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Teoria da homotopia

Espaços e mapasEditar

Na teoria da homotopia e topologia algébrica, a palavra “espaço” denota um espaço topológico. A fim de evitar patologias, raramente se trabalha com espaços arbitrários; ao invés disso, são necessários espaços para atender a restrições extras, como ser compactamente gerado, ou Hausdorff, ou um complexo CW.

Na mesma linha do acima, um “mapa” é uma função contínua, possivelmente com algumas restrições extras.

Muitas vezes, trabalha-se com um espaço pontiagudo — isto é, um espaço com um “ponto distinto”, chamado de ponto de base. Um mapa pontiagudo é então um mapa que preserva os basepoints; ou seja, envia o basepoint do domínio para o do codomínio. Em contraste, um mapa livre é aquele que não precisa preservar os basepoints.

HomotopyEdit

Artigo principal: Homotopia

Denotar o intervalo de unidades. Uma família de mapas indexados por I, h t : X → Y {\t}:X\to Y}

{\i1}displaystyle h_{t}:X\i

é chamado de homotopia de h 0 {\i}displaystyle h_{0}}

h_{0}

a h 1 {\i1}displaystyle h_{\i}}

h_{1}

if h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\i1}displaystyle h:I {\i}vezes X\i^ para Y,(t,x)}mapsto h_{t}(x)}

{\i1}displaystyle h:I{\i}times X{\i}to Y,(t,x){\i}(x){\i}

é um mapa (por exemplo, deve ser uma função contínua). Quando X, Y são espaços pontiagudos, o h t {\i} {t}

h_{t}

são necessários para preservar os basepoints. Uma homotopia pode ser mostrada como uma relação de equivalência. Dado um espaço pontiagudo X e um número inteiro n ≥ 1 {\i1}displaystyle n\iq 1}

n\geq 1

, let π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{\n}(X)=_{*}}

>8947>{\i1}sigam as classes de homotopia dos mapas baseados S n → X ^{\i}{\i1}sigam as classes de homotopia dos mapas baseados S n → X ^{\i1}sigam as classes de homotopia dos mapas baseados S n ^{\i1}{\i1}{\i1}sigam as classes de homotopia dos mapas baseados S n → X ^{\i1}sigam as classes de homotopia dos mapas baseados S n

S^{n}

a X. Acontece que, π n ( X ) {\i _{n}(X)}

\pi_n(X)

são grupos; em particular, π 1 ( X ) {\i _{\i}(X)}

\pi _{1}(X)

é chamado de grupo fundamental de X.

Se se preferir trabalhar com um espaço em vez de um espaço pontiagudo, existe a noção de um grupóide fundamental (e variantes superiores): por definição, o grupóide fundamental de um espaço X é a categoria onde os objetos são os pontos de X e os morfismos são caminhos.

Cofibração e fibraçãoEditar

Um mapa f : A → X {\displaystyle f:A\to X}

f:A\to X

é chamado de cofibração se for dado (1) um mapa h 0 : X → Z {\displaystyle h_{0}:X\to Z}

{\i1}displaystyle h_{0}:X\i

e (2) uma homotopia g t : A → Z {\i}displaystyle g_{t}:A{t}to Z}

>{\i1}displaystyle g_{t}:A{t}:Z}

, existe uma homotopia h t : X → Z {\i}displaystyle h_{t}:X_to Z}

{\i1}displaystyle h_{t}:X\i

que estende h 0 {\i1}displaystyle h_{0}}

h_{0}

e tal que h t ∘ f = g t {\i} {\i1}displaystyle h_{t}}circ f=g_{t}}

{\i1}displaystyle h_{t}}circ f=g_{t}}

. Para um pouco de senso frouxo, é um análogo do diagrama definidor de um módulo injetável em álgebra abstrata. O exemplo mais básico é um par CW ( X , A ) {\i1}displaystyle (X,A)}

(X,A)

; uma vez que muitos trabalham apenas com complexos CW, a noção de uma co-fibração está muitas vezes implícita.

Uma fibração no sentido de Serre é a dupla noção de uma co-fibração: isto é, um mapa p : X → B {\displaystyle p:X\to B}

{\i1}displaystyle p:X\a B}

é uma fibração se dado (1) um mapa Z → X {\i1}displaystyle Z\a X}

{\i1}displaystyle Z\a X}

e (2) uma homotopia g t : Z → B {\i1}displaystyle g_{t}:Z\a B}

{\i1}displaystyle g_{t}:Z\i

, existe uma homotopia h t : Z → X {\i1}displaystyle h_{t}:Z\i>X}

{\i1}displaystyle h_{t}:Z\i

tal que h 0 {\i}displaystyle h_{0}}

h_{0}

é a dada e p ∘ h t t = g t {\i1}displaystyle p\i_{t}=g_{t}}

p\\\i h_{t}=g_{t}

. Um exemplo básico é um mapa de cobertura (na verdade, uma fibração é uma generalização de um mapa de cobertura). Se o E {\i1}displaystyle E}

E

é uma fração G principal, ou seja, um espaço com uma ação de grupo livre e transitiva (topológica) de um grupo (topológica), então o mapa de projeção p : E → X {\displaystyle p:E\to X}

p:E\to X

é um exemplo de uma fibração.

Classificação de espaços e operações de homotopiaEditar

Dando um grupo topológico G, o espaço de classificação para as principais separações G (“o” até a equivalência) é um espaço B G {\displaystyle BG}

BG

tal que, para cada espaço X, = {\\i1}estilo de exibição =}

{\\\i1>

{\i1}-bundle principal em X } / , ↦ f ∗ E G {\i1}displaystyle ,{\i},{\i1}mapsto f^{\i}

{\i1}displaystyle ,{\i},{\i1}mapsto f^{\i}}5472>

where

    • o lado esquerdo é o conjunto de classes de mapas de homotopia X → B G {\i1}displaystyle X\i> BG
      >{\i1}a BG}

      ,

      • >

    • ~ refere isomorfismo de feixes, e
    • = é dado puxando o distinto feixe E G {\i1}displaystyle EG
      EG

      em B G {\i1}displaystyle BG

      BG

      (chamado feixe universal) ao longo de um mapa X → B G {\displaystyle X\to BG}

      {\i1}a BG}

      .

    O teorema da representatividade do castanho garante a existência de espaços de classificação.

    Espectro e coomologia generalizadaEditar

    Principais artigos: Espectro (topologia algébrica) e coomologia generalizada

    A ideia de que um espaço classificador classifica os feixes principais pode ser ainda mais desenvolvida. Por exemplo, pode-se tentar classificar classes de cohomologia: dado um grupo abeliano A (tal como Z {\\i1}displaystyle {\i}mathbb {Z} }

    \mathbb {Z}

    ), = H n ( X ; A ) {\i1}displaystyle ={\i}operatorname {H} ^{n}(X;A)}

    {\i1}displaystyle ={H}operatorname {\i} ^{n}(X;A)}

    where K ( A , n ) {\i1}displaystyle K(A,n)}

    K(A, n)

    é o espaço Eilenberg-MacLane. A equação acima leva à noção de uma teoria de coomologia generalizada; ou seja, um fungo contravariante da categoria de espaços para a categoria de grupos abelianos que satisfaz a teoria de coomologia ordinária generalizadora dos axiomas. Acontece que um tal functor pode não ser representavel por um espaço mas pode sempre ser representado por uma sequência de espaços (pontiagudos) com mapas de estrutura chamados de espectro. Em outras palavras, dar uma teoria de cohomologia generalizada é dar um espectro.

    Um exemplo básico de um espectro é um espectro de esfera: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ ⋯ {\i1}a S^{\i1}a S^{\i}a S^{\i}a S^{\i}cdots {\i}

    {\i1}a S^{\i}{\i1}a S^{\i}{\i1}a S^{\i}cdots

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