Geometria diferencial

Geometria diferencial, ramo da matemática que estuda a geometria de curvas, superfícies e manifolds (os análogos de superfícies de maior dimensão). A disciplina deve seu nome ao uso de idéias e técnicas de cálculo diferencial, embora o sujeito moderno use frequentemente técnicas algébricas e puramente geométricas. Embora as definições básicas, notações e descrições analíticas variem muito, prevalecem as seguintes questões geométricas: Como se mede a curvatura de uma curva dentro de uma superfície (intrínseca) versus dentro do espaço envolvente (extrínseca)? Como se pode medir a curvatura de uma superfície? Qual é o caminho mais curto dentro de uma superfície entre dois pontos da superfície? Como o caminho mais curto em uma superfície está relacionado ao conceito de uma linha reta?

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Embora as curvas fossem estudadas desde a antiguidade, a descoberta do cálculo no século XVII abriu o estudo de curvas planas mais complicadas – como as produzidas pelo matemático francês René Descartes (1596-1650) com a sua “bússola” (ver História da Geometria: geometria cartesiana). Em particular, o cálculo integral levou a soluções gerais dos antigos problemas de encontrar o comprimento do arco das curvas planas e a área das figuras planas. Isto, por sua vez, abriu a etapa para a investigação de curvas e superfícies no espaço – uma investigação que foi o início da geometria diferencial.

Algumas das ideias fundamentais da geometria diferencial podem ser ilustradas pela cinta, uma faixa em espiral frequentemente concebida por engenheiros para dar suporte estrutural a grandes cilindros metálicos, tais como chaminés. Uma cinta pode ser formada cortando uma tira anular (a região entre dois círculos concêntricos) a partir de uma chapa de aço plana e depois dobrando-a em uma hélice que espiralia ao redor do cilindro, como ilustrado na figura. Qual deve ser o raio r do anel para produzir o melhor ajuste? A geometria diferencial fornece a solução para este problema definindo uma medida precisa da curvatura de uma curva; então r pode ser ajustado até que a curvatura da borda interna do anel corresponda à curvatura da hélice.

Permanece uma questão importante: A tira anular pode ser dobrada, sem estiramento, de modo a formar uma cinta em torno do cilindro? Em particular, isto significa que as distâncias medidas ao longo da superfície (intrínsecas) não se alteram. Diz-se que duas superfícies são isométricas se uma puder ser dobrada (ou transformada) na outra sem alterar as distâncias intrínsecas. (Por exemplo, porque uma folha de papel pode ser enrolada num tubo sem esticar, a folha e o tubo são “localmente” isométricos apenas localmente porque novas, e possivelmente mais curtas, vias são criadas ao ligar as duas margens do papel). Assim, a segunda questão se torna: A tira anular e a cinta isométrica são isométricas? Para responder a esta e outras questões semelhantes, a geometria diferencial desenvolveu a noção de curvatura de uma superfície.