Superfície gaussiana

Exemplos de superfícies gaussianas válidas (esquerda) e inválidas (direita). Esquerda: Algumas superfícies gaussianas válidas incluem a superfície de uma esfera, superfície de um toro, e superfície de um cubo. Elas são superfícies fechadas que fecham completamente um volume 3D. Direita: Algumas superfícies que NÃO PODEM ser usadas como superfícies gaussianas, como a superfície do disco, superfície quadrada, ou superfície do hemisfério. Elas não fecham completamente um volume 3D, e têm limites (vermelho). Note que planos infinitos podem aproximar superfícies gaussianas.

Os cálculos usando superfícies gaussianas começam implementando a lei de Gauss (para eletricidade):

Φ E = {\\i1}Phi _{E}==,\i>

S {\an828>>S}

>>

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . Estilo de exibição Mathbf \Não há nada de especial. \Mathbf = =frac =texto =enc

Aqui Qenc é a carga eléctrica encerrada pela superfície gaussiana.

Esta é a lei de Gauss, combinando tanto o teorema da divergência como a lei de Coulomb.

Superfície esféricaEditar

Uma superfície esférica gaussiana é usada quando se encontra o campo elétrico ou o fluxo produzido por qualquer um dos seguintes:

• uma carga pontual
• uma carga esférica de distribuição uniforme
• qualquer outra distribuição de carga com simetria esférica

A superfície esférica gaussiana é escolhida de modo a ser concêntrica com a distribuição da carga.

Como exemplo, considere uma concha esférica S carregada de espessura insignificante, com uma carga uniformemente distribuída Q e raio R. Podemos usar a lei de Gauss para encontrar a magnitude do campo elétrico E resultante a uma distância r do centro da concha carregada. É imediatamente aparente que para uma superfície esférica gaussiana de raio r < R a carga fechada é zero: daí que o fluxo líquido é zero e a magnitude do campo elétrico na superfície gaussiana é também 0 (deixando QA = 0 na lei de Gauss, onde QA é a carga fechada pela superfície gaussiana).

Com o mesmo exemplo, usando uma superfície gaussiana maior fora da casca onde r > R, a lei de Gauss produzirá um campo elétrico não-zero. Isto é determinado da seguinte forma.

O fluxo fora da superfície esférica S é:

Φ E = {\\i1}displaystyle \i _{\i},\i _{\i},{\i}

∂ S {\an828>>Style de escrita parcial S,{\an829>}

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\\i1}displaystyle \i}mathbf {E} \Não sei o que fazer! Não sei o que fazer! Não sei o que fazer! Não sei o que fazer!

>7110>mathbf{E}cdot d |mathbf{A} =int_c_c E dAÇOS 0^^rc = E ^int_c E dAÇÇOS 0^circ = E ^int_c_c

o que implica

Φ E = E 4 π r 2 {\i}{\i1}Phi _{\i}=E4\i r^{\i}

Pela lei de Gauss o fluxo também é

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\vepsilon _{0}}}}

equacionando definitivamente a expressão para ΦE dá a magnitude do campo E na posição r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 E = Q A 4 π ⇒ 0 r 2 . E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\\i1}{\i1}{\i1}{\i1}quad E4\i r^{\i}{\i}{\i}{\i1}quad E4\i {\i}{\i}{\i}{\i1}vepsilon _\i}{\i}quad E4\i r^{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}quad E4\i r^{\i {\i}{\i}{\i1}vepsilon

Este resultado não trivial mostra que qualquer distribuição esférica de carga age como uma carga pontual quando observada a partir do exterior da distribuição de carga; isto é, de facto, uma verificação da lei de Coulomb. E, como mencionado, qualquer carga exterior não conta.

Superfície cilíndricaEditar

Uma superfície cilíndrica gaussiana é utilizada quando se encontra o campo eléctrico ou o fluxo produzido por qualquer um dos seguintes:

• uma linha infinitamente longa de carga uniforme
• um plano infinito de carga uniforme
• um cilindro infinitamente longo de carga uniforme

Um exemplo de “campo próximo à carga da linha infinita” é dado abaixo;

Um ponto P a uma distância r de uma carga da linha infinita com densidade de carga (carga por unidade de comprimento) λ. Imagine uma superfície fechada na forma de cilindro cujo eixo de rotação é a carga da linha. Se h é o comprimento do cilindro, então a carga contida no cilindro é

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

,

onde q é a carga contida na superfície gaussiana. Há três superfícies a, b e c, como mostra a figura. A área diferencial vetorial é dA, em cada superfície a, b e c.

Superfície fechada em forma de cilindro com carga de linha no centro e mostrando áreas diferenciais dA das três superfícies.

A passagem do fluxo consiste nas três contribuições:

Φ E = {\\i1}Phi _{E}==,{\i},{\i}

>

A {\i1}displaystyle A=,{\i}!{\i}

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ b E ⋅ d A + ∫ c E ⋅ d A {\\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \Não sei… não sei… não sei… \cdot d\mathbf +\Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! \cdot d\mathbf +\Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! \cdot d\mathbf }

Para as superfícies a e b, E e dA serão perpendiculares. Para a superfície c, E e dA serão paralelas, como mostra a figura.\Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei! Não sei!

A superfície do cilindro é

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\i1}displaystyle {\i}int _{c}dA=2pi rh}

o que implica

Φ E = E 2 π r h {\pi rh}

Por lei de Gauss

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{\frac {\q}{\vepsilon _{\0}}}}

equação para ΦE rendimentos

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r E2 |displaystyle E2 |frac |lambda h}{\i1}{\i1}varepsilon _\i}quad {\i1}Rightarrow |quad E2 |frac |lambda {\i}{\i |varepsilon _\i}

Gaussian pillboxEdit

Esta superfície é mais frequentemente utilizada para determinar o campo eléctrico devido a uma infinita folha de carga com densidade de carga uniforme, ou uma laje de carga com alguma espessura finita. A caixa de comprimidos tem uma forma cilíndrica, e pode ser pensada como sendo constituída por três componentes: o disco numa extremidade do cilindro com área πR², o disco na outra extremidade com área igual, e o lado do cilindro. A soma do fluxo elétrico através de cada componente da superfície é proporcional à carga fechada da caixa de comprimidos, como ditado pela Lei de Gauss. Como o campo próximo à folha pode ser aproximado como constante, a caixa de comprimidos é orientada de forma que as linhas de campo penetrem os discos nas extremidades do campo em um ângulo perpendicular e o lado do cilindro seja paralelo às linhas de campo.