Współrzędne barycentryczne

Pod koniec dyskusji na temat Twierdzenia Cevy doszliśmy do wniosku, że dla dowolnego punktu K wewnątrz ΔABC istnieją trzy masy wA, wB i wC takie, że jeśli umieścimy je w odpowiednich wierzchołkach trójkąta, ich środek ciężkości (barycentrum) pokrywa się z punktem K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) zdefiniował (1827) wA, wB, i wC jako współrzędne barycentryczne punktu K. (Można uogólnić i rozważyć również masy ujemne dla punktów poza trójkątem. Dla moich celów nie jest to konieczne.) Zgodnie z definicją, współrzędne barycentryczne nie są unikalne. Masy kwA, kwB, i kwC mają dokładnie takie same barycentra dla dowolnego k > 0. Tak więc współrzędne barycentryczne są formą ogólnych współrzędnych jednorodnych, które są używane w wielu gałęziach matematyki (a nawet w grafice komputerowej). Z jednym dodatkowym warunkiem

współrzędne barycentryczne są zdefiniowane jednoznacznie dla każdego punktu wewnątrz trójkąta. (Współrzędne barycentryczne, które spełniają (*) są znane jako współrzędne powierzchniowe, ponieważ, zakładając, że pole powierzchni ΔABC wynosi 1, wagi w są równe powierzchniom trójkątów KBC, KAC i KAB). Ponieważ środek ciężkości dowolnych dwóch punktów leży na odcinku łączącym, wA = 0 dla punktów na BC, wB = 0 dla punktów na AC oraz wC = 0 na AB. Wierzchołki A,B,C mają odpowiednio współrzędne (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1).

Zwykły sposób definiowania środka ciężkości trzech punktów o danych masach (nazwijmy takie punkty materialnymi) polega na tym, że najpierw umieszczamy sumę mas dowolnych dwóch punktów w ich środku ciężkości. Teraz powtarzamy tę samą (jednowymiarową) operację parując nowy i trzeci pozostały punkt. (Argument ten jest sformalizowany w geometrii afinicznej. Wolę, by dyskusja była intuicyjna). Zakładając (*), jeśli wA jest stałe, to suma wB + wC też będzie stała. Wynika z tego, że dla dwóch możliwych położeń D i D’ środka ciężkości B i C, mamy DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Zatem KK’ jest równoległa do BC. Innymi słowy, równanie wA = const opisuje proste równoległe do BC. Jak już zauważyliśmy, równaniem BC jest wA = 0. Podobna zależność istnieje między wB i AC oraz wC i AB.

Jeśli Mb i Mc są odpowiednio punktami środkowymi AC i AB, to równaniem MbMc jest wA = 1/2. Podobnie, MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} oraz MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Spójrzmy na diagram po prawej stronie. W niebieskim trójkącie wszystkie trzy współrzędne są mniejsze niż 1/2. Dlatego pierwszą cyfrą ich binarnej reprezentacji jest zero. W czerwonych trójkątach dwie współrzędne są mniejsze niż 1/4, a trzecia jest pomiędzy 1/2 a 3/4. Dlatego też w czerwonych trójkątach wszystkie trzy współrzędne mają drugą cyfrę binarną równą zero. Prowadzi to do procedury usuwania tremy przy konstruowaniu uszczelki Sierpińskiego i stanowi wskazówkę do jej opisu we współrzędnych barycentrycznych.

Współrzędne barycentryczne powstają naturalnie wszędzie tam, gdzie zmienne wielkości mają stałą sumę. Problem trzech szklanek, gdzie przelewamy wodę z jednej szklanki do drugiej przy nierealistycznym założeniu, że w tym procesie żadna kropla wody nie zostanie rozlana, jest tego dobitnym przykładem. Problem ten pięknie ilustruje pojęcie współrzędnych barycentrycznych.

Barycentrum i współrzędne barycentryczne

1. 3D Quadrilateral – a Coffin Problem
2. Barycentric Coordinates
3. Barycentric Coordinates: a Tool
4. Barycentric Coordinates and Geometric Probability
   • Stick Broken Into Three Pieces (Trilinear Coordinates)
   • Stick Broken Into Three Pieces (Cartesian Coordinates)
5. Ceva’s Theorem
6. Determinants, Area, and Barycentric Coordinates
7. Maxwell Theorem via the Center of Gravity
8. Bimediany w czworokącie
9. Simultaneous Generalization of the Theorems of Ceva and Menelaus
   • Theorems of Ceva and Menelaus, an Illustrated Generalization
10. Zagadka trzech szklanek
11. Van Obel Theorem and Barycentric Coordinates
12. 1961 IMO, Problem 4. Ćwiczenie ze współrzędnymi barycentrycznymi
13. Centroids in Polygon
14. Center of Gravity and Motion of Material Points
15. Isotomic Reciprocity
16. An Affine Własność Barycentrum
17. Problem Podobieństwa Bezpośredniego
18. Kręgi we Współrzędnych Barycentrycznych
19. Barycentrum Trójkąta Ceviana
20. Współrzędne cięciwy w okręgu, Equally Inclined

|Kontakt||Strona tytułowa||Zawartość||Geometria|

.