Continuum hypothesis

Continuum hypothesis, afirmação da teoria do conjunto de números reais (o contínuo) é, em certo sentido, tão pequeno quanto possível. Em 1873 o matemático alemão Georg Cantor provou que o continuum é incontável – ou seja, os números reais são um infinito maior do que os números de contagem – um resultado chave para iniciar a teoria do conjunto como um assunto matemático. Além disso, Cantor desenvolveu uma forma de classificar o tamanho dos conjuntos infinitos de acordo com o número dos seus elementos, ou a sua cardinalidade. (Ver teoria dos conjuntos: Cardinalidade e números transfinitos.) Nestes termos, a hipótese do continuum pode ser afirmada da seguinte forma: A cardinalidade do continuum é o menor número cardinal incontável.

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teoria do conjunto: Cardinalidade e números transfinitos

…uma conjectura conhecida como a hipótese do continuum.

Na notação de Cantor, a hipótese do continuum pode ser afirmada pela equação simples 2ℵ0 = ℵ1, onde ℵ0 é o número cardinal de um conjunto infinito contável (como o conjunto de números naturais), e os números cardinais de “conjuntos bem ordenáveis” maiores são ℵ1, ℵ2, ……, ℵα, …, indexados pelos números ordinais. A cardinalidade do continuum pode ser mostrada como igual a 2ℵ0; assim, a hipótese do continuum exclui a existência de um conjunto de tamanhos intermediários entre os números naturais e o continuum.

Uma afirmação mais forte é a hipótese do continuum generalizado (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 para cada número ordinal α. O matemático polaco Wacław Sierpiński provou que com GCH pode-se derivar o axioma de escolha.

Como com o axioma de escolha, o matemático americano nascido na Áustria Kurt Gödel provou em 1939 que, se os outros axiomas padrão Zermelo-Fraenkel (ZF; veja os axiomas tabela) são consistentes, então eles não refutam a hipótese do continuum ou mesmo GCH. Ou seja, o resultado da adição de GCH aos outros axiomas permanece consistente. Então em 1963 o matemático americano Paul Cohen completou o quadro mostrando, novamente sob a suposição de que ZF é consistente, que ZF não produz uma prova da hipótese continuum.

Desde que ZF não prova nem refuta a hipótese do continuum, resta a questão de aceitar ou não a hipótese do continuum com base em um conceito informal do que são os conjuntos. A resposta geral na comunidade matemática tem sido negativa: a hipótese do continuum é uma afirmação limitadora num contexto em que não há razão conhecida para impor um limite. Na teoria dos conjuntos, a operação do conjunto de poder atribui a cada conjunto de cardinalidade ℵα o seu conjunto de todos os subconjuntos, que tem cardinalidade 2ℵα. Não parece haver razão para impor um limite à variedade de subconjuntos que um conjunto infinito pode ter.