Homomorfismo

Um homomorfismo injectivo é cancelável: Se f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,}

one has f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) f(g(x))=f(h(x))}

por cada x {\i1}estilo de exibição x}

em C {\i1}estilo de exibição C

, a fonte comum do g {\i1}displaystyle g

e h {\i1}displaystyle h

. Se f {\i1}f {\i1}f

é injectivo, depois g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}

, e assim g = h {\i1}displaystyle g=h}

. Esta prova funciona não só para estruturas algébricas, mas também para qualquer categoria cujos objetos são conjuntos e flechas são mapas entre esses conjuntos. Por exemplo, um mapa contínuo injectivo é um monomorfismo na categoria dos espaços topológicos.

Para provar que, inversamente, um homomorfismo cancelável à esquerda é injectivo, é útil considerar um objecto livre no x {\displaystyle x}

. Dada uma variedade de estruturas algébricas, um objeto livre no x {\displaystyle x}

é um par constituído por uma estrutura algébrica L {\displaystyle L}

desta variedade e um elemento x estilo x}

de L {\i1}displaystyle L

satisfazendo a seguinte propriedade universal: para cada estrutura S {\i1}displaystyle S

da variedade, e cada elemento ao estilo s

de S {\i1}displaystyle S

, existe um homomorfismo único f : L → S {\i1}simples f:L\i}

tal que f ( x ) = s {\i}f(x)=s

. Por exemplo, para conjuntos, o objeto livre no x {\displaystyle x}

é simplesmente { x } ao estilo do jogo…

; para semigrupos, o objecto livre no x {\i1}estilo x}

é { x , x 2 , … , x n , … } para os monoides, o objeto livre no x {\displaystyle x}

é { 1 , x , x 2 , … x n , x n , … } …, estilo de jogo 1, x, x^2, pontos, x^n, pontos, x^n, pontos,

que, como monóide, é isomórfico para o monóide aditivo dos inteiros não negativos; para os grupos, o objeto livre no x {\displaystyle x}

é o grupo cíclico infinito {\displaystyle x},{\displaystyle x}

é o grupo cíclico infinito x – n , … , x – 1 , 1 , x , x , x 2 , … , x n , … } …pontos, pontos, pontos, pontos, pontos, pontos, pontos..,\pontos ,x^{-1},1,x,x^{2},^ldots ,x^{n},^ldots,^8230>

é o espaço vectorial ou módulo livre que tem x {\displaystyle x}

como base.

Se existir um objecto livre sobre x {\displaystyle x}

, então todo o homomorfismo cancelável esquerdo é injectivo: let f : A → B {\displaystyle f\displaystyle f\displaystyle A\displaystyle A\displaystyle B}

ser um homomorfismo cancelável à esquerda, e a {\a A}

e b {\a B}

ser dois elementos de A {\a A}

tal f ( a ) = f ( b ) {\i1}displaystyle f(a)=f(b)}

. Por definição do objeto livre F {\displaystyle F}

, existem homomorfismos g {\i1}displaystyle g

e h {\i1}displaystyle h

de F {\i1}displaystyle F

a A {\an8}displaystyle A

tal que g ( x ) = um g(x)=a}

e h ( x ) = b {\i1}displaystyle h(x)=b}

. As f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) f(g(x))=f(h(x))}

, um tem f ∘ g = f ∘ h , {\i1}displaystyle f\i}circ g=f\i}circ h,

pela singularidade na definição de uma propriedade universal. Como f {\i1}displaystyle f}

é deixado cancelável, um tem g = h {\displaystyle g=h}

, e assim a = b {\i1}displaystyle a=b}

. Portanto, f {\i1}f {\i1}displaystyle f

é injectivo.

Existência de um objecto livre em x {\displaystyle x}

para uma variedade (ver também Objecto livre § Existência): Para construir um objeto livre sobre x {\displaystyle x}

, considere o conjunto W {\displaystyle W}

das fórmulas bem formadas construídas a partir de x {\\\i}

e as operações da estrutura. Duas dessas fórmulas são ditas equivalentes se uma pode passar de uma para outra aplicando os axiomas (identidades da estrutura). Isto define uma relação de equivalência, se as identidades não estão sujeitas a condições, isto é, se se trabalha com uma variedade. Então as operações da variedade são bem definidas no conjunto de classes de equivalência de W {\displaystyle W}.

para esta relação. É simples mostrar que o objeto resultante é um objeto livre no W {\i1}displaystyle W

.

EpimorfismoEditar

Em álgebra, epimorfismos são muitas vezes definidos como homomorfismos surjetivos.:134:43 Por outro lado, na teoria da categoria, epimorfismos são definidos como morfismos canceláveis corretos. Isto significa que um morfismo (homo)morfismo f : A → B {\i1}displaystyle f:A\i}to B

é um epimorfismo se, para qualquer par g {\a g}

, h {\i1}displaystyle h}

de morfismos de B {\i1}displaystyle B

a qualquer outro objecto C {\i1}displaystyle C

, a igualdade g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}

implica g = h {\an8}displaystyle g=h}

.

Um homomorfismo surjetivo é sempre cancelável, mas o inverso nem sempre é verdadeiro para as estruturas algébricas. No entanto, as duas definições de epimorfismo são equivalentes para conjuntos, espaços vetoriais, grupos abelianos, módulos (ver abaixo para uma prova) e grupos. A importância destas estruturas em todas as matemáticas, e especialmente na álgebra linear e na álgebra homológica, pode explicar a coexistência de duas definições não equivalentes.

As estruturas algébricas para as quais existem epimorfismos não-surjetivos incluem semigrupos e anéis. O exemplo mais básico é a inclusão de inteiros em números racionais, que é um homomorfismo de anéis e de semigrupos multiplicativos. Para ambas as estruturas é um monomorfismo e um epimorfismo não-surjetivo, mas não um isomorfismo.

Uma ampla generalização deste exemplo é a localização de um anel por um conjunto multiplicativo. Toda localização é um epimorfismo de anel, que não é, em geral, superjectivo. Como as localizações são fundamentais na álgebra comutativa e na geometria algébrica, isto pode explicar porque nestas áreas, a definição de epimorfismos como homomorfismos canceláveis à direita é geralmente preferida.

Um epimorfismo dividido é um homomorfismo que tem um inverso à direita e, portanto, é ele próprio um inverso à esquerda desse outro homomorfismo. Ou seja, um homomorfismo f : A → B {\i1}displaystyle f\i}colon A a B

é um epimorfismo dividido se existir um homomorfismo g : B → A {\a A {\a B\a A}

tal que f ∘ g = Id B . f=janela g=janela de operação _{B}.}

Um epimorfismo dividido é sempre um epimorfismo, para ambos os significados de epimorfismo. Para conjuntos e espaços vetoriais, todo epimorfismo é um epimorfismo dividido, mas esta propriedade não se aplica à maioria das estruturas algébricas comuns.

Em resumo, tem-se

epimorfismo dividido ⟹ epimorphism (surjective) ⟹ epimorphism (right cancelable) ; {\i1}displaystyle {\i1}text{\i1}text (split epimorphism) {\i1}implies {\i1}text (surjective)}implies {\i1}text{\i1}epimorphism (right cancelable)};}

a última implicação é uma equivalência para conjuntos, espaços vetoriais, módulos e grupos abelianos; a primeira implicação é uma equivalência para conjuntos e espaços vetoriais.

Equivalência das duas definições de epimorfismo

Vamos f : A → B {\displaystyle f\displaystyle f\displaystyle A\displaystyle B}

ser um homomorfismo. Queremos provar que, se não for surjectivo, não é correcto cancelá-lo.

No caso de conjuntos, deixe b {\i1}b {\i1}-

>

ser um elemento de B {\i}displaystyle B

que não pertence a f ( A ) f(A)}displaystyle f(A)}

, e defina g , h : B → B {\displaystyle g,h\displaystyle g,h\displaystyle B\to B}

tal que g

é a função de identidade, e que h ( x ) = x {\\i1}displaystyle h(x)=x}

é qualquer outro elemento do B {\i1}estilo B{\i}

. Claramente f {\i1}f {\i1}displaystyle f

não é cancelável, como g ≠ h {\i1}displaystyle g\i}neq h

e g ∘ f = h ∘ f . g=h=h=circ f.}

No caso de espaços vetoriais, grupos e módulos abelianos, a prova depende da existência de cokernels e do fato de que os mapas zero são homomorfismos: deixe C\displaystyle C

ser o cokernel de f {\i1}displaystyle f

, e g : B → C {\i1}displaystyle g\i}colon B\i>C

seja o mapa canônico, de tal forma que g ( f ( A ) ) = 0 {\i1}estilo de exibição g(f(A))=0}

. Let h : B → C {\displaystyle h\displaystyle h\displaystyle h\displaystyle B\displaystyle C}

ser o mapa zero. Se f {\i1}f {\i1}displaystyle f}

não é sobrejectivo, C ≠ 0 {\\i1}

, e assim g ≠ h {\i1}displaystyle g\iq h}

(um é um mapa zero, enquanto o outro não é). Assim f {\i1}f {\i1}displaystyle f

não é cancelável, pois g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\\f=h\circ f}

g {\i1}g {\i1}círculo f = h {\i1}círculo f

(ambos são o mapa zero de A {\i}displaystyle A

a C {\i1}displaystyle C

).