Giroid

Giroidul este singurul membru înglobat non-trivial al familiei de asociați ai suprafețelor Schwarz P și D. Unghiul său de asociere în raport cu suprafața D este de aproximativ 38,01°. Giroidul este similar cu lidinoidul. Giroidul a fost descoperit în 1970 de către omul de știință Alan Schoen de la NASA. Acesta a calculat unghiul de asociere și a făcut o demonstrație convingătoare cu ajutorul unor imagini ale unor modele complexe din plastic, dar nu a furnizat o dovadă a încorporării. Schoen a observat că giroidul nu conține nici linii drepte, nici simetrii plane. Karcher a oferit un tratament diferit, mai contemporan, al suprafeței în 1989, folosind construcția suprafețelor conjugate. În 1996 Große-Brauckmann și Wohlgemuth au demonstrat că este înglobată, iar în 1997 Große-Brauckmann a furnizat variante CMC ale giroidei și a făcut investigații numerice suplimentare despre fracțiile de volum ale giroidelor minime și CMC (curbură medie constantă).

Giroida separă spațiul în două labirinturi de trecere congruente opuse. Giroida are grupa spațială I4132 (nr. 214). Canalele traversează labirinturile giroidei în direcțiile (100) și (111); pasajele ies la unghiuri de 70,5 grade față de orice canal dat, pe măsură ce acesta este traversat, direcția în care fac acest lucru girând în josul canalului, ceea ce dă naștere denumirii de „giroidă”. O modalitate de vizualizare a suprafeței este să ne imaginăm „catenoizii pătrați” ai suprafeței P (formați din două pătrate în planuri paralele, cu o talie aproape circulară); rotația în jurul marginilor pătratului generează suprafața P. În familia asociată, aceste catenoide pătrate se „deschid” (similar cu modul în care catenoidul se „deschide” într-un helicoid) pentru a forma panglici rotitoare, apoi devin în cele din urmă suprafața Schwarz D. Pentru o valoare a parametrului familiei asociate, panglicile giratorii se află exact în locațiile necesare pentru a avea o suprafață înglobată.

Giroida este singura suprafață minimă triplu periodică înglobată cunoscută care posedă joncțiuni triple și nu are linii de simetrie reflexivă, spre deosebire de cele cinci suprafețe minime studiate de Anderson et al. în 1990.

Giroidul se referă la membrul care face parte din familia asociată a suprafeței Schwarz P, dar de fapt giroidul există în mai multe familii care păstrează diferite simetrii ale suprafeței; o discuție mai completă a familiilor acestor suprafețe minime apare în suprafețe minime triplu periodice.

În mod curios, ca și alte suprafețe minime triplu periodice, suprafața giroidă poate fi aproximată trigonometric printr-o scurtă ecuație:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}.