Equações Diferenciais – Valores Próprios e Funções Próprias
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Secção 8-2 : Valores Próprios e Funções Próprias
Como fizemos na seção anterior, precisamos novamente notar que só vamos dar uma breve olhada no tópico de valores próprios e funções próprias para problemas de limites de valores. Há algumas idéias que não vamos analisar aqui. A intenção desta seção é simplesmente dar uma idéia do assunto e fazer trabalho suficiente para nos permitir resolver algumas equações diferenciais parciais básicas no próximo capítulo.
Agora, antes de começarmos a falar sobre o assunto atual desta seção vamos relembrar um tópico da Álgebra Linear que discutimos brevemente anteriormente nestas notas. Para uma dada matriz quadrada, (A), se pudéssemos encontrar valores de lambda para os quais pudéssemos encontrar soluções não zero, i.e., vec x um vec 0ec), para,
então chamamos de lambda um valor próprio de A e o valor próprio de Vec x) foi seu correspondente vetor próprio.
É importante recordar aqui que, para que a lambda fosse um valor próprio, então tínhamos de ser capazes de encontrar soluções não zero para a equação.
Então, o que é que isto tem a ver com problemas de valores limite? Bem, volte à secção anterior e veja o Exemplo 7 e o Exemplo 8. Nesses dois exemplos resolvemos soluções homogêneas (e isso é importante!) BVP’s na forma,
\
No Exemplo 7 tivemos \(\lambda = 4\) e encontramos soluções não triviais (ou seja, não zeros) para o BVP. No Exemplo 8 usamos \\(\lambda = 3\) e a única solução foi a solução trivial (i.e. \(y\i(t \i(t \i(t) = 0\i(t))). Portanto, este BVP homogêneo (lembre-se que isto também significa que as condições de contorno são zero) parece exibir comportamento semelhante ao comportamento na equação matriz acima. Há valores de lambda que darão soluções não triviais a este BVP e valores de lambda que só admitirão a solução trivial.
Então, para aqueles valores de lambda que dão soluções não triviais chamaremos de valor próprio para o BVP e as soluções não triviais serão chamadas de funções próprias para o BVP correspondentes ao valor próprio dado.
Sabemos agora que para o BVP homogêneo dado em {eqref{eq:eq1}) {lambda = 4}) é um valor próprio (com funções próprias {y_left( x {direita) = {c_2}sin {esquerda( {2x}direita)}) e que {lambda = 3}) não é um valor próprio.
Eventualmente vamos tentar determinar se existem outros valores próprios para {eqref{eq:eq1}}, contudo antes de fazermos isso vamos comentar brevemente porque é tão importante que o BVP seja homogéneo nesta discussão. No Exemplo 2 e Exemplo 3 da secção anterior resolvemos a equação diferencial homogénea
com duas condições de fronteira não homogéneas diferentes na forma,
Nestes dois exemplos vimos que simplesmente mudando o valor de \(a) e/ou b) conseguimos obter soluções não triviais ou não forçar nenhuma solução. Na discussão dos valores próprios/funções próprias precisamos de soluções para existir e a única maneira de assegurar este comportamento é exigir que as condições de fronteira também sejam homogêneas. Em outras palavras, precisamos que o BVP seja homogêneo.
Há um último tópico que precisamos discutir antes de passarmos para o tópico de valores próprios e auto-funções e isto é mais uma questão notarial que nos ajudará com algum do trabalho que precisaremos fazer.
Suponhamos que temos uma equação diferencial de segunda ordem e seu polinômio característico tem duas raízes reais e distintas e que elas estão na forma
Então sabemos que a solução é,
Embora não haja nada de errado com esta solução vamos fazer uma pequena reescrita disto. Vamos começar por dividir os termos da seguinte forma,
Agora vamos adicionar/subtrair os seguintes termos (note que estamos “misturando” o {c_i} e o {\i1}(pm, alfa) nos novos termos) para obter,
Próximo, reordenar um pouco os termos,
Finalmente, as quantidades entre parênteses e vamos mover a localização da fração também. Fazendo isso, além de renomear as novas constantes que obtemos,
\
Todo esse trabalho provavelmente parece muito misterioso e desnecessário. No entanto, havia realmente uma razão para isso. Na verdade, você já deve ter visto a razão, pelo menos em parte. As duas “novas” funções que temos na nossa solução são, de facto, duas das funções hiperbólicas. Em particular,
Então, outra forma de escrever a solução para uma equação diferencial de segunda ordem cuja característica polinomial tem duas raízes reais e distintas na forma {r_1} = {r_1} = {r_2} = – {r_2} = – {r, {r_2}) é,
Devendo a solução nesta forma para alguns (na verdade, a maioria) dos problemas que vamos procurar vai tornar a nossa vida muito mais fácil. O gráfico se parece muito com uma parábola com vértice em (0,1) e se abre para cima. A única diferença real é que o vértice é um pouco mais achatado do que estamos acostumados a ver com a maioria das parábolas. 
Nota que {\i1}({\i1}esquerda( 0 {direita) = 1}) e {\i}({\i1}sinh {\i}esquerda( 0 {direita) = 0}). Porque muitas vezes estaremos trabalhando com condições de contorno em \\(x = 0\) estas serão avaliações úteis.
Próximo, e possivelmente mais importante, vamos notar que \(x\i(x\i(x=direita) > 0\i(x=direita) > 0\i(x=direita) e assim o cosseno hiperbólico nunca será zero. Da mesma forma, só podemos ver que a esquerda (x direita) = 0) se Estaremos usando estes dois fatos em alguns de nossos trabalhos, então não devemos esquecê-los.
Okay, agora que temos tudo isso fora do caminho, vamos trabalhar um exemplo para ver como vamos encontrar auto-valores/funções próprias para um BVP.
Começamos esta seção olhando para este BVP e já sabemos um valor próprio (\lambda = 4\)) e sabemos um valor de \lambda que não é um valor próprio (\lambda = 3\)). Ao passarmos pelo trabalho aqui, precisamos lembrar que obteremos um valor próprio para um valor particular de Lambda se obtivermos soluções não triviais do BVP para esse valor particular de Lambda.
Para saber que encontramos todos os valores próprios, não podemos simplesmente começar a tentar aleatoriamente valores de Lambda para ver se obtemos soluções não triviais ou não. Felizmente, há uma maneira de fazer isso que não é muito ruim e nos dará todos os valores próprios/funções próprias. Mas vamos ter que fazer alguns casos. Os três casos que vamos ter de analisar são : \(lambda > 0), {\i1}(lambda = 0}), e {\i1}(lambda < 0}). Cada um destes casos dá uma forma específica da solução para o BVP, à qual podemos então aplicar as condições de contorno para ver se vamos obter soluções não triviais ou não. Então, vamos começar com os casos.
\({\lambda > 0})
Neste caso o polinômio característico que obtemos da equação diferencial é o polinômio,
Neste caso, como sabemos que estas raízes são complexas e podemos escrevê-las como,
A solução geral para a equação diferencial é então,
Aplicando a primeira condição de contorno nos dá,
Então, levando isto em conta e aplicando a segunda condição de limite que obtemos,
Isto significa que temos que ter uma das seguintes,
No entanto, lembre-se que queremos soluções não triviais e se tivermos a primeira possibilidade obteremos a solução trivial para todos os valores de {lambda > 0}. Portanto, vamos assumir que Isto significa que temos,
Em outras palavras, aproveitando o fato de que sabemos onde o seno é zero, podemos chegar à segunda equação. Note também que, porque estamos assumindo que a lambda > 0} sabemos que a lambda > 0} e assim só pode ser um inteiro positivo para este caso.
Agora tudo o que temos de fazer é resolver isto para a lambda e teremos todos os valores próprios positivos para esta BVP.
Os autovalores positivos são então,
e as funções próprias que correspondem a estes autovalores são,
Nota que nós subscrevemos uma nota sobre os autovalores e funções próprias para denotar o fato de que há um para cada um dos valores dados de Note também que deixamos cair o {c_2} sobre as auto-funções. Para as auto-funções estamos interessados apenas na função em si e não na constante à sua frente e por isso geralmente largamos isso.
Vamos agora passar para o segundo caso.
(abaixo da linha {\lambda = 0})
Neste caso o BVP torna-se,
e a integração da equação diferencial algumas vezes dá-nos a solução geral,
Aplicando a primeira condição de limite dá,
\
Aplicando a segunda condição de limite assim como os resultados da primeira condição de limite dá,
\
Aqui, ao contrário do primeiro caso, não temos escolha de como fazer este zero. Este só será zero se {c_2} = 0\).
Por isso, para este BVP (e isso é importante), se temos {lambda = 0\) a única solução é a solução trivial e por isso {lambda = 0\) não pode ser um valor próprio para este BVP.
Agora vamos ver o caso final.
(abaixo da linha {\lambda < 0} \)
Neste caso a equação característica e suas raízes são as mesmas do primeiro caso. Portanto, sabemos que,
\\
No entanto, porque estamos a assumir que \(\lambda < 0\) aqui são agora duas raízes reais distintas e por isso usando o nosso trabalho acima para estes tipos de raízes reais e distintas sabemos que a solução geral será,
\
Nota que poderíamos ter usado a forma exponencial da solução aqui, mas o nosso trabalho será significativamente mais fácil se usarmos a forma hiperbólica da solução aqui.
Agora, aplicando a primeira condição de contorno dá,
\
Aplicando a segunda condição de contorno dá,
Porque estamos a presumir que estamos a assumir que Portanto, tal como no segundo caso, devemos ter {c_2} = 0}.
Então, para este BVP (mais uma vez isso é importante), se tivermos {lambda < 0} só temos a solução trivial e por isso não há valores próprios negativos.
Em resumo então teremos os seguintes autovalores/funções para este BVP.
\\
Vamos dar uma olhada em outro exemplo com condições de limite ligeiramente diferentes.
Aqui vamos trabalhar com condições de contorno de derivados. O trabalho é praticamente idêntico ao exemplo anterior, no entanto, não vamos colocar tantos detalhes aqui. Vamos precisar de analisar os três casos tal como no exemplo anterior, por isso vamos começar a trabalhar nisso.
\({\lambda > 0})
A solução geral para a equação diferencial é idêntica ao exemplo anterior e assim o fizemos,
Aplicando a primeira condição de limite nos dá,
Recorde que estamos assumindo que \(lambda > 0\) aqui e assim isto só será zero se \({c_2} = 0\). Agora, a segunda condição de limite nos dá,
Recorde que não queremos soluções triviais e que \\\i1}(lambda > 0\i}) então só teremos solução não trivial se precisarmos disso,
Solvendo para \i}(lambda) e vemos que obtemos exatamente os mesmos valores próprios positivos para este BVP que obtivemos no exemplo anterior.
\
As funções próprias que correspondem a estes autovalores no entanto são,
\
Então, para este BVP obtemos cossines para funções próprias correspondentes a autovalores positivos.
Agora o segundo caso.
({\lambda = 0})
A solução geral é,
\
Aplicando a primeira condição de limite dá,
\
Usando isto a solução geral é então,
\
e note que isto irá satisfazer trivialmente a segunda condição de limite,
Então, ao contrário do primeiro exemplo, \\\i1}(lambda = 0\i}) é um valor próprio para este BVP e as funções próprias correspondentes a este valor próprio é,
Again, note que deixamos cair a constante arbitrária para as funções próprias.
Finalmente, vamos tratar do terceiro caso.
>
(abaixo da linha < 0})
A solução geral aqui é,
>
Aplicando a primeira condição de limite dá,
>
Aplicando a segunda condição de limite dá,
Como no exemplo anterior, sabemos de novo que a “lambda” (-lambda) e por isso a “esquerda” (-2pi) Portanto, devemos ter {c_1}{c_1} = 0}).
Então, para este BVP nós novamente não temos valores próprios negativos.
Em resumo, então teremos os seguintes valores próprios/funções próprias para este BVP.
Nota também que podemos realmente combiná-los se permitirmos que a lista de { n}’s para o primeiro comece em zero em vez de um. Isto muitas vezes não vai acontecer, mas quando acontecer vamos tirar partido disso. Então a lista “oficial” de valores próprios/funções próprias para este BVP é,
\
Então, nos dois exemplos anteriores vimos que geralmente precisamos considerar casos diferentes para \(n=lambda), pois valores diferentes muitas vezes levarão a soluções gerais diferentes. Não fique muito preso aos casos que fizemos aqui. Estaremos resolvendo esta equação diferencial em particular e por isso será tentador supor que estes são sempre os casos que estaremos analisando, mas existem BVP’s que exigirão outros casos/diferentes.
Também, como vimos nos dois exemplos, às vezes um ou mais dos casos não renderão nenhum valor próprio. Isto irá acontecer frequentemente, mas novamente não devemos ler nada sobre o facto de não termos valores próprios negativos para qualquer um destes dois BVP’s. Há BVP’s que terão autovalores negativos.
Let’s dar uma olhada em outro exemplo com um conjunto muito diferente de condições de limite. Estas não são as condições de limite tradicionais que temos estado a observar até este ponto, mas veremos no próximo capítulo como estas podem surgir de certos problemas físicos.
Então, neste exemplo não vamos especificar a solução ou sua derivada nos limites. Em vez disso, vamos simplesmente especificar que a solução deve ser a mesma nos dois limites e a derivada da solução também deve ser a mesma nos dois limites. Além disso, este tipo de condição de limite será tipicamente num intervalo da forma em vez de como temos estado a trabalhar neste ponto.
Como mencionado acima, este tipo de condições de limite surgem muito naturalmente em certos problemas físicos e veremos que no próximo capítulo.
Como com os dois exemplos anteriores ainda temos os três casos padrão a analisar.
({\lambda > 0})
A solução geral para este caso é,
Aplicando a primeira condição de contorno e usando o fato de que o co-seno é uma função uniforme (ou seja\({ – x} {esquerda( – x} {direita) = {esquerda( x {direita)})) e que o seno é uma função estranha (i.e. { – x} {esquerda( – x} {direita) = – {esquerda( x {direita)})). dá-nos,
Desta vez, ao contrário dos dois exemplos anteriores, isto não nos diz realmente nada. Podíamos ter {\i1}({\i1}esquerda( {\i}-esquerda) = 0}) mas também é completamente possível, neste ponto do problema de qualquer maneira, que tenhamos {\i}(c_2} = 0}) também.
Então, vamos em frente e aplicar a segunda condição de limite e ver se conseguimos algo com isso.
Então, conseguimos algo muito semelhante ao que conseguimos depois de aplicar a primeira condição de limite. Uma vez que estamos a supor que isto nos diz que, ou estamos à esquerda (esquerda) = 0 ou estamos à direita (direita) = 0 ou estamos à esquerda (esquerda) = 0 ou estamos à direita (c_1) = 0. Precisamos, portanto, de exigir que a solução à esquerda (esquerda) = 0) e, como fizemos com os dois exemplos anteriores, podemos agora obter os valores próprios,
Recordando isso e podemos ver que precisamos de começar a lista de possíveis valores próprios em vez de zero.
Então, agora sabemos os valores próprios para este caso, mas e sobre as funções próprias. A solução para um determinado autovalor é,
e não temos razões para acreditar que qualquer uma das duas constantes seja zero ou não zero. Em casos como estes obtemos dois conjuntos de auto-funções, um correspondente a cada constante. Os dois conjuntos de auto-funções para este caso são,
\
Agora o segundo caso.
({\lambda = 0})
A solução geral é,
Aplicando a primeira condição de contorno dá,
Usando isto a solução geral é então,
e note que isto irá satisfazer trivialmente a segunda condição de contorno tal como vimos no segundo exemplo acima. Portanto, temos novamente \(\lambda = 0\) como um valor próprio para este BVP e as funções próprias correspondentes a este valor próprio é,
\
Finalmente vamos tratar do terceiro caso.
(sob a linha {\lambda < 0})
A solução geral aqui é,
Aplicando a primeira condição de limite e usando o fato de que o cosseno hiperbólico é par e o seno hiperbólico é impar,
Agora, neste caso, estamos a assumir que a esquerda (-lambda < 0) e por isso sabemos que a direita (-lambda 0) que, por sua vez, nos diz que a esquerda (-lambda 0). Portanto, temos de ter {c_2}.
Agora vamos aplicar a segunda condição de limite para obter,
Pela nossa suposição em {c_2}, não temos outra escolha aqui a não ser ter {c_1} = 0}.
Por isso, neste caso, a única solução é a solução trivial e por isso, para este BVP não temos mais nenhum valor próprio negativo.
Em resumo então teremos os seguintes autovalores/funções para este BVP.
Nota que reconhecemos que para \(lambda > 0\) tínhamos dois conjuntos de auto-funções listando-as cada uma separadamente. Também, podemos novamente combinar os dois últimos em um conjunto de autovalor e autofunções. Fazendo assim dá o seguinte conjunto de autovalores e autofunções.
\
Once novamente, nós temos um exemplo sem autovalores negativos. Não podemos enfatizar o suficiente que isto é mais uma função da equação diferencial com a qual estamos trabalhando do que qualquer coisa e haverá exemplos nos quais poderemos obter autovalores negativos.
Agora, até este ponto só trabalhamos com uma equação diferencial, então vamos trabalhar um exemplo com uma equação diferencial diferente só para ter certeza de que não vamos ficar muito presos nesta equação diferencial.
Antes de trabalhar este exemplo vamos notar que ainda estaremos trabalhando a grande maioria dos nossos exemplos com a única equação diferencial que temos usado até este ponto. Estamos trabalhando com esta outra equação diferencial apenas para ter certeza de que não vamos ficar muito presos ao uso de uma única equação diferencial.
Esta é uma equação diferencial de Euler e por isso sabemos que teremos de encontrar as raízes do seguinte quadrático.
\
As raízes deste quadrático são,
\
Agora, vamos ter novamente alguns casos para trabalhar aqui, no entanto não serão os mesmos que os exemplos anteriores. A solução vai depender se as raízes são realmente distintas, duplas ou complexas e estes casos vão depender do signo/valor de {1 -lambda}. Então, vamos analisar os casos.
(1 -lambda < 0,\,\,\lambda > 1})
Neste caso as raízes serão complexas e precisaremos escrevê-las da seguinte forma para anotar a solução.
Ao escrever as raízes desta forma sabemos que {\lambda – 1 > 0} e assim {\lambda – 1}) é agora um número real, que precisamos para escrever a seguinte solução,
Aplicando a primeira condição de limite nos dá,
A segunda condição de limite nos dá,
A fim de evitar a solução trivial para este caso, vamos precisar,
Esta é uma condição muito mais complicada do que a que vimos até agora, mas além disso, fazemos a mesma coisa. Assim, a solução para a Lambda dá-nos o seguinte conjunto de valores próprios para este caso.
Nota que precisamos de começar a lista de um e não de zero para ter a certeza que temos a Lambda > 1> como estamos a assumir para este caso.
As funções próprias que correspondem a estes valores próprios são,
Agora o segundo caso.
(abaixo da linha {1 – lambda = 0,\,\,\,\lambda = 1})
Neste caso temos uma raiz dupla de {r_{\,1,2}} = – 1\) e assim a solução é,
Aplicando a primeira condição de limite dá,
A segunda condição de limite dá,
Temos portanto apenas a solução trivial para este caso e por isso {\i1}(lambda = 1\i}) não é um valor próprio.
Vamos agora tratar do terceiro (e último) caso.
({1 – \lambda > 0,\,\lambda < 1})
Este caso terá duas raízes reais distintas e a solução é,
Aplicando a primeira condição de limite dá,
Utilizando isto a nossa solução torna-se,
Aplicando a condição de segundo limite dá,
Agora, porque sabemos que para este caso os expoentes nos dois termos entre parênteses não são os mesmos e por isso o termo entre parênteses não é o zero. Isto significa que só podemos ter,
e assim neste caso só temos a solução trivial e não há valores próprios para os quais
Os únicos autovalores para este BVP então vêm do primeiro caso.
Então, agora trabalhamos um exemplo usando uma equação diferencial diferente da “padrão” que temos usado até agora. Como vimos no trabalho, no entanto, o processo básico foi praticamente o mesmo. Determinamos que havia uma série de casos (três aqui, mas nem sempre serão três) que davam soluções diferentes. Examinamos cada caso para determinar se soluções não triviais eram possíveis e, se assim fosse, encontramos os valores próprios e as funções próprias correspondentes a esse caso.
Precisamos de trabalhar um último exemplo nesta secção antes de deixarmos esta secção para alguns novos tópicos. Os quatro exemplos que trabalhamos até este ponto foram todos bastante simples (com simples ser relativo, é claro…), porém não queremos sair sem reconhecer que muitos problemas de autovalor/eigenfunções são tão fáceis.
Em muitos exemplos não é sequer possível obter uma lista completa de todos os autovalores possíveis para um BVP. Muitas vezes as equações que precisamos resolver para obter os autovalores são difíceis se não impossíveis de resolver exatamente. Então, vamos dar uma olhada em um exemplo como este para ver que tipos de coisas podem ser feitas para pelo menos ter uma idéia de como os autovalores se parecem nestes tipos de casos.
As condições limite para este BVP são bastante diferentes daquelas com as quais trabalhamos até este ponto. No entanto, o processo básico é o mesmo. Portanto, vamos começar com o primeiro caso.
({\lambda > 0})
A solução geral para a equação diferencial é idêntica aos primeiros exemplos e assim temos,
Aplicando a primeira condição de limite nos dá,
A segunda condição de limite nos dá,
\
Então, se deixarmos \({c_2} = 0\) obteremos a solução trivial e assim, para satisfazer esta condição de limite precisaremos exigir que,
\
Agora, esta equação tem soluções mas precisaremos usar algumas técnicas numéricas para obtê-las. Para ver o que está a acontecer aqui, vamos fazer um gráfico à esquerda (esquerda) e à direita (esquerda) no mesmo gráfico. Aqui está esse gráfico e note que o eixo horizontal é realmente valores de {\i1}({\i1}lambda}) pois isso tornará as coisas um pouco mais fáceis de ver e se relacionar com valores que estamos familiarizados.
Então, os valores próprios para este caso ocorrerão onde as duas curvas se cruzam. Mostramos as cinco primeiras no gráfico e novamente o que está mostrando no gráfico é realmente a raiz quadrada do autovalor real como notamos.
O interessante aqui é que quanto mais distante no gráfico, mais próximos os autovalores se aproximam das assímptotas da tangente e então vamos aproveitar isso e dizer que para grandes o suficiente {\i} podemos aproximar os autovalores com as localizações (muito bem conhecidas) das assímptotas da tangente.
Quão grande é o valor de \(n) antes de começarmos a usar a aproximação vai depender de quanta precisão queremos, mas como sabemos a localização das assímptotas e como \i(n) aumenta a precisão da aproximação vai aumentar, então será fácil o suficiente para verificar uma dada precisão.
Para os propósitos deste exemplo encontramos os primeiros cinco numericamente e depois vamos usar a aproximação dos autovalores restantes. Aqui estão esses valores/aproximações.
\
O número entre parênteses após os cinco primeiros é o valor aproximado da assímptota. Como podemos ver eles estão um pouco fora, mas quando chegamos a \(n = 5\) o erro na aproximação é de 0,9862%. Então menos de 1% de erro no momento em que chegamos a \(n = 5\) e só vai melhorar para um valor maior de \(n\).
As funções próprias para este caso são,
onde os valores de \(n=5\) são dados acima.
Então, agora que todo esse trabalho está fora do caminho, vamos dar uma olhada no segundo caso.
({\lambda = 0})
A solução geral é,
Aplicando a primeira condição de limite dá,
Usando isto a solução geral é então,
Aplicando a segunda condição de limite a isto dá,
Por isso, para este caso obtemos apenas a solução trivial e por isso, a Lambda = 0 não é um valor próprio. Note, no entanto, que se a segunda condição limite tivesse sido {\i1}(y’esquerda( 1 {\i1}direita) – y’esquerda( 1 {\i1}direita) = 0{\i}) então {\i1}(lambda = 0{\i}) teria sido um valor próprio (com funções próprias {\i1}(y’esquerda( x {\i1}direita) = x{\i})) e assim novamente precisamos ter cuidado ao ler demais em nosso trabalho aqui.
Finalmente vamos cuidar do terceiro caso.
(abaixo da linha < 0})
A solução geral aqui é,
Aplicando a primeira condição de limite dá,
Usando isto a solução geral torna-se,
Aplicando a segunda condição limite a isto dá,
Agora, assumindo que sabemos que Isto, por sua vez, diz-nos que a esquerda (esquerda) (-lambda) (-direita) > 0} e nós sabemos que a esquerda (x-direita) > 0} para todos (x). Portanto,
e por isso devemos ter {c_2} = 0\\) e mais uma vez neste terceiro caso obtemos a solução trivial e por isso este BVP não terá valores próprios negativos.
Em resumo os únicos valores próprios para este BVP vêm de assumir que \(\lambda > 0\) e são dados acima.
Então, nós trabalhamos vários exemplos de valores próprios/funções próprias nesta seção. Antes de sair desta seção, precisamos notar mais uma vez que há uma grande variedade de diferentes problemas que podemos trabalhar aqui e nós realmente só mostramos um punhado de exemplos e por isso, por favor não se afaste desta seção acreditando que nós mostramos tudo.
O objetivo desta seção é nos preparar para os tipos de problemas que vamos ver no próximo capítulo. Além disso, no próximo capítulo vamos restringir-nos novamente a alguns problemas bastante básicos e simples para ilustrar um dos métodos mais comuns para resolver equações diferenciais parciais.
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