație este o echivalență pentru ansambluri și spații vectoriale.
Let f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
să fie un homomorfism. Dorim să demonstrăm că, dacă nu este surjectiv, nu este anulabil la dreapta.
În cazul ansamblurilor, fie b {\displaystyle b}
un element din B {\displaystyle B}.
care nu aparține lui f ( A ) {\displaystyle f(A)}
, și să se definească g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B\to B}
astfel încât g {\displaystyle g}
este funcția identitate, și că h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}.
pentru orice x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
cu excepția faptului că h ( b ) {\displaystyle h(b)}
este orice alt element din B {\displaystyle B}.
. Este clar că f {\displaystyle f}
nu este anulabil la dreapta, deoarece g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
și g ∘ f = h ∘ f . {\displaystyle g\circ f=h\circ f.}
În cazul spațiilor vectoriale, al grupurilor abeliene și al modulelor, dovada se bazează pe existența cocernelor și pe faptul că hărțile zero sunt homomorfisme: Fie C {\displaystyle C}
să fie cokernelul lui f {\displaystyle f}
, iar g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}
să fie harta canonică, astfel încât g ( f ( A ) ) = 0 {\displaystyle g(f(A))=0}
. Fie h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}
să fie harta zero. Dacă f {\displaystyle f}
nu este surjectivă, C ≠ 0 {\displaystyle C\neq 0}
, și astfel g ≠ h {\displaystyle g\neq h}
(una este o hartă zero, în timp ce cealaltă nu este). Astfel, f {\displaystyle f}
nu este anulabilă, deoarece g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
(ambele sunt harta zero din A {\displaystyle A}
la C {\displaystyle C}
).
Leave a Reply