Articles /

Teoria homotopii

Przestrzenie i mapyEdit

W teorii homotopii i topologii algebraicznej słowo „przestrzeń” oznacza przestrzeń topologiczną. Aby uniknąć patologii, rzadko pracuje się z przestrzeniami arbitralnymi; zamiast tego wymaga się, aby przestrzenie spełniały dodatkowe ograniczenia, takie jak bycie zwartą generacją, lub Hausdorffem, lub kompleksem CW.

W tym samym duchu, co powyżej, „mapa” jest ciągłą funkcją, być może z pewnymi dodatkowymi ograniczeniami.

Często pracuje się z przestrzenią spiczastą — to jest przestrzenią z „wyróżnionym punktem”, zwanym punktem bazowym. Mapa punktowa jest wtedy mapą, która zachowuje punkty bazowe; to znaczy, wysyła punkt bazowy dziedziny do punktu bazowego współdziedziny. W przeciwieństwie do tego, mapa swobodna to taka, która nie musi zachowywać punktów bazowych.

HomotopiaEdit

Main article: Homotopia

Pozwólmy I oznaczać przedział jednostkowy. Rodzina map indeksowanych przez I, h t : X → Y {{displaystyle h_{t}:X → Y}}

{displaystyle h_{t}:X do Y}

nazywamy homotopią z h 0 {displaystyle h_{0}}

h_{0}

do h 1 {{displaystyle h_{1}}

h_{1}

if h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {displaystyle h:I × X → Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

{displaystyle h:I}czasy X do Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

jest mapą (np. musi być funkcją ciągłą). Gdy X, Y są przestrzeniami spiczastymi, to h t {mapsto h_{t}}

h_{t}

muszą zachowywać punkty bazowe. Można pokazać, że homotopia jest relacją równoważności. Biorąc pod uwagę przestrzeń spiczastą X i liczbę całkowitą n ≥ 1 {{displaystyle n}

ngeq 1

, niech π n ( X ) = ∗ {displaystyle \i _{n}(X)=_{*}}

{displaystyle Δpi _{n}(X)=_{*}}

niech będzie klasą homotopii map bazowych S n → X {{displaystyle S^{n}} do X}

{displaystyle S^{n}} do X}

z (spiczastej) n-sfery S n {{displaystyle S^{n}}

S^{n}

do X. Jak się okazuje, π n ( X ) { {displaystyle \pi _{n}(X)}

pi_n(X)

są grupami; w szczególności π 1 ( X ) { {displaystyle \pi _{1}(X)}

Grupą fundamentalną X nazywamy grupę fundamentalną X.

Jeśli ktoś woli pracować z przestrzenią zamiast z przestrzenią punktową, istnieje pojęcie groupoidy fundamentalnej (i wyższe warianty): z definicji, groupoidą fundamentalną przestrzeni X jest kategoria, w której obiektami są punkty X, a morfizmami – ścieżki.

Kofibracja i fibracjaEdit

Mapę f : A → X {{displaystyle f:A do X}

f:A do X

nazywamy kofibracją, jeśli dana jest (1) mapa h 0 : X → Z {{displaystyle h_{0}:X do Z}

{{displaystyle h_{0}:X do Z}

oraz (2) homotopię g t : A → Z {{displaystyle g_{t}:A do Z}

{{displaystyle g_{t}:A do Z}

, istnieje homotopia h t : X → Z {{displaystyle h_{t}:X do Z}

{displaystyle h_{t}:X do Z}

, która rozszerza h 0 {displaystyle h_{0}}

h_{0}

i takie, że h t ∘ f = g t {{displaystyle h_{t}} {{crc f=g_{t}}

{displaystyle h_{t}}circ f=g_{t}}

. W pewnym luźnym sensie jest on analogiem diagramu definiującego moduł iniekcyjny w algebrze abstrakcyjnej. Najprostszym przykładem jest para CW ( X , A ) {w stylu (X,A)}

(X,A)

; ponieważ wiele osób pracuje tylko z kompleksami CW, pojęcie kofibracji jest często implikowane.

Fibracja w sensie Serre’a jest dualnym pojęciem kofibracji: to znaczy, mapa p : X → B {{displaystyle p:X do B}

{displaystyle p:X do B}

jest fibracją, jeśli dana jest (1) mapa Z → X {{displaystyle Z do X}

{displaystyle Z do X}

oraz (2) homotopia g t : Z → B {{displaystyle g_{t}:Z do B}

{displaystyle g_{t}:Z\\to B}

, istnieje homotopia h t : Z → X {displaystyle h_{t}:Z\to X}

{displaystyle h_{t}:Z\to X}

taka, że h 0 {displaystyle h_{0}}

h_{0}

jest daną oraz p ∘ h t = g t {displaystyle p ∘ h_{t}=g_{t}}

przykład h_{t}=g_{t}

. Podstawowym przykładem jest mapa pokrycia (w rzeczywistości fibracja jest uogólnieniem mapy pokrycia). Jeśli E {przykładowo E}

E

jest wiązką główną G, czyli przestrzenią o swobodnym i przechodnim (topologicznym) działaniu grupy (topologicznej), to mapa projekcyjna p : E → X {p:E do X}

p:E do X

jest przykładem fibracji.

Przestrzenie klasyfikujące i operacje homotopiiEdit

Dając grupę topologiczną G, przestrzenią klasyfikującą dla głównych wiązek G („the” up to equivalence) jest przestrzeń B G {{displaystyle BG}

BG

taką, że dla każdej przestrzeni X, = {{displaystyle =}

{displaystyle =}

{ principal G-bundle on X } / ~ , ↦ f ∗ E G { {displaystyle =}

{{displaystyle ,^{*}EG}

gdzie

  • lewa strona jest zbiorem klas homotopii map X → B G {{displaystyle X ^{*}EG}
    {{displaystyle X do BG}

    ,

  • ~ odnosi się do izomorfizmu wiązek, a
  • = jest dany przez odciągnięcie wyróżnionej wiązki E G {{displaystyle EG}
    EG

    na B G {styl BG}

    BG

    (zwaną wiązką uniwersalną) wzdłuż mapy X → B G {styl X do BG}.

    {powięź X do BG}

    .

Twierdzenie reprezentowalności Browna gwarantuje istnienie przestrzeni klasyfikujących.

Spektrum i uogólniona kohomologiaEdit

Główne artykuły: Spectrum (algebraic topology) and Generalized cohomology

Pomysł, że przestrzeń klasyfikująca klasyfikuje wiązki główne, może być popchnięty dalej. Na przykład, można spróbować sklasyfikować klasy kohomologii: biorąc pod uwagę grupę abelianów A (taką jak Z { {{mathbb {Z} }

<mathbb {Z}

), = H n ( X ; A ) {displaystyle =operatorname {H} ^{n}(X;A)}

{displaystyle =operatorname {H} ^{n}(X;A)}

gdzie K ( A , n ) {{displaystyle K(A,n)}

K(A, n)

jest przestrzenią Eilenberga-MacLane’a. Powyższe równanie prowadzi do pojęcia uogólnionej teorii kohomologii; tzn. kontrawariantnego funktora z kategorii przestrzeni do kategorii grup abelowych, który spełnia aksjomaty uogólniające zwykłą teorię kohomologii. Jak się okazuje, taki funktor może nie być reprezentowalny przez przestrzeń, ale zawsze może być reprezentowany przez ciąg (punktowych) przestrzeni z mapami struktury zwanymi spektrum. Innymi słowy, podanie uogólnionej teorii kohomologii to podanie spektrum.

Podstawowym przykładem spektrum jest spektrum sfery: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {{displaystyle S^{0}} do S^{1}} do S^{2}} }

{displaystyle S^{0}}to S^{1}}to S^{2}}to ^{cdots }

.

Leave a Reply