Teoria de Galois

Pré-históriaEditar

Teoria de Galois originada no estudo das funções simétricas – os coeficientes de um polinômio mono são (até o sinal) os polinômios simétricos elementares nas raízes. Por exemplo, (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, onde 1, a + b e ab são os polinômios elementares de grau 0, 1 e 2 em duas variáveis.

Esta foi formalizada pela primeira vez pelo matemático francês do século XVI François Viète, nas fórmulas de Viète, para o caso das raízes reais positivas. Na opinião do matemático britânico do século XVIII Charles Hutton, a expressão dos coeficientes de um polinômio em termos de raízes (não apenas de raízes positivas) foi primeiramente compreendida pelo matemático francês do século XVII Albert Girard; Hutton escreve:

… a primeira pessoa que compreendeu a doutrina geral da formação dos coeficientes dos poderes a partir da soma das raízes e seus produtos. Ele foi o primeiro que descobriu as regras para a soma dos poderes das raízes de qualquer equação.

Nesta linha, o discriminante é uma função simétrica nas raízes que reflete as propriedades das raízes – é zero se e somente se o polinômio tiver uma raiz múltipla, e para os polinômios quadráticos e cúbicos é positivo se e somente se todas as raízes forem reais e distintas, e negativo se e somente se houver um par de raízes conjugadas complexas distintas. Veja Discriminant:Nature of the roots para detalhes.

O cúbico foi parcialmente resolvido pela primeira vez pelo matemático italiano Scipione del Ferro do século 15-16, que no entanto não publicou os seus resultados; este método, no entanto, apenas resolveu um tipo de equação cúbica. Esta solução foi então redescoberta independentemente em 1535 por Niccolò Fontana Tartaglia, que a partilhou com Gerolamo Cardano, pedindo-lhe que não a publicasse. Cardano então estendeu esta solução a numerosos outros casos, usando argumentos semelhantes; veja mais detalhes no método de Cardano. Após a descoberta do trabalho de del Ferro, ele sentiu que o método de Tartaglia não era mais secreto, e assim ele publicou sua solução na sua Ars Magna de 1545. Seu aluno Lodovico Ferrari resolveu o polinômio quartic; sua solução também foi incluída na Ars Magna. Neste livro, porém, Cardano não forneceu uma “fórmula geral” para a solução de uma equação cúbica, pois não tinha números complexos à sua disposição, nem a notação algébrica para ser capaz de descrever uma equação cúbica geral. Com o benefício da notação moderna e dos números complexos, as fórmulas deste livro funcionam no caso geral, mas Cardano não sabia disso. Foi Rafael Bombelli quem conseguiu entender como trabalhar com números complexos para resolver todas as formas de equação cúbica.

Um outro passo foi o livro Réflexions sur la résolution algébrique des équations de 1770 do matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange, em seu método de resolução de Lagrange, onde analisou a solução de Cardano e Ferrari de cúbicos e quartis, considerando-as em termos de permutações das raízes, o que resultou em um polinômio auxiliar de menor grau, proporcionando uma compreensão unificada das soluções e lançando as bases para a teoria dos grupos e a teoria de Galois. No entanto, de forma crucial, ele não considerou a composição das permutações. O método de Lagrange não se estendeu a equações quínticas ou superiores, porque o resolvente tinha maior grau.

O quíntico quase não tinha soluções gerais por radicais por Paolo Ruffini em 1799, cuja percepção chave era usar grupos de permutação, e não apenas uma única permutação. Sua solução continha uma lacuna, que Cauchy considerava menor, embora esta não tenha sido remendada até o trabalho do matemático norueguês Niels Henrik Abel, que publicou uma prova em 1824, estabelecendo assim o teorema de Abel-Ruffini.

Embora Ruffini e Abel estabelecessem que o quíntico geral não poderia ser resolvido, alguns quinóticos particulares podem ser resolvidos, como x5 – 1 = 0, e o critério preciso pelo qual um determinado quíntico ou polinômio superior poderia ser determinado como solvível ou não foi dado por Évariste Galois, que mostrou que se um polinômio era solvível ou não era equivalente a se o grupo de permutação de suas raízes – em termos modernos, seu grupo Galois – tinha ou não uma certa estrutura – em termos modernos, se era ou não um grupo solvível. Este grupo sempre foi solvível para polinômios de grau quatro ou menos, mas nem sempre para polinômios de grau cinco ou mais, o que explica porque não existe uma solução geral em graus mais altos.

Escritos de GaloisEditar

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Um retrato de Évariste Galois com cerca de 15 anos

Em 1830 Galois (aos 18 anos de idade) submeteu à Academia das Ciências de Paris uma memória sobre a sua teoria da solvabilidade por radicais; O trabalho de Galois foi rejeitado em 1831 por ser demasiado esquemático e por dar uma condição em termos das raízes da equação em vez dos seus coeficientes. Galois morreu então em um duelo em 1832, e seu trabalho, “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”, permaneceu inédito até 1846, quando foi publicado por Joseph Liouville acompanhado de algumas de suas próprias explicações. Antes desta publicação, Liouville anunciou o resultado de Galois à Academia, num discurso que proferiu a 4 de Julho de 1843. Segundo Allan Clark, a caracterização de Galois “substitui dramaticamente a obra de Abel e Ruffini”

AftermathEdit

A teoria de Galois era notoriamente difícil de entender para os seus contemporâneos, especialmente ao nível em que eles poderiam expandir sobre ela. Por exemplo, em seu comentário de 1846, Liouville sentiu completamente a falta do núcleo teórico de grupo do método de Galois. Joseph Alfred Serret, que assistiu a algumas das palestras de Liouville, incluiu a teoria de Galois na sua terceira edição de 1866 do seu livro Cours d’algèbre supérieure. O aluno de Serret, Camille Jordan, teve uma compreensão ainda melhor reflectida no seu livro Traité des substitutions et des équations algébriques de 1870. Fora da França, a teoria de Galois permaneceu mais obscura por um período mais longo. Na Grã-Bretanha, Cayley não conseguiu compreender a sua profundidade e os populares livros de álgebra britânicos só mencionaram a teoria de Galois muito depois da virada do século. Na Alemanha, os escritos de Kronecker concentraram-se mais no resultado de Abel. Dedekind escreveu pouco sobre a teoria de Galois, mas deu uma palestra sobre ela em Göttingen, em 1858, mostrando uma compreensão muito boa. Os livros de Eugen Netto dos anos 1880, baseados no Traité da Jordânia, tornaram a teoria de Galois acessível a um público alemão e americano mais amplo, assim como o livro de álgebra de Heinrich Martin Weber de 1895.