Teoria Galois

Pre-historiaEdit

Teoria Galois wywodzi się z badania funkcji symetrycznych – współczynniki wielomianu jednomianowego są (aż do znaku) pierwiastkami wielomianu symetrycznego w korzeniach. Na przykład, (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, gdzie 1, a + b i ab są elementarnymi wielomianami stopnia 0, 1 i 2 w dwóch zmiennych.

Po raz pierwszy zostało to sformalizowane przez XVI-wiecznego francuskiego matematyka François Viète’a, w formułach Viète’a, dla przypadku dodatnich korzeni rzeczywistych. Zdaniem XVIII-wiecznego matematyka brytyjskiego Charlesa Huttona, wyrażanie współczynników wielomianu za pomocą korzeni (nie tylko dla korzeni dodatnich) jako pierwszy zrozumiał XVII-wieczny matematyk francuski Albert Girard; Hutton pisze:

… pierwszą osobą, która zrozumiała ogólną doktrynę tworzenia współczynników potęg z sumy korzeni i ich iloczynów. Był pierwszą osobą, która odkryła zasady sumowania potęg korzeni dowolnego równania.

W tym duchu wyróżnik jest funkcją symetryczną w korzeniach, która odzwierciedla własności korzeni – jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma wielokrotny korzeń, a dla wielomianów kwadratowych i sześciennych jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie korzenie są rzeczywiste i odrębne, a ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para odrębnych korzeni sprzężonych kompleksowo. Zobacz Discriminant:Nature of the roots for details.

Równanie sześcienne zostało po raz pierwszy częściowo rozwiązane przez 15-16-wiecznego włoskiego matematyka Scipione del Ferro, który jednak nie opublikował swoich wyników; metoda ta, choć, rozwiązała tylko jeden typ równania sześciennego. Rozwiązanie to zostało ponownie odkryte niezależnie w 1535 roku przez Niccolò Fontana Tartaglia, który podzielił się nim z Gerolamo Cardano, prosząc go jednak, by go nie publikował. Następnie Cardano rozszerzył to rozwiązanie na wiele innych przypadków, używając podobnych argumentów; zobacz więcej szczegółów na stronie Metoda Cardano. Po odkryciu pracy del Ferro poczuł, że metoda Tartaglii nie jest już tajna, i dlatego opublikował swoje rozwiązanie w swojej Ars Magna z 1545 roku. Jego uczeń Lodovico Ferrari rozwiązał wielomian kwartylowy; jego rozwiązanie również znalazło się w Ars Magna. W książce tej Cardano nie podał jednak „ogólnego wzoru” na rozwiązanie równania sześciennego, ponieważ nie miał do dyspozycji ani liczb zespolonych, ani notacji algebraicznej, która pozwalałaby mu opisać ogólne równanie sześcienne. Z korzyścią dla nowoczesnej notacji i liczb zespolonych, wzory w tej książce działają w ogólnym przypadku, ale Cardano nie wiedział o tym. To był Rafael Bombelli, który zdołał zrozumieć, jak pracować z liczbami zespolonymi w celu rozwiązania wszystkich form równania sześciennego.

Dalszy krok był 1770 papier Réflexions sur la résolution algébrique des équations przez francusko-włoski matematyk Joseph Louis Lagrange, w jego metody Lagrange resolvents, gdzie przeanalizował Cardano i Ferrari rozwiązanie kubics i quartics przez rozważenie ich w kategoriach permutacji korzeni, które przyniosły wielomian pomocniczy niższego stopnia, zapewniając jednolite zrozumienie rozwiązań i kładąc podwaliny pod teorię grup i teorii Galois. Co istotne, nie brał on jednak pod uwagę kompozycji permutacji. Metoda Lagrange’a nie rozszerzyła się na równania kwintowe lub wyższe, ponieważ resolwent miał wyższy stopień.

Kwintowe prawie udowodniono, że nie ma ogólnych rozwiązań przez radykalne przez Paolo Ruffini w 1799 roku, którego kluczowym spostrzeżeniem było użycie grup permutacji, a nie tylko pojedynczej permutacji. Jego rozwiązanie zawierało lukę, którą Cauchy uznał za niewielką, ale nie została ona załatana aż do pracy norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abla, który opublikował dowód w 1824 roku, ustanawiając w ten sposób twierdzenie Abla-Ruffiniego.

Podczas gdy Ruffini i Abel ustalili, że ogólny kwintyk nie może być rozwiązany, niektóre szczególne kwintyki mogą być rozwiązane, takie jak x5 – 1 = 0, a dokładne kryterium, według którego dany kwintyk lub wyższy wielomian może być określony jako rozwiązywalny lub nie, zostało podane przez Évariste Galois, który wykazał, że to, czy wielomian jest rozwiązywalny czy nie, jest równoważne temu, czy grupa permutacji jego pierwiastków – w nowoczesnym rozumieniu tego słowa, jego grupa Galois – ma pewną strukturę – w nowoczesnym rozumieniu tego słowa, czy jest to grupa rozwiązywalna czy nie. Grupa ta była zawsze rozwiązywalna dla wielomianów stopnia czwartego lub mniejszego, ale nie zawsze dla wielomianów stopnia piątego i większego, co wyjaśnia, dlaczego nie ma ogólnego rozwiązania w wyższych stopniach.

Pisma GaloisEdit

Portret Évariste’a Galois w wieku około 15 lat

W 1830 roku Galois (w wieku 18 lat) złożył w Paryskiej Akademii Nauk memoriał na temat swojej teorii rozwiązywalności przez rodniki; Praca Galois została ostatecznie odrzucona w 1831 roku jako zbyt pobieżna i za podanie warunku w postaci pierwiastków równania zamiast jego współczynników. Galois zginął w pojedynku w 1832 roku, a jego praca, „Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”, pozostała niepublikowana aż do 1846 roku, kiedy to została opublikowana przez Josepha Liouville’a wraz z jego własnymi wyjaśnieniami. Przed tą publikacją, Liouville ogłosił wynik Galois w Akademii w przemówieniu, które wygłosił 4 lipca 1843 roku. Według Allana Clarka, charakterystyka Galois „dramatycznie przewyższa pracę Abla i Ruffiniego.”

AftermathEdit

Teoria Galois była notorycznie trudna do zrozumienia dla jego współczesnych, zwłaszcza do poziomu, na którym mogliby ją rozwinąć. Na przykład, w swoim komentarzu z 1846 roku Liouville całkowicie pominął grupowo-teoretyczny rdzeń metody Galois. Joseph Alfred Serret, który uczestniczył w niektórych wykładach Liouville’a, włączył teorię Galois do swojego podręcznika Cours d’algèbre supérieure z 1866 roku (trzecie wydanie). Uczeń Serreta, Camille Jordan, jeszcze lepiej rozumiał teorię Galois i zawarł ją w wydanej w 1870 roku książce Traité des substitutions et des équations algébriques. Poza Francją teoria Galois pozostawała przez dłuższy czas bardziej niejasna. W Wielkiej Brytanii Cayley nie zdołał uchwycić jej głębi, a popularne brytyjskie podręczniki algebry nie wspominały nawet o teorii Galois aż do późnego okresu po przełomie wieków. W Niemczech pisma Kroneckera koncentrowały się bardziej na wyniku Abla. Dedekind niewiele pisał o teorii Galois, ale wykładał ją w Getyndze w 1858 roku, wykazując bardzo dobre zrozumienie. Książki Eugena Netto z lat osiemdziesiątych XIX wieku, oparte na Traité Jordana, uczyniły teorię Galois dostępną dla szerszej niemieckiej i amerykańskiej publiczności, podobnie jak podręcznik algebry Heinricha Martina Webera z 1895 roku.