Homeomorfism

Spațiu topologic

Unul dintre cele mai de bază concepte structurale în topologie este acela de a transforma un ansamblu X într-un spațiu topologic prin specificarea unei colecții de subansambluri T din X. O astfel de colecție trebuie să satisfacă trei axiome: (1) setul X însuși și setul gol sunt membri ai lui T, (2) intersecția oricărui număr finit de seturi din T se află în T și (3) uniunea oricărei colecții de seturi din T se află în T. Seturile din T se numesc seturi deschise, iar T se numește o topologie pe X. De exemplu, linia numerelor reale devine un spațiu topologic atunci când topologia sa este specificată ca fiind colecția tuturor uniunilor posibile de intervale deschise – cum ar fi (-5, 2), (1/2, π), (0, rădăcina pătrată a lui√2), ….. (Un proces analog produce o topologie pe un spațiu metric.) Alte exemple de topologii pe seturi apar pur în termeni de teorie a seturilor. De exemplu, colecția tuturor subansamblurilor unui set X se numește topologie discretă pe X, iar colecția formată doar din setul gol și X însuși formează topologia indiscretă, sau trivială, pe X. Un spațiu topologic dat dă naștere altor spații topologice înrudite. De exemplu, un subansamblu A al unui spațiu topologic X moștenește o topologie, numită topologie relativă, de la X atunci când ansamblurile deschise ale lui A sunt considerate intersecții ale lui A cu ansamblurile deschise ale lui X. Varietatea extraordinară a spațiilor topologice oferă o sursă bogată de exemple pentru a motiva teoreme generale, precum și contraexemple pentru a demonstra conjecturi false. Mai mult, generalitatea axiomelor pentru un spațiu topologic le permite matematicienilor să privească multe tipuri de structuri matematice, cum ar fi colecțiile de funcții în analiză, ca spații topologice și, astfel, să explice fenomenele asociate în moduri noi.

Un spațiu topologic poate fi definit, de asemenea, printr-un set alternativ de axiome care implică seturi închise, care sunt complemente ale seturilor deschise. În considerarea timpurie a ideilor topologice, în special pentru obiectele din spațiul euclidian n-dimensional, seturile închise apăruseră în mod natural în investigarea convergenței secvențelor infinite (vezi serii infinite). Adesea este convenabil sau util să se presupună axiome suplimentare pentru o topologie pentru a stabili rezultate care sunt valabile pentru o clasă semnificativă de spații topologice, dar nu pentru toate spațiile topologice. O astfel de axiomă impune ca două puncte distincte să aparțină unor seturi deschise disjuncte. Un spațiu topologic care satisface această axiomă a ajuns să fie numit spațiu Hausdorff.

.