Coordonate baricentrice

La sfârșitul discuției despre Teorema lui Ceva, am ajuns la concluzia că, pentru orice punct K din interiorul ΔABC, există trei mase wA, wB și wC astfel încât, dacă sunt plasate la vârfurile corespunzătoare ale triunghiului, centrul lor de greutate (baricentrul) coincide cu punctul K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) a definit (1827) wA, wB și wC ca fiind coordonatele baricentrice ale lui K. (Este posibil să generalizăm și să considerăm și masele negative pentru punctele din afara triunghiului. Acest lucru nu este necesar pentru scopurile mele). Așa cum sunt definite, coordonatele baricentrice nu sunt unice. Masele kwA, kwB și kwC au exact același baricentru pentru orice k > 0. Astfel, coordonatele baricentrice sunt o formă de coordonate omogene generale care sunt utilizate în multe ramuri ale matematicii (și chiar în grafica pe calculator). Cu o condiție suplimentară

coordonatele baricentrice sunt definite în mod unic pentru fiecare punct din interiorul triunghiului. (Coordonatele baricentrice care satisfac (*) sunt cunoscute sub numele de coordonate areale deoarece, presupunând că aria lui ΔABC este 1, greutățile w sunt egale cu ariile triunghiurilor KBC, KAC și KAB). Deoarece centrul de greutate al oricăror două puncte se află pe segmentul de legătură, wA = 0 pentru punctele de pe BC, wB = 0 pentru punctele de pe AC și wC = 0 pe AB. Verticile A,B,C au coordonatele (1,0,0), (0,1,0) și, respectiv, (0,0,1).

Modul obișnuit de a defini baricentrul a trei puncte cu mase date (să numim astfel de puncte materiale) este de a plasa mai întâi suma maselor oricăror două puncte în baricentrul lor. Acum repetați aceeași operație (unidimensională) împerecheind noul și al treilea punct rămas. (Argumentul este formalizat în cadrul geometriei afine. Eu prefer să păstrez discuția intuitivă). Presupunând (*), dacă wA este menținut fix, la fel va fi și suma wB + wC. Rezultă atunci că, pentru două poziții posibile D și D’ ale baricentrului lui B și C, avem DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Prin urmare, KK’ este paralel cu BC. Cu alte cuvinte, ecuația wA = const descrie liniile paralele cu BC. După cum am observat deja, ecuația lui BC este wA = 0. O relație similară există între wB și AC și wC și AB.

Dacă Mb și Mc sunt punctele medii ale lui AC și respectiv AB, atunci ecuația lui MbMc este wA = 1/2. În mod similar, MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} și MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Să ne uităm la diagrama din dreapta. În triunghiul albastru, toate cele trei coordonatesunt mai mici decât 1/2. Prin urmare, prima cifră a reprezentării lor binare este zero. În triunghiurile roșii, două coordonate sunt mai mici de 1/4, în timp ce a treia este cuprinsă între 1/2 și 3/4. Prin urmare, în triunghiurile roșii, toate cele trei coordonate au a doua cifră binară zero. Acest lucru conduce la procedura de eliminare a tremei pentru construirea garniturii Sierpinski și oferă un indiciu pentru descrierea acesteia în coordonatele baricentrice.

Coordonatele baricentrice apar în mod natural ori de câte ori mărimile variabile au o sumă constantă. Problema celor trei pahare, în care turnăm apă dintr-un pahar în altul în ipoteza nerealistă că în acest proces nu se va vărsa nicio picătură de apă, este un exemplu relevant. Problema ilustrează foarte bine conceptul de coordonate baricentrice.

Centrul baricentric și coordonatele baricentrice

1. Cadrilaterul 3D – o problemă de sicriu
2. Coordonate baricentrice
3. Coordonate baricentrice: un instrument
4. Coordonate baricentrice și probabilități geometrice
   • Bățul rupt în trei bucăți (coordonate triliniare)
   • Bățul rupt în trei bucăți (coordonate carteziene)
5. Teorema lui Ceva
6. Determinanți, arie, și coordonate baricentrice
8. Teorema lui Maxwell prin intermediul centrului de greutate
9. Bimedii într-un cvadrilater
10. Generalizarea simultană a teoremelor lui Ceva și Menelaus
    • Teoremele lui Ceva și Menelaus, o generalizare ilustrată
11. Puzzle cu trei pahare
12. Teorema lui Van Obel și coordonatele baricentrice
13. 1961 IMO, Problema 4. Un exercițiu de coordonate baricentrice
14. Centroide în poligon
15. Centrul de greutate și mișcarea punctelor materiale
16. Reciprocitatea izotomică
17. Un afine Proprietatea baricentrului
18. Problema asemănării directe
19. Cercuri în coordonate baricentrice
20. Baricentrul triunghiului cevian
21. Corele concurente ale unui cerc, Înclinate în mod egal

|Contact|||Prima pagină|||Contenit|||Geometrie||