Hilbert space

Hilbert space, em matemática, um exemplo de um espaço de dimensões infinitas que teve um grande impacto na análise e topologia. O matemático alemão David Hilbert descreveu este espaço pela primeira vez em seu trabalho sobre equações integrais e séries de Fourier, que ocuparam sua atenção durante o período 1902-12.

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topologia: História da topologia

…as propriedades topológicas do espaço infinito de Hilbert. Estes esforços prefiguraram uma nova área de topologia agora…

Os pontos do espaço Hilbert são sequências infinitas (x1, x2, x3, …) de números reais que são somáveis em quadrados, ou seja, para os quais a série infinita x12 + x22 + x32 + … converge para algum número finito. Em analogia direta com o espaço Euclidiano n-dimensional, o espaço Hilbert é um espaço vetorial que tem um produto interno natural, ou produto ponto, fornecendo uma função de distância. Sob essa função de distância ele se torna um espaço métrico completo e, portanto, é um exemplo do que os matemáticos chamam de espaço de produto interno completo.

Logo após a investigação de Hilbert, o matemático austríaco-alemão Ernst Fischer e o matemático húngaro Frigyes Riesz provaram que funções integráveis quadradas (funções tais que a integração do quadrado de seu valor absoluto é finito) também poderiam ser consideradas como “pontos” em um espaço de produto interno completo que é equivalente ao espaço de Hilbert. Neste contexto, o espaço de Hilbert desempenhou um papel no desenvolvimento da mecânica quântica, e tem continuado a ser uma importante ferramenta matemática na matemática aplicada e na física matemática.

Na análise, a descoberta do espaço de Hilbert introduziu a análise funcional, um novo campo no qual os matemáticos estudam as propriedades de espaços lineares bastante gerais. Entre esses espaços estão os espaços de produtos interiores completos, que agora são chamados de espaços Hilbert, uma designação usada pela primeira vez em 1929 pelo matemático húngaro americano John von Neumann para descrever esses espaços de uma forma axiomática abstrata. O espaço Hilbert também tem sido uma fonte de idéias ricas em topologia. Como espaço métrico, o espaço de Hilbert pode ser considerado um espaço topológico linear infinito, e questões importantes relacionadas às suas propriedades topológicas foram levantadas na primeira metade do século 20. Motivados inicialmente por tais propriedades dos espaços de Hilbert, pesquisadores estabeleceram um novo subcampo de topologia chamado topologia dimensional infinita nos anos 60 e 70.