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Coordenadas Baricêntricas

No final da discussão sobre o Teorema de Ceva, chegamos à conclusão de que, para qualquer ponto K dentro de ΔABC, existem três massas wA, wB e wC tais que, se colocadas nos vértices correspondentes do triângulo, seu centro de gravidade (baricentro) coincide com o ponto K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definiu (1827) wA, wB, e wC como as coordenadas baricêntricas de K. (É possível generalizar e considerar também massas negativas para pontos fora do triângulo. Isto não é necessário para os meus propósitos). Como definido, as coordenadas baricêntricas não são únicas. As massas kwA, kwB e kwC têm exactamente o mesmo baricentro para qualquer k > 0. Assim, as coordenadas baricêntricas são uma forma de coordenadas gerais homogéneas que são utilizadas em muitos ramos da matemática (e mesmo na computação gráfica). Com uma condição adicional

(*) wA + wB + wC = 1

as coordenadas baricêntricas são definidas de forma única para cada ponto dentro do triângulo. (As coordenadas baricêntricas que satisfazem (*) são conhecidas como coordenadas areais porque, assumindo que a área de ΔABC é 1, os pesos w são iguais às áreas dos triângulos KBC, KAC, e KAB). Uma vez que o centro de gravidade de quaisquer dois pontos está no segmento de conexão, wA = 0 para pontos em BC, wB = 0 para pontos em AC, e wC = 0 em AB. Os vértices A,B,C têm coordenadas (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), respectivamente.

A forma usual de definir o baricentro de três pontos com determinadas massas (chamemos a esses pontos material) é colocar primeiro a soma das massas de quaisquer dois pontos no seu baricentro. Agora repita a mesma operação (1-dimensional) emparelhando o novo ponto e o terceiro ponto restante. (O argumento é formalizado dentro da geometria afim. Eu prefiro manter a discussão intuitiva). Assumindo (*), se wA for mantido fixo, também será a soma wB + wC. Segue-se que para duas possíveis posições D e D’ do baricentro de B e C, temos DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Portanto, KK’ é paralelo a BC. Em outras palavras, a equação wA = const descreve as linhas paralelas a BC. Como já notamos, a equação de BC é wA = 0. Existe uma relação semelhante entre wB e AC e wC e AB.

Se Mb e Mc são pontos médios de AC e AB, respectivamente, então a equação de MbMc é wA = 1/2. Da mesma forma, MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} e MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Vejamos o diagrama à direita. No triângulo azul, todas as três coordenadas são menos de 1/2. Portanto, o primeiro dígito da sua representação binária é zero. Nos triângulos vermelhos, duas coordenadas são inferiores a 1/4 enquanto a terceira está entre 1/2 e 3/4. Portanto, nos triângulos vermelhos, todas as três coordenadas têm o seu segundo dígito binário zero. Isto leva ao procedimento de remoção do trema para a construção da junta Sierpinski e fornece uma pista para a sua Descrição nas coordenadas baricêntricas.

Coordenadas baricêntricas surgem naturalmente sempre que quantidades variáveis têm uma soma constante. Três problemas de vidro, onde estamos despejando água de um vidro para outro sob a hipótese irrealista de que no processo nenhuma gota de água vai ser derramada, é um exemplo saliente. O problema ilustra maravilhosamente o conceito de coordenadas baricêntricas.

Coordenadas Baricêntricas e Baricêntricas

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    • Stick Quebrado Em Três Peças (Coordenadas Cartesianas)
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  6. Determinantes, Área, e Barycentric Coordinates
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    • Teoremas de Ceva e Menelaus, uma Generalização Ilustrada
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