Geometrie diferențială
Geometrie diferențială, ramură a matematicii care studiază geometria curbelor, a suprafețelor și a mulțimilor (analogii supradimensionali ai suprafețelor). Disciplina își datorează numele utilizării ideilor și tehnicilor din calculul diferențial, deși materia modernă folosește adesea în schimb tehnici algebrice și pur geometrice. Deși definițiile de bază, notațiile și descrierile analitice variază foarte mult, prevalează următoarele întrebări geometrice: Cum se măsoară curbura unei curbe în interiorul unei suprafețe (intrinsecă) față de curbura în spațiul înconjurător (extrinsecă)? Cum poate fi măsurată curbura unei suprafețe? Care este cea mai scurtă cale în interiorul unei suprafețe între două puncte de pe suprafață? Cum se leagă cea mai scurtă cale pe o suprafață de conceptul de linie dreaptă?
În timp ce curbele au fost studiate încă din antichitate, descoperirea calculului în secolul al XVII-lea a deschis studiul curbelor plane mai complicate – cum ar fi cele produse de matematicianul francez René Descartes (1596-1650) cu „compasul” său (vezi Istoria geometriei: geometria carteziană). În special, calculul integral a condus la soluții generale ale vechilor probleme de găsire a lungimii arcului curbelor plane și a ariei figurilor plane. Acest lucru, la rândul său, a deschis calea spre investigarea curbelor și suprafețelor în spațiu – o investigație care a reprezentat începutul geometriei diferențiale.
Câteva dintre ideile fundamentale ale geometriei diferențiale pot fi ilustrate de către strachină, o bandă spiralată adesea proiectată de ingineri pentru a oferi suport structural unor cilindri mari de metal, cum ar fi coșurile de fum. O strake poate fi formată prin tăierea unei benzi inelare (regiunea dintre două cercuri concentrice) dintr-o foaie plată de oțel și apoi prin îndoirea acesteia într-o spirală care se înfășoară în jurul cilindrului, așa cum este ilustrat în figură. Care ar trebui să fie raza r a inelului pentru a produce cea mai bună potrivire? Geometria diferențială furnizează soluția la această problemă prin definirea unei măsuri precise pentru curbura unei curbe; apoi r poate fi ajustată până când curbura marginii interioare a inelului se potrivește cu curbura spiralei.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Rămâne o întrebare importantă: Poate fi îndoită banda inelară, fără a se întinde, astfel încât să formeze o bretea în jurul cilindrului? În special, aceasta înseamnă că distanțele măsurate de-a lungul suprafeței (intrinsecă) sunt neschimbate. Se spune că două suprafețe sunt izometrice dacă una poate fi îndoită (sau transformată) în cealaltă fără a modifica distanțele intrinseci. (De exemplu, deoarece o foaie de hârtie poate fi rulată într-un tub fără a se întinde, foaia și tubul sunt „local” izometrice – numai local, deoarece se creează noi trasee, eventual mai scurte, prin conectarea celor două margini ale hârtiei). Astfel, a doua întrebare devine: Sunt banda inelară și strunga izometrice? Pentru a răspunde la această întrebare și la altele similare, geometria diferențială a dezvoltat noțiunea de curbură a unei suprafețe.
Leave a Reply