Gyroid

O gyroid é o único membro não trivial embutido da família associada das superfícies P e D da Schwarz. Seu ângulo de associação em relação à superfície D é de aproximadamente 38,01°. O gyroid é similar ao lidinoide. A gireóide foi descoberta em 1970 pelo cientista da NASA Alan Schoen. Ele calculou o ângulo de associação e deu uma demonstração convincente de imagens de modelos plásticos intrincados, mas não forneceu uma prova de incrustação. Schoen notou que o gyroid não contém linhas retas nem simetrias planares. Karcher deu um tratamento diferente e mais contemporâneo da superfície em 1989, utilizando a construção de superfície conjugada. Em 1996 Große-Brauckmann e Wohlgemuth provaram que ela está embutida, e em 1997 Große-Brauckmann forneceu variantes CMC do gyroid e fez mais investigações numéricas sobre as frações de volume dos giroscóides mínimo e CMC (curvatura média constante).

O gyroid separa o espaço em dois labirintos de passagens congruentes opostos. A gireóide tem o grupo espacial I4132 (no. 214). Os canais percorrem os labirintos giroscópicos nas (100) e (111) direções; as passagens surgem em ângulos de 70,5 graus para qualquer canal que seja atravessado, a direção em que o fazem girando pelo canal, dando origem ao nome “gyroid”. Uma maneira de visualizar a superfície é imaginar os “catenóides quadrados” da superfície P (formada por dois quadrados em planos paralelos, com uma cintura quase circular); a rotação em torno das bordas do quadrado gera a superfície P. Na família dos associados, estes catenóides quadrados “se abrem” (semelhante à forma como o catenóide “se abre” para um helicóide) para formar fitas giratórias, e depois, finalmente, tornam-se a superfície Schwarz D. Para um valor do parâmetro da família de associados as fitas giratórias encontram-se precisamente nos locais necessários para ter uma superfície embutida.

A giroide é a única superfície mínima triplamente embutida periódica conhecida que possui triplas junções e sem linhas de simetria reflexiva, ao contrário das cinco superfícies mínimas estudadas por Anderson et al. em 1990.

A gireóide refere-se ao membro que está na família associada da superfície Schwarz P, mas na verdade a gireóide existe em várias famílias que preservam várias simetrias da superfície; uma discussão mais completa das famílias dessas superfícies mínimas aparece em superfícies mínimas triplamente periódicas.

Curiamente, como algumas outras superfícies mínimas triplamente periódicas, a superfície da gireóide pode ser trigonometricamente aproximada por uma pequena equação:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\\\\sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}

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