Ecuații diferențiale – Valori și funcții proprii
Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
Secțiunea 8-2 : Valori proprii și funcții proprii
Așa cum am făcut în secțiunea anterioară, trebuie să observăm din nou că vom face doar o scurtă trecere în revistă a subiectului valorilor proprii și a funcțiilor proprii pentru problemele cu valori limită. Există destul de multe idei pe care nu le vom examina aici. Intenția acestei secțiuni este pur și simplu de a vă da o idee despre subiect și de a face suficientă muncă pentru a ne permite să rezolvăm câteva ecuații cu derivate parțiale de bază în capitolul următor.
Acum, înainte de a începe să vorbim despre subiectul propriu-zis al acestei secțiuni, să ne amintim un subiect din Algebra liniară pe care l-am discutat pe scurt anterior în aceste note. Pentru o matrice pătrată dată, \(A\), dacă am putea găsi valori ale lui \(\lambda \) pentru care am putea găsi soluții non-zero, adică \(\vec x \ne \vec 0\), la,
\
atunci am numit \(\lambda \) o valoare proprie a lui \(A\) și \(\vec x\) a fost vectorul propriu corespunzător.
Este important să ne amintim aici că, pentru ca \(\lambda \) să fie o valoare proprie, atunci trebuia să putem găsi soluții diferite de zero la ecuație.
Deci, ce legătură are acest lucru cu problemele de valoare limită? Ei bine, întoarceți-vă la secțiunea anterioară și aruncați o privire la Exemplul 7 și Exemplul 8. În aceste două exemple am rezolvat BVP omogene (și asta este important!) de forma,
\
În Exemplul 7 am avut \(\lambda = 4\) și am găsit soluții non-triviale (adică non-zero) la BVP. În Exemplul 8 am folosit \(\lambda = 3\) și singura soluție a fost soluția trivială (adică \(y\left( t \right) = 0\))). Așadar, acest BVP omogen (reamintim că acest lucru înseamnă că și condițiile la limită sunt zero) pare să aibă un comportament similar cu cel din ecuația matricială de mai sus. Există valori ale lui \(\lambda \) care vor da soluții non-triviale la acest BVP și valori ale lui \(\lambda \) care vor admite doar soluția trivială.
Deci, pentru acele valori ale lui \(\lambda \) care dau soluții non-triviale vom numi \(\lambda \) o valoare proprie pentru BVP, iar soluțiile non-triviale vor fi numite funcții proprii pentru BVP corespunzătoare valorii proprii date.
Știm acum că pentru BVP-ul omogen dat în \(\(\eqref{eq:eq1}\) \(\lambda = 4\) este o valoare proprie (cu funcțiile proprii \(y\left( x \right) = {c_2}\sin \left( {2x} \right)\))) și că \(\lambda = 3\) nu este o valoare proprie.
În cele din urmă vom încerca să determinăm dacă există și alte valori proprii pentru \(\eqref{eq:eq1}\), însă înainte de a face acest lucru să comentăm pe scurt de ce este atât de important ca BVP-ul să fie omogen în această discuție. În Exemplul 2 și Exemplul 3 din secțiunea anterioară am rezolvat ecuația diferențială omogenă
\
cu două condiții la limită neomogene diferite de forma,
\
În aceste două exemple am văzut că prin simpla modificare a valorii lui \(a\) și/sau \(b\) am reușit să obținem fie soluții non-triviale, fie să forțăm absența oricărei soluții. În discuția despre valori proprii/funcții proprii avem nevoie ca soluțiile să existe și singura modalitate de a asigura acest comportament este de a cere ca și condițiile la limită să fie omogene. Cu alte cuvinte, avem nevoie ca BVP-ul să fie omogen.
Există un ultim subiect pe care trebuie să îl discutăm înainte de a trece la subiectul valorilor proprii și al funcțiilor proprii și acesta este mai mult o problemă de notație care ne va ajuta în unele dintre lucrările pe care va trebui să le facem.
Să presupunem că avem o ecuație diferențială de ordinul al doilea și că polinomul său caracteristic are două rădăcini reale, distincte și că acestea sunt de forma
\
Atunci știm că soluția este,
\
În timp ce nu este nimic în neregulă cu această soluție, haideți să facem o mică rescriere a acesteia. Vom începe prin a împărți termenii după cum urmează,
\
Acum vom adăuga/suprima următorii termeni (observați că „amestecăm” \({c_i}\) și \( \pm \,\alpha \) în noii termeni) pentru a obține,
\
În continuare, rearanjați puțin termenii,
\
În cele din urmă, cantitățile din paranteză se factorizează și vom muta și locația fracției. Făcând acest lucru, precum și redenumind noile constante, obținem,
\
Toată această muncă pare probabil foarte misterioasă și inutilă. Cu toate acestea, a existat într-adevăr un motiv pentru ea. De fapt, este posibil să fi văzut deja motivul, cel puțin în parte. Cele două funcții „noi” pe care le avem în soluția noastră sunt, de fapt, două dintre funcțiile hiperbolice. În particular,
\
Deci, un alt mod de a scrie soluția unei ecuații diferențiale de ordinul al doilea al cărei polinom caracteristic are două rădăcini reale, distincte, de forma \({r_1} = \alpha ,\,\,\,{r_2} = – \,\alpha \) este,
\
Având soluția în această formă pentru unele (de fapt, majoritatea) problemelor pe care le vom analiza, ne va ușura mult viața. Funcțiile hiperbolice au câteva proprietăți foarte frumoase de care putem (și vom) profita.
În primul rând, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu, derivatele sunt,
\
În continuare să aruncăm o privire rapidă la graficele acestor funcții.
Rețineți că \(\cosh \left( 0 \right) = 1\) și \(\sinh \left( 0 \right) = 0\). Deoarece vom lucra deseori cu condiții la limită la \(x = 0\), acestea vor fi evaluări utile.
În continuare, și posibil mai important, să observăm că \(\cosh \left( x \right) > 0\) pentru toate \(x\) și astfel cosinusul hiperbolic nu va fi niciodată zero. De asemenea, putem observa că \(\sinh \stânga( x \dreapta) = 0\) numai dacă \(x = 0\). Vom folosi aceste două fapte în unele dintre lucrările noastre, așa că nu ar trebui să le uităm.
Bine, acum că am lămurit toate acestea, haideți să lucrăm un exemplu pentru a vedea cum găsim valorile proprii/funcțiile proprii pentru un BVP.
Am început această secțiune analizând acest BVP și cunoaștem deja o valoare proprie (\(\lambda = 4\)) și cunoaștem o valoare a lui \(\lambda \) care nu este o valoare proprie (\(\lambda = 3\)). Pe măsură ce lucrăm aici, trebuie să ne amintim că vom obține o valoare proprie pentru o anumită valoare a lui \(\lambda \) dacă obținem soluții non-triviale ale BVP pentru acea anumită valoare a lui \(\lambda \).
Pentru a ști că am găsit toate valorile proprii, nu putem începe să încercăm la întâmplare valori ale lui \(\lambda \) pentru a vedea dacă obținem soluții non-triviale sau nu. Din fericire, există o modalitate de a face acest lucru care nu este prea rea și care ne va oferi toate valorile proprii/funcțiile proprii. Totuși, va trebui să facem câteva cazuri. Cele trei cazuri pe care va trebui să le analizăm sunt : \(\lambda > 0\), \(\lambda = 0\), și \(\lambda < 0\). Fiecare dintre aceste cazuri oferă o formă specifică a soluției BVP la care putem aplica apoi condițiile la limită pentru a vedea dacă vom obține sau nu soluții non-triviale. Așadar, haideți să începem cu cazurile.
\(\underline {\lambda > 0} \)
În acest caz, polinomul caracteristic pe care îl obținem din ecuația diferențială este,
\
În acest caz, deoarece știm că \(\lambda > 0\) aceste rădăcini sunt complexe și le putem scrie în schimb sub forma,
\
Soluția generală a ecuației diferențiale este atunci,
\
Aplicând prima condiție la limită ne dă,
\
Acum, luând în considerare acest lucru și aplicând a doua condiție la limită obținem,
\
Aceasta înseamnă că trebuie să avem una dintre următoarele,
\
Dar, reamintim că dorim soluții netriviale și dacă avem prima posibilitate vom obține soluția trivială pentru toate valorile lui \(\lambda > 0\). Prin urmare, să presupunem că \({c_2} \ne 0\). Aceasta înseamnă că avem,
\
Cu alte cuvinte, profitând de faptul că știm unde sinusul este zero, putem ajunge la a doua ecuație. De asemenea, rețineți că, deoarece presupunem că \(\lambda > 0\), știm că \(2\pi \sqrt \lambda > 0\)și astfel \(n\) nu poate fi decât un număr întreg pozitiv pentru acest caz.
Acum tot ce trebuie să facem este să rezolvăm acest lucru pentru \(\lambda \) și vom avea toate valorile proprii pozitive pentru acest BVP.
Valorile proprii pozitive sunt atunci,
\
și funcțiile proprii care corespund acestor valori proprii sunt,
\
Rețineți că am scris un \(n\\) pe valorile proprii și funcțiile proprii pentru a indica faptul că există unul pentru fiecare dintre valorile date ale lui \(n\). De asemenea, rețineți că am renunțat la \({c_2}\) pe funcțiile proprii. Pentru funcțiile proprii suntem interesați doar de funcția în sine și nu de constanta din fața ei, așa că, în general, renunțăm la aceasta.
Să trecem acum la al doilea caz.
\(\underline {\lambda = 0} \)
În acest caz BVP devine,
\
și integrând ecuația diferențială de câteva ori ne dă soluția generală,
\
Aplicând prima condiție la limită rezultă,
\
Aplicând a doua condiție la limită, precum și rezultatele primei condiții la limită, rezultă,
\
În acest caz, spre deosebire de primul caz, nu avem posibilitatea de a alege cum să facem acest zero. Aceasta va fi zero doar dacă \({c_2} = 0\).
În consecință, pentru acest BVP (și acest lucru este important), dacă avem \(\lambda = 0\), singura soluție este soluția trivială și astfel \(\lambda = 0\) nu poate fi o valoare proprie pentru acest BVP.
Acum să analizăm cazul final.
\(\underline {\lambda < 0} \)
În acest caz, ecuația caracteristică și rădăcinile sale sunt aceleași ca în primul caz. Așadar, știm că,
\
Cu toate acestea, deoarece presupunem aici \(\lambda < 0\), acestea sunt acum două rădăcini reale distincte și astfel, folosind munca noastră de mai sus pentru aceste tipuri de rădăcini reale, distincte, știm că soluția generală va fi,
\
Rețineți că am fi putut folosi aici forma exponențială a soluției, dar munca noastră va fi semnificativ mai ușoară dacă vom folosi aici forma hiperbolică a soluției.
Acum, aplicând prima condiție la limită rezultă,
\
Aplicând a doua condiție la limită rezultă,
\
Pentru că presupunem \(\lambda < 0\) știm că \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) și deci știm, de asemenea, că \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { – \lambda } } \drept) \ne 0\). Prin urmare, la fel ca în al doilea caz, trebuie să avem \({c_2} = 0\).
Deci, pentru acest BVP (din nou acest lucru este important), dacă avem \(\lambda < 0\) obținem doar soluția trivială și deci nu există valori proprii negative.
În concluzie, atunci vom avea următoarele valori proprii/funcții proprii pentru acest BVP.
\
Să ne uităm la un alt exemplu cu condiții la limită ușor diferite.
Aici vom lucra cu condiții la limită derivate. Cu toate acestea, munca este destul de identică cu cea din exemplul anterior, așa că nu vom intra în atâtea detalii aici. Va trebui să parcurgem toate cele trei cazuri la fel ca în exemplul anterior, așa că haideți să începem cu asta.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Soluția generală a ecuației diferențiale este identică cu cea din exemplul anterior și astfel avem,
\
Aplicând prima condiție la limită obținem,
\
Reamintim că aici presupunem că \(\lambda > 0\) și deci aceasta va fi zero doar dacă \({c_2} = 0\). Acum, a doua condiție la limită ne dă,
\
Reamintim că nu dorim soluții triviale și că \(\lambda > 0\), astfel încât vom obține soluții non-triviale numai dacă cerem ca,
\
Soluționând pentru \(\lambda \) și vedem că obținem exact aceleași valori proprii pozitive pentru acest BVP pe care le-am obținut în exemplul anterior.
\
Funcțiile proprii care corespund acestor valori proprii sunt însă,
\
Deci, pentru acest BVP obținem cosinusuri pentru funcțiile proprii care corespund valorilor proprii pozitive.
Acum, al doilea caz.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Soluția generală este,
\
Aplicând prima condiție la limită se obține,
\
Utilizând aceasta, soluția generală este atunci,
\
și rețineți că aceasta va satisface trivial a doua condiție la limită,
\
Prin urmare, spre deosebire de primul exemplu, \(\lambda = 0\) este o valoare proprie pentru acest BVP, iar funcțiile proprii corespunzătoare acestei valori proprii sunt,
\
Din nou, rețineți că am renunțat la constanta arbitrară pentru funcțiile proprii.
În cele din urmă să ne ocupăm de cel de-al treilea caz.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Soluția generală aici este,
\
Aplicând prima condiție la limită rezultă,
\
Aplicând a doua condiție la limită rezultă,
\
Aplicând a doua condiție la limită rezultă,
\
Ca și în exemplul anterior, știm din nou că \(2\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) și deci \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { – \lambda } } \right) \ne 0\). Prin urmare, trebuie să avem \({c_1} = 0\).
Deci, pentru acest BVP nu avem din nou valori proprii negative.
În concluzie, vom avea următoarele valori proprii/funcții proprii pentru acest BVP.
\
Observați, de asemenea, că le putem combina dacă permitem ca lista de \(n\) pentru primul să înceapă de la zero în loc de unu. Acest lucru nu se va întâmpla adesea, dar atunci când se va întâmpla vom profita de el. Așadar, lista „oficială” de valori proprii/funcții proprii pentru acest BVP este,
\
Așadar, în cele două exemple anterioare am văzut că, în general, trebuie să luăm în considerare cazuri diferite pentru \(\lambda \), deoarece valori diferite vor conduce adesea la soluții generale diferite. Nu vă blocați prea mult în cazurile pe care le-am făcut aici. Vom rezolva în cea mai mare parte această ecuație diferențială particulară și, prin urmare, va fi tentant să presupunem că acestea sunt întotdeauna cazurile pe care le vom examina, dar există BVP-uri care vor necesita alte/diferite cazuri.
De asemenea, așa cum am văzut în cele două exemple, uneori unul sau mai multe dintre cazuri nu vor produce nicio valoare proprie. Acest lucru se va întâmpla adesea, dar, din nou, nu ar trebui să citim nimic în faptul că nu am avut valori proprii negative pentru niciunul dintre aceste două BVP-uri. Există BVP-uri care vor avea valori proprii negative.
Să ne uităm la un alt exemplu cu un set foarte diferit de condiții la limită. Acestea nu sunt condițiile la limită tradiționale pe care le-am analizat până în acest moment, dar vom vedea în capitolul următor cum acestea pot apărea din anumite probleme fizice.
Deci, în acest exemplu nu vom specifica de fapt soluția sau derivata sa la limite. În schimb, vom specifica pur și simplu că soluția trebuie să fie aceeași la cele două granițe și că derivata soluției trebuie să fie, de asemenea, aceeași la cele două granițe. De asemenea, acest tip de condiție la limită va fi de obicei pe un interval de forma în loc de așa cum am lucrat până în acest moment.
După cum am menționat mai sus, acest tip de condiții la limită apar foarte natural în anumite probleme fizice și vom vedea asta în capitolul următor.
Ca și în cazul celor două exemple anterioare, mai avem de analizat cele trei cazuri standard.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Soluția generală pentru acest caz este,
\
Aplicând prima condiție la limită și folosind faptul că cosinusul este o funcție pară (i.e.\(\(\cos \left( { – x} \right) = \cos \left( x \right)\)) și faptul că sinusul este o funcție impară (adică \(\sin \left( { – x} \right) = – \sin \left( x \right)\)). ne dă,
\
De data aceasta, spre deosebire de cele două exemple anterioare, acest lucru nu ne spune cu adevărat nimic. Am putea avea \(\sin \stânga( {\pi \sqrt \lambda } \dreapta) = 0\), dar este, de asemenea, complet posibil, oricum în acest punct al problemei, să avem și \({c_2} = 0\).
Așa că, să continuăm și să aplicăm a doua condiție la limită și să vedem dacă obținem ceva din asta.
\
Deci, obținem ceva foarte asemănător cu ceea ce am obținut după aplicarea primei condiții la limită. Din moment ce presupunem că \(\lambda > 0\), acest lucru ne spune că fie \(\sin \stânga( {\pi \sqrt \lambda } \dreapta) = 0\), fie \({c_1} = 0\).
Rețineți însă că dacă \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) \ne 0\) atunci va trebui să avem \({c_1} = {c_2} = 0\) și vom obține soluția trivială. Prin urmare, trebuie să cerem ca \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) și astfel, la fel cum am făcut pentru cele două exemple anterioare, putem obține acum valorile proprii,
\
Reamintind că \(\lambda > 0\) și putem vedea că trebuie să începem lista de posibile \(n\) de la unu în loc de zero.
Deci, acum cunoaștem valorile proprii pentru acest caz, dar cum rămâne cu funcțiile proprii. Soluția pentru o anumită valoare proprie este,
\
și nu avem nici un motiv să credem că oricare dintre cele două constante este zero sau diferită de zero, de altfel. În cazuri ca acestea, obținem două seturi de funcții proprii, câte unul corespunzător fiecărei constante. Cele două seturi de funcții proprii pentru acest caz sunt,
\
Acum, al doilea caz.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Soluția generală este,
\
Aplicând prima condiție la limită se obține,
\
Utilizând aceasta, soluția generală este atunci,
\
și rețineți că aceasta va satisface trivial a doua condiție la limită, așa cum am văzut în al doilea exemplu de mai sus. Prin urmare, avem din nou \(\lambda = 0\) ca valoare proprie pentru acest BVP, iar funcțiile proprii corespunzătoare acestei valori proprii sunt,
\
În cele din urmă, să ne ocupăm de al treilea caz.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Soluția generală în acest caz este,
\
Aplicând prima condiție la limită și folosind faptul că cosinusul hiperbolic este par și sinusul hiperbolic este impar se obține,
\
Acum, în acest caz presupunem că \(\lambda < 0\) și astfel știm că \(\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\) care la rândul său ne spune că \(\sinh \left( {\pi \sqrt { – \lambda } } \drept) \ne 0\). Prin urmare, trebuie să avem \({c_2} = 0\).
Să aplicăm acum a doua condiție la limită pentru a obține,
\
Potrivit ipotezei noastre privind \(\lambda \), din nou nu avem de ales aici decât să avem \({c_1} = 0\).
Prin urmare, în acest caz, singura soluție este soluția trivială și astfel, pentru acest BVP nu avem din nou valori proprii negative.
În concluzie, atunci vom avea următoarele valori proprii/funcții proprii pentru acest BVP.
\
Rețineți că am recunoscut că pentru \(\lambda > 0\) am avut două seturi de funcții proprii, enumerându-le pe fiecare în parte. De asemenea, le putem combina din nou pe ultimele două într-un singur set de valori și funcții proprii. Procedând astfel, obținem următorul set de valori proprii și funcții proprii.
\
Încă o dată, avem un exemplu fără valori proprii negative. Nu putem sublinia îndeajuns că acest lucru este mai mult o funcție a ecuației diferențiale cu care lucrăm decât orice altceva și că vor exista exemple în care putem obține valori proprii negative.
Acum, până în acest moment am lucrat doar cu o singură ecuație diferențială, așa că haideți să lucrăm un exemplu cu o ecuație diferențială diferită, doar pentru a ne asigura că nu ne blocăm prea mult în această ecuație diferențială.
Înainte de a lucra cu acest exemplu, să observăm că vom lucra în continuare marea majoritate a exemplelor noastre cu o singură ecuație diferențială pe care am folosit-o până în acest moment. Lucrăm cu această altă ecuație diferențială doar pentru a ne asigura că nu ne blocăm prea mult în utilizarea unei singure ecuații diferențiale.
Aceasta este o ecuație diferențială Euler și, prin urmare, știm că va trebui să găsim rădăcinile următoarei pătratice.
\
Rădăcinile acestei pătratice sunt,
\
Acum, vom avea din nou câteva cazuri cu care să lucrăm aici, însă acestea nu vor fi la fel ca în exemplele anterioare. Soluția va depinde de faptul dacă rădăcinile sunt sau nu reale distincte, duble sau complexe, iar aceste cazuri vor depinde de semnul/valoarea lui \(1 – \lambda \). Așadar, să trecem în revistă cazurile.
\(\underline {1 – \lambda < 0,\,\,\,\lambda > 1} \)
În acest caz, rădăcinile vor fi complexe și va trebui să le scriem în felul următor pentru a scrie soluția.
\
Scriind rădăcinile în acest mod, știm că \(\lambda – 1 > 0\) și deci \(\sqrt {\lambda – 1} \) este acum un număr real, de care avem nevoie pentru a scrie următoarea soluție,
\
Aplicând prima condiție la limită obținem,
\
A doua condiție la limită ne dă,
\
Pentru a evita soluția trivială pentru acest caz, vom cere,
\
Aceasta este o condiție mult mai complicată decât am văzut până în acest moment, dar în afară de asta facem același lucru. Deci, rezolvarea pentru \(\lambda \) ne dă următorul set de valori proprii pentru acest caz.
\
Rețineți că trebuie să începem lista de \(n\) de la unu și nu de la zero pentru a ne asigura că avem \(\lambda > 1\) așa cum presupunem pentru acest caz.
Funcțiile proprii care corespund acestor valori proprii sunt,
\
Acum cel de-al doilea caz.
\(\underline {1 – \lambda = 0,\,\,\,\,\,\lambda = 1} \)
În acest caz obținem o rădăcină dublă a lui \({r_{\,1,2}} = – 1\) și astfel soluția este,
\
Aplicând prima condiție la limită rezultă,
\
A doua condiție la limită dă,
\
Prin urmare, avem doar soluția trivială pentru acest caz și deci \(\lambda = 1\) nu este o valoare proprie.
Să ne ocupăm acum de al treilea (și ultimul) caz.
\(\underline {1 – \lambda > 0,\,\,\,\lambda < 1} \)
Acest caz va avea două rădăcini reale distincte și soluția este,
\
Aplicând prima condiție la limită rezultă,
\
Utilizând această soluție, soluția noastră devine,
\
Aplicând a doua condiție la limită se obține,
\
Acum, deoarece știm că \(\lambda \ne 1\) pentru acest caz, exponenții celor doi termeni din paranteză nu sunt identici și astfel termenul din paranteză nu este zero. Acest lucru înseamnă că nu putem avea decât,
\
și deci în acest caz avem doar soluția trivială și nu există valori proprii pentru care \(\lambda < 1\).
Unele valori proprii pentru acest BVP provin atunci din primul caz.
Acum am lucrat un exemplu care folosește o altă ecuație diferențială decât cea „standard” pe care am folosit-o până în acest moment. După cum am văzut în lucrare însă, procesul de bază a fost cam același. Am stabilit că există un număr de cazuri (trei aici, dar nu vor fi întotdeauna trei) care dau soluții diferite. Am examinat fiecare caz pentru a determina dacă sunt posibile soluții non-triviale și, dacă da, am găsit valorile proprii și funcțiile proprii corespunzătoare acelui caz.
Trebuie să lucrăm un ultim exemplu în această secțiune înainte de a părăsi această secțiune pentru câteva subiecte noi. Cele patru exemple pe care le-am lucrat până în acest punct au fost toate destul de simple (simplu fiind relativ, desigur…), însă nu vrem să plecăm fără să recunoaștem că multe probleme de valori proprii/funcții proprii sunt atât de simple.
În multe exemple nici măcar nu este posibil să obținem o listă completă a tuturor valorilor proprii posibile pentru un BVP. Adesea, ecuațiile pe care trebuie să le rezolvăm pentru a obține valorile proprii sunt dificil, dacă nu imposibil de rezolvat cu exactitate. Așadar, haideți să analizăm un astfel de exemplu pentru a vedea ce fel de lucruri se pot face pentru a obține cel puțin o idee despre cum arată valorile proprii în astfel de cazuri.
Condițiile la limită pentru acest BVP sunt destul de diferite de cele cu care am lucrat până în acest moment. Cu toate acestea, procesul de bază este același. Așadar, să începem cu primul caz.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Soluția generală a ecuației diferențiale este identică cu cea a primelor câteva exemple și astfel avem,
\
Aplicând prima condiție la limită ne dă,
\
A doua condiție la limită ne dă,
\
Deci, dacă lăsăm \({c_2} = 0\) vom obține soluția trivială și astfel, pentru a satisface această condiție la limită va trebui să cerem în schimb că,
\
Acum, această ecuație are soluții, dar va trebui să folosim unele tehnici numerice pentru a le obține. Pentru a vedea ce se întâmplă aici, să reprezentăm grafic \(\tan \stânga( {\sqrt \lambda } \dreapta)\) și \( – \sqrt \lambda \) pe același grafic. Iată graficul respectiv și observați că axa orizontală reprezintă de fapt valorile lui \(\sqrt \lambda \), deoarece acest lucru va face ca lucrurile să fie puțin mai ușor de văzut și de raportat la valori cu care suntem familiarizați.
Deci, valorile proprii pentru acest caz vor apărea acolo unde cele două curbe se intersectează. Le-am arătat primele cinci pe grafic și, din nou, ceea ce apare pe grafic este, de fapt, rădăcina pătrată a valorii proprii reale, după cum am observat.
Ceea ce este interesant de observat aici este că, cu cât mai departe pe grafic, cu atât valorile proprii se apropie mai mult de asimptotele tangentei și, astfel, vom profita de acest lucru și vom spune că, pentru valori proprii suficient de mari \(n\), putem aproxima valorile proprii cu locațiile (foarte bine cunoscute) ale asimptotelor tangentei.
Cât de mare este valoarea lui \(n\) înainte de a începe să folosim aproximarea va depinde de cât de mare este precizia pe care o dorim, dar din moment ce cunoaștem locația asimptotelor și pe măsură ce \(n\) crește, precizia aproximării va crește, astfel încât va fi destul de ușor de verificat pentru o anumită precizie.
În scopul acestui exemplu am găsit primele cinci numeric și apoi vom folosi aproximarea celorlalte valori proprii. Iată aceste valori/aproximații.
\
Numărul din paranteză după primele cinci este valoarea aproximativă a asimptotei. După cum putem vedea, acestea sunt puțin deplasate, dar în momentul în care ajungem la \(n = 5\), eroarea de aproximare este de 0,9862%. Deci, mai puțin de 1% eroare până când ajungem la \(n = 5\) și se va îmbunătăți doar pentru valori mai mari ale lui \(n\).
Funcțiile proprii pentru acest caz sunt,
\
unde valorile lui \({\lambda _{\,n}}\) sunt date mai sus.
Acum, acum că am scăpat de toată această muncă, să ne uităm la al doilea caz.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Soluția generală este,
\
Aplicând prima condiție la limită se obține,
\
Utilizând aceasta, soluția generală este atunci,
\
Aplicând a doua condiție la limită la aceasta rezultă,
\
Prin urmare, pentru acest caz obținem doar soluția trivială și deci \(\lambda = 0\) nu este o valoare proprie. Observați totuși că dacă a doua condiție la limită ar fi fost \(y’\stânga( 1 \dreapta) – y\stânga( 1 \dreapta) = 0\) atunci \(\lambda = 0\) ar fi fost o valoare proprie (cu funcțiile proprii \(y\stânga( x \dreapta) = x\)) și deci, din nou, trebuie să fim atenți să nu citim prea mult în munca noastră aici.
În cele din urmă să ne ocupăm de al treilea caz.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Soluția generală aici este,
\
Aplicând prima condiție la limită rezultă,
\
Utilizând aceasta, soluția generală devine,
\
Aplicând a doua condiție la limită la aceasta rezultă,
\
Acum, prin ipoteză știm că \(\lambda < 0\) și deci \(\sqrt { – \lambda } > 0\). Acest lucru, la rândul său, ne spune că \(\sinh \left( {\sqrt { – \lambda } } \right) > 0\) și știm că \(\cosh \left( x \right) > 0\) pentru toate \(x\). Prin urmare,
\
și deci trebuie să avem \({c_2} = 0\) și încă o dată în acest al treilea caz obținem soluția trivială și deci acest BVP nu va avea valori proprii negative.
În rezumat, singurele valori proprii pentru acest BVP provin din presupunerea că \(\lambda > 0\) și sunt date mai sus.
Am lucrat, așadar, mai multe exemple de valori proprii/funcții proprii în această secțiune. Înainte de a părăsi această secțiune, trebuie să observăm încă o dată că există o mare varietate de probleme diferite pe care le putem lucra aici și că am arătat doar o mână de exemple și, prin urmare, vă rugăm să nu plecați din această secțiune crezând că v-am arătat totul.
Scopul acestei secțiuni este de a ne pregăti pentru tipurile de probleme pe care le vom vedea în capitolul următor. De asemenea, în capitolul următor ne vom limita din nou la câteva probleme destul de simple și de bază pentru a ilustra una dintre cele mai comune metode de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale.
.
Leave a Reply