Homeomorfismo

Espaço topológico

Um dos conceitos estruturais mais básicos em topologia é transformar um conjunto X num espaço topológico, especificando um conjunto de subconjuntos T de X. Tal conjunto deve satisfazer três axiomas: (1) o próprio conjunto X e o conjunto vazio são membros de T, (2) a intersecção de qualquer número finito de conjuntos em T está em T, e (3) a união de qualquer conjunto de conjuntos em T está em T. Os conjuntos em T são chamados conjuntos abertos e T é chamado de topologia em X. Por exemplo, a linha numérica real torna-se um espaço topológico quando sua topologia é especificada como o conjunto de todas as uniões possíveis de intervalos abertos – tais como (-5, 2), (1/2, π), (0, raiz quadrada of√2), …. (Um processo análogo produz uma topologia sobre um espaço métrico.) Outros exemplos de topologias sobre conjuntos ocorrem puramente em termos de teoria de conjuntos. Por exemplo, a coleção de todos os subconjuntos de um conjunto X é chamada de topologia discreta sobre X, e a coleção que consiste apenas do conjunto vazio e X em si forma a topologia indiscreta, ou trivial, sobre X. Um dado espaço topológico dá origem a outros espaços topológicos relacionados. Por exemplo, um subconjunto A de um espaço topológico X herda uma topologia, chamada topologia relativa, de X quando os conjuntos abertos de A são tomados como as intersecções de A com conjuntos abertos de X. A tremenda variedade de espaços topológicos fornece uma rica fonte de exemplos para motivar teoremas gerais, bem como contra-exemplos para demonstrar falsas conjecturas. Além disso, a generalidade dos axiomas para um espaço topológico permite aos matemáticos ver muitos tipos de estruturas matemáticas, como coleções de funções em análise, como espaços topológicos e assim explicar os fenômenos associados de novas maneiras.

Um espaço topológico também pode ser definido por um conjunto alternativo de axiomas envolvendo conjuntos fechados, que são complementos de conjuntos abertos. Na primeira consideração das ideias topológicas, especialmente para objectos no espaço euclidiano n-dimensional, os conjuntos fechados tinham surgido naturalmente na investigação da convergência de sequências infinitas (ver séries infinitas). Muitas vezes é conveniente ou útil assumir axiomas adicionais para uma topologia, a fim de estabelecer resultados que se mantêm para uma classe significativa de espaços topológicos, mas não para todos os espaços topológicos. Um axioma deste tipo requer que dois pontos distintos pertençam a conjuntos desunidos abertos. Um espaço topológico que satisfaça este axioma passou a chamar-se espaço Hausdorff.