Probabilidade geométrica

Problemas do tipo seguinte, e suas técnicas de solução, foram estudados pela primeira vez no século XVIII, e o tópico geral ficou conhecido como probabilidade geométrica.

• (agulha de Buffon) Qual a probabilidade de uma agulha cair aleatoriamente num chão marcado com linhas paralelas igualmente espaçadas cruzar uma das linhas?
• Qual é o comprimento médio de um acorde aleatório de um círculo unitário? (cf. paradoxo de Bertrand).
• Qual é a chance de três pontos aleatórios no plano formarem um triângulo agudo (ao invés de obtuso)?
• Qual é a área média das regiões poligonais formadas quando linhas orientadas aleatoriamente estão espalhadas sobre o plano?

Para o desenvolvimento matemático veja a monografia concisa de Solomon.

Desde o final do século XX, o tópico dividiu-se em dois tópicos com ênfases diferentes. A geometria integral surgiu do princípio de que os modelos matematicamente naturais de probabilidade são aqueles que são invariantes sob certos grupos de transformação. Este tópico enfatiza o desenvolvimento sistemático de fórmulas para calcular valores esperados associados aos objetos geométricos derivados de pontos aleatórios, e pode em parte ser visto como um ramo sofisticado do cálculo multivariado. A geometria estocástica enfatiza os próprios objetos geométricos aleatórios. Por exemplo: diferentes modelos para linhas aleatórias ou para vasos aleatórios do plano; conjuntos aleatórios formados por fazer com que os pontos de um processo Poisson espacial sejam (digamos) centros de discos.